三次样条插值方法在工程实践中的应用.doc

南昌航空大学数学与信息科学学院实 验 报 告课程名称： 计 算 方 法 实验名称：三次样条插值方法在工程实践中的应用实验类型： 验证性 综合性 设计性实验室名称： D 504 班级学号： 08061115 学生姓名： 杨朝峰 任课教师（教师签名）： 成 绩： 实验日期： 2009-11-13 公路平面曲线的设计一、实验目的由实验一，我们已经对插值的思想和原理有了更深入的理解。从中可以知道，分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力。因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性。通过本实验的学习，应掌握样条插值的基本思想和原理，熟悉样条插值法的程序编制，能用来解决实际问题。最好能绘出插值函数的曲线，并与实验一中的几种插值法的图象进行比较。二、实验原理、方法该题是一个实际问题。其中关键的是，我们所设计的公路必须满足汽车的安全和旅客舒适等要求，而安全又是重中之重，因此只要解决这个问题，那本题就解决了一大部分了。实际解题时，可能需要用到三次样条插值，这是分段插值的一种，但是又比简单的分段线性插值和抛物插值要复杂一些。由于已进行过插值的理论学习，前面实验也已做过分段插值方面的练习，其算法和编程应自行设计。三、实验题目1问题提出目前在我国公路的平面曲线设计中，主要以直导线与元曲线的组合以及直导线与复曲线的组合为主，在解决曲线的顺适性（即光滑性）方面，也只用了缓合曲线来进行直线与曲线，曲线与曲线间的过渡。这种设计模式，在地形和其他条件受到限制的条件下，必然会使设计标准降低，设计结果不能很好地满足规范要求。所以在当前立体交叉桥的环道线性设计中，以及一些先进发达国家的公路平面设计中，正在试图突破以往设计模式，寻找和探讨一种较理想的设计方法。而在某些情况下，样条插值便是一种有效的方法。下面是一个关于公路平面曲线设计的实际问题： 吉林省辉南县到靖宇县，地处长白山脚下，为山岭重丘区，地形复杂，冬季多雪。从辉南县到靖宇县的二级公路中，有一地形限制较严重的曲线段，经实地测得数据如下（为方便起见，设以曲线两端点的连线方向为坐标x轴方向，以连线的法方向为坐标y轴方向）：x50.00 100.00 150.00 200.00 250.00y23.21 43.56 50.00 43.56 23.21且知二级公路山岭重丘区的曲线极限半径为R=60m，试寻找一种方法，设计一条平面曲线，使之既通过限定很死的地形点，而又能满足设计规范规定的曲线要素要求，并通过计算加密施工控制点，进行实地敷设地面。2解题要求试寻找一种方法，设计一条平面曲线，使之既通过限定很死的地形点，而又能满足设计规范规定的曲线要素要求，并通过计算加密施工控制点，进行实地敷设平面曲线。四、实验公式及程序框图 1. 基本公式：hi=xi-xi-1 (i=1,2,n) fxi-1,xi=(f(xi)-f(xi-1)/ (xi-xi-1) (i=1,2,n) ui=hi/(hi+hi+1) (i=1,2,n-1) vi= hi/ (hi+hi+1)= 1-ui (i=1,2,n-1)gi=6*(fxi+1,xi-fxi,xi-1) /(hi+hi+1) (i=1,2,n-1) 2.程序框图：输出Mi以及Si(x)解方程组得到Mi(i=0，1,2,n)按公式计算ui，vi, gi (i=1,2,n-1)按公式计算g0与 gn计算hi与fxi-1,xi (i=1,2,n)输入xi,yi(i=1,2,n)2.源程序代码：#include #include main()float x5=50,100,150,200,250,y5=23.21,43.56,50.00,43.56,23.21; float h5,f5,u5,r5,g5,b5,t5,M5; int i,n=4; for(i=1;i=n;i+) hi=xi-xi-1; /*求出相邻x的差*/ fi=(yi-yi-1)/hi; /*求出fxi,xi+1*/ for(i=1;in;i+) /*求出ui、ri、gi*/ ui=hi/(hi+hi+1); ri=1-ui; gi=6*(fi+1-fi)/(hi+hi+1); b1=r1/2; for(i=2;in-1;i+) /*求出bi*/ bi=ri/(2-ui*bi-1); t1=g1/2; for(i=2;i0;i-) /*求出Mi*/ Mi=ti-bi*Mi+1; for(i=0;in;i+) printf(M%d=%fn,i,Mi); for(i=1;i=n;i+) printf(s%d(x)=%f(%f-x)3+(%f)*(x-%f)3+(%f)*(%f-x)+(%f)*(x-%f)n, i,Mi-1/(6*hi), xi,Mi/(6*hi),xi-1,(yi-1-Mi-1*hi*hi/6)/ hi,xi,(yi-Mi*hi*hi/6)/hi,xi-1);四、实验过程中需要记录的数据： 在程序中，主要记录的数据有hi，ui，vi，gi以及最重要的是在区间xi-1, xi的三次插值函数的二阶导数Mi，最后输出在各个小区间内的三次样条插值函数即可。五、 实验数据处理及结果分析在程序检查无误时，在win-TC上运行并看结果，结果如图：结果分析：由计算机算出的应该没有错，但是在输出Si(x)时的形式不怎么规范，因此可以把结果写成：当x属于（50.00，100.00）时s(x)=-0.000024(x-50.000000)3+0.464200(100.000000-x)+0.932286(x-50.000000) 当x属于（100.00，150.00）时s(x)=-0.000024(150.000000-x)3-0.000014(x-100.000000)3+0.932286(150.000000-x)+1.033857(x-100.000000)当x属于（150.00，200.00）时s(x)=-0.000014(200.000000-x)3-0.000024(x-150.000000)3+1.033857(200.000000-x)+0.932286(x-150.000000)当x属于（200.00，250.00）时s(x)=-0.000024(250.000000-x)3+0.000000(x-200.000000)3+0.932286(250.000000-x)+0.464200(x-200.000000)六、 实验中存在的问题及解决方案在编程的过程中，开始没有很好的区分和利用三次样条的公式，导致实验一直是错误地答案，与事实不相符。而且在实验的输出结果中无法用一种很好的方式输出正确的形式，最终只能用s%d(x)=%f(%f-x)3+(%f)*(x-%f)3+(%f)*(%f-x)+(%f)*(x-%f)的形式输出结果。并且在该实验程序中有太多的循环，导致循环的次数有时会搞错，而且又要合理的利用每次循环的次数，才能达到一个正确的结果。七、 心得体会 通过本次编程，在一定程度下进一步对样条插值的思想和原理有了更深入的理解，也了解了分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不