通锡苏2015届高考数学最后一卷.doc

绝密启用前通锡苏2015届高考数学最后一卷命题人：周坤 李强 王举 顾丹丹 王力 唐泽 周城 李雷 王勇 薄宏志 胡灵星 叶华兴注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共7页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2. 答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4. 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5. 如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。1、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合，则= 【答案】2.已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为 【答案】3.右图是一个算法流程图，则输出的为 【答案】74. 已知四个数的平均数为，则这组数据的标准差为 【答案】5. 将函数的图像向左平移 个单位后，所得的图像关于轴对称，则的值 【答案】6. 已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为 【答案】7. 某商店举行抽奖活动，袋中共有形状大小相同的三个红球三个绿球共六个球。顾客随机摸三个球，若是3个红球，则为一等奖；恰有2个红球，则为二等奖，只有1个红球，则为三等奖。则顾客中奖的概率为 【答案】8. 如图，边长为1的菱形，为中点，为中点，则= 。【答案】9.已知表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的序号为 若则 . 若则 若则. 若则【答案】10. 圆上至少有两点到直线的距离为，则直线的斜率的范围为 【答案】【解析】即圆心到直线的距离要小于，利用点到直线的距离公式可得答案11. 已知函数 图像与函数图像在交点处切线方程相同，则的值为_【答案】 【解析】 设切点为，则有题意得，解得12. 已知函数,若恰好有5个不同的解，则的解集为 【答案】13. 在中，角的对边分别是已知，且，则的最小值为 .【答案】【解析】由,由正弦定理得到，而，由，可得。14. 已知为各项均为正整数的等差数列，且存在正整数，使得成等比数列，则所有满足条件的中，公差的最大值与最小值的差为 .【答案】21【解析】二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分14分)已知的内角的对边分别为，向量（1） 当时，求的值；（2） 当时，且，求的值.【解析】（1）由题意得：2分即得在三角形中由正弦定理有：4分由以上两式可知：6分（2）由平行条件得8分 10分则可得到：12分 14分 16.如图，在正方体中，是的中点.（1）、分别是棱、的中点，求证：.（2）在线段上是否存在一点，使得，若存在，请确定点位置.；若不存在，请说明理由.【解析】（1） 连接，且，四边形是平行四边形， ，2分又，.4分备注：其他方法亦可，酌情给分！（2） 存在，点的位置在于，交于点.6分证明如下：是的中点，且是正方形，7分又正方体， 9分， ，11分，且，13分.14分17.已知椭圆的离心率为，且过它的左右顶点分别是A，B，点 P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AP ，BP分别交和于M，N两点。（1）求此椭圆的标准方程；（2）求的范围.解析:(1)由题意知:，又，可得，又因为，代入可求得2分.所以所求椭圆的标准方程为4分.(2) 设,根据椭圆的对称性,不妨设根据椭圆方程,易知,5分的直线方程为:联立方程组7分,同理8分;10分在椭圆上,14分18.如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？【解析】设正三角形长为，如图，设，则，3分若以为底、为高，则圆柱底面半径， 6分当时，；当时，；所以8分若以为底、为高，则圆柱底面半径11分，令，得、当时，；当时，；所以 14分因为，所以以为底、为高，且时，体积最大。 16分19.已知数列，是其前项和，满足，.（1） 若, （i）求出的值; （ii）求的通项公式.（2）是否存在一个各项均为正数的等比数列，存在一个数列满足，如果存在，求出和的通项公式，如果不存在，说明理由。【解析】（1）（i）由题可得，,， 4分（ii）由题即时，作差可得即作差可得。6分当为偶数时，；当为奇数时，；经检验，也符合。8分综上，10分（2） 假设存在这样的和，那么，成等比，可得，.12分下面检验当时，数列为等比数列。由题得，当时作差可得，显然时也符合上式。14分为偶数时，为奇数时，显然，那么，是等比数列，所以存在这样的等比数列和数列，使得等式成立，16分20. 已知定义域为，值域为。若，则称在上为“内向函数”，若，则称在上为“外向函数”。（1） 若，试判断在定义域上是“内向函数”还是“外向函数”；（2） 若在上是“内向函数”，求的范围；（3） 若，则称在上为“伪内向函数”。试证：在上是“伪内向函数”的充要条件是.【解析】（1）由题意的的定义域A为，值域为满足在上为“外向函数”2分 （2）在上是“内向函数”等价于的定义域真包含于值域，令，解得，列表可得在上单调减，上单调增。当即时，恒成立，在单调递增.可得，.由“内向函数”的定义可知：，且“=”不同时成立，显然不等式组无解。4分当时，恒成立，在单调递减，.由“内向函数”的定义可知：，且“=”不同时成立，又因为，所以不等式组亦无解。6分当时当当时，为极小值，在区间，为最小值，最大值为或由“内向函数”的定义可知：，综上所述解得：8分经检验，当或时，成立综上可得得：的范围为10分（3） 充分性：把看作关于的函数，显然这是关于的一元一次函数，单调递增。,下证令时，单调递增，即在恒成立，那么显然14分必要性：在是“伪内向函数”在恒成立，当时，16分证毕通锡苏2015届高考数学最后一卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线依次交圆于两点.若，求的值【解析】由切割线定理得即，解得（负值舍去）.由弦切角定理知，由,故则,10分B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知M=，试计算【解析】矩阵M的特征多次式为对应的特征向量分别为和，而，10分C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知圆C的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,求直线截圆C所得的弦长.【解析】圆的方程为 ;直线的方程为 . 故圆心到直线的距离为所求弦长为 。10分D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数满足求的最小值.【解析】由柯西不等式, 因为,所以, 当且仅当,即时,等号成立, 所以的最小值为 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，分别是的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）在上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.答案：以为单位正交基底建立空间直角坐标系, 易得 （1）由题意可得，, 所以异面直线与所成角的余弦值为.（5分）（2）假设存在满足题意的点，并设， 则 设平面的法向量，则，即 不妨令，可得平面的法向量 若平面，则，易解得，故 所以，在上存在一点，使得平面，此时.（10分）23. 在数列中，（1） 当时，分别求出的值，并判