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专题三 向量法求距离 平行线间的距离 a b 异面直线间的距离 a b是异面直线 d是a与b的距离 直线和平面的距离 a a d是a与a的距离 平行平面间的距离 a d是a与 的距离 1 空间两点间距离 已知A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 其中dA B表示A与B两点间的距离 这就是空间两点间的距离公式 2 点到平面的距离 已知AB为平面a的一条斜线段 求证 A到平面a的距离 B 证明 设C点为A在平面 内的射影 BAC 或 BAC cos BAC A到平面a的距离 AC AB cos BAC 3 直线和它平行平面的距离 已知直线a 平面 求a到平面 的距离 解 因a上的任意一点到平面 的距离都相等 所以直线和它平行平面的距离转化点到面的距离 在a和平面 上分别任取一点A和B 直线a和它平行平面 的距离为 例1如图 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是A1B1 CD的中点 求点B到截面AEC1F的距离 解 以D为原点 如图所示建立直角坐标系 则A 1 0 0 设面AEC1F的法向量为 1 1 2 1 0 1 0 所以B点到截面AEC1F的距离为 3 异面直线间的距离 已知异面直线a b 求a b之间的距离 解 过b上任一点P 作a a 不妨令a b确定的平面为 a 异面直线a b之间的距离 转化直线a和它平行的平面 之间的距离 可在a上任一点A b上任一点B a b之间的距离 a a a b 所以在求两条异面直线的距离时 只需在两条异面直线a b上 分别任取一点A B 设与a b的方向向量都垂直的 异面直线间的距离 a b之间的距离 例1 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 求异面直线A1C1与B1C的距离 C 1 D B A 解 如图所示建立直角坐标系 则 A1 1 0 1 C1 0 1 1 B1 1 1 1 C 0 1 0 1 1 0 1 0 1 取x 1得 又 0 1 0 A1C1与B1C的距离 C1 D 4 两个平行平面间的距离 A B分别是a 上的任意点 例2 如图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求证 平面A1BD 平面CB1D1 2 求平面A1BD和平面CB1D1的距离 1 证明 矩形A1BCD1 A1B D1C 矩形DBB1D1 D1B1 BD A1B BD 平面A1BD A1B BD B D1C D1B1 平面CB1D1 平面A1BD 平面CB1D1 2 求平面A1BD和平面CB1D1的距离 解 如图所示建立直角坐标系 令平面A1BD的法向量为 D 0 0 0 A1
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