轴对称最值问题专项提升附答案

使使 命 给命 给 孩孩 子子 受受 益益 一一 生生 的的 教教 育育 逸 思 兴 维逸 思 兴 维 1 授课教案授课教案 学员姓名 学员姓名 学员年级 学员年级 授课教师 授课教师 所授科目 所授科目 上课时间 上课时间 年年 月月 日日 共共 课时课时 以上信息 以上信息请请老老师师用正楷字手写 用正楷字手写 轴对称最值问题专项提升轴对称最值问题专项提升 知识点 最短路径 两点之间 线段最短 例 四边形 ABCD 中 BAD B D 在 BC CD 上分别找一点 M N 使 0 120 0 90 AMN 周长最小 则AMN ANM 的度数是 A B C D 0 130 0 120 0 110 0 100 例 如图 P Q 分别为ABC 的边 AB AC 上的定点 在 BC 上求作一点 M 使PQM 周长最小 一 解答题 共一 解答题 共 6 小题 小题 1 已知 如图所示 M 3 2 N 1 1 点 P 在 y 轴上使 PM PN 最短 求 P 点坐标 2 如图 ABC 的边 AB AC 上分别有定点 M N 请在 BC 边上找一点 P 使得 PMN 的周长最短 保留 作图痕迹 3 如图 ABC 是边长为 2 的等边三角形 D 是 AB 边的中点 P 是 BC 边上的动点 Q 是 AC 边上的动点 当 P Q 的位置在何处时 才能使 DPQ 的周长最小 并求出这个最值 使使 命 给命 给 孩孩 子子 受受 益益 一一 生生 的的 教教 育育 逸 思 兴 维逸 思 兴 维 2 4 如图 AOB 30 AOB 内有一定点 P 且 OP 10 OA 上有一点 Q OB 上有一定点 R 若 PQR 周长最 小 求它的最小值 5 如图 已知 A B 是锐角 的 OM 边上的两个定点 P 在 ON 边上运动 问 P 点在什么位置时 PA2 PB2的 值最小 6 如图 两个生物制药厂 A 与 B 座落于运河河岸的同一侧 工厂 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米 两个工厂的距离为 6 千米 现要在运河的工厂一侧造一点 C 在 C 处拟设立一个货物运输中转站 并建设直线 输送带分别到两个工厂和河岸 使直线运送带总长最小 如图建立直角坐标系 1 如果要求货物运动中转站 C 距离河岸 l 为 a 千米 a 为一个给定的数 0 a 2 求 C 点设在何处时 直线 输送带总长 S 最小 并给出 S 关于 a 的表达式 2 在 0 a 2 范围内 a 取何值时直线输送带总长最小 并求其最小值 使使 命 给命 给 孩孩 子子 受受 益益 一一 生生 的的 教教 育育 逸 思 兴 维逸 思 兴 维 3 2014 年年 09 月月 09 日日 752444625 的初中数学组卷的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 6 小题 小题 1 已知 如图所示 M 3 2 N 1 1 点 P 在 y 轴上使 PM PN 最短 求 P 点坐标 考点 轴对称 最短路线问题 坐标与图形性质 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 找出点 N 关于 y 轴的对称点 连接 M 与对称点 与 y 轴的交点为 P 点 根据两点之间 线段最短得到 此时点 P 在 y 轴上 且能使 PM PN 最短 根据关于 y 轴对称点的特点 找出 N 对称点的坐标 设出直 线 MP 的方程 把 N 的对称点的坐标和 M 的坐标代入即可确定出直线 MP 的方程 然后令 x 0 求出直 线与 y 轴的交点 写出交点坐标即为点 P 的坐标 解答 解 根据题意画出图形 找出点 N 关于 y 轴的对称点 N 连接 MN 与 y 轴交点为所求的点 P N 1 1 N 1 1 设直线 MN 的解析式为 y kx b 把 M 3 2 N 1 1 代入得 解得 所以 y x 令 x 0 求得 y 则点 P 坐标为 0 使使 命 给命 给 孩孩 子子 受受 益益 一一 生生 的的 教教 育育 逸 思 兴 维逸 思 兴 维 4 点评 此题考查了对称的性质 以及利用待定系数法求一次函数的解析式 利用对称的方法找出线段之和的最小值的步骤为 1 找出其中一个定点关于已知直线的对应点 2 连接对应点与另一个定点 求出与已知直线交点的坐标 3 根据两点之间 线段最短可知求出的交点坐标即为满足题意的点的坐标 2 如图 ABC 的边 AB AC 上分别有定点 M N 请在 BC 边上找一点 P 使得 PMN 的周长最短 写 出作法 保留作图痕迹 考点 轴对称 最短路线问题 菁优网版权所有 专题 作图题 分析 作点 N 关于 BC 的对称点 N 连接 MN 交 BC 于点 P 由两点之间线段最短可知 P 点即为所求点 解答 解 作点 N 关于 BC 的对称点 N 连接 MN 交 BC 于点 P 由对称的性质可知 PN PN 故 PN PM MN 由两点之间线段最短可知 PMN 的最短周长即为 MN MN 点评 本题考查的是最短线路问题 根据两点之间线段最短的知识作出 N 的对称点是解答此题的关键 3 如图 ABC 是边长为 2 的等边三角形 D 是 AB 边的中点 P 是 BC 边上的动点 Q 是 AC 边上的动点 当 P Q 的位置在何处时 才能使 DPQ 的周长最小 并求出这个最值 使使 命 给命 给 孩孩 子子 受受 益益 一一 生生 的的 教教 育育 逸 思 兴 维逸 思 兴 维 5 考点 轴对称 最短路线问题 等边三角形的性质 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 作出 D 关于 BC AC 的对称点 D D 连接 D D DQ DP 根据轴对称的性质将三角形的周长最值 问题转化为两点之间线段最短的问题 利用等边三角形的性质和三角函数即可解答 解答 解 作 D 关于 BC AC 的对称点 D D 连接 D D DQ DP DQ D Q DP D P DPQ 的周长为 PQ DQ DP PQ D Q D P D D 根据两点之间线段最短 D D 的长即为三角形周长的最小值 A B 60 BED AFD 90 90 60 30 D DD 180 30 30 120 D 为 AB 的中点 DF AD cos30 1 AF 易得 ADF QD F QF AF AQ 1 BP 1 Q P 为 AC BC 的中点 DD 2 同理 DD 2 DD D 为直角三角形 D D 30 D D 2DD cos30 2 3 点评 此题考查了轴对称 最短路径问题 涉及正三角形的性质 三角函数 三角形的内角和定理 等腰三角 形的性质和判定等知识 有一定难度 使使 命 给命 给 孩孩 子子 受受 益益 一一 生生 的的 教教 育育 逸 思 兴 维逸 思 兴 维 6 4 如图 AOB 30 AOB 内有一定点 P 且 OP 10 OA 上有一点 Q OB 上有一定点 R 若 PQR 周长最 小 求它的最小值 考点 轴对称 最短路线问题 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 先画出图形 作 PM OA 与 OA 相交于 M 并将 PM 延长一倍到 E 即 ME PM 作 PN OB 与 OB 相 交于 N 并将 PN 延长一倍到 F 即 NF PN 连接 EF 与 OA 相交于 Q 与 OB 相交于 R 再连接 PQ PR 则 PQR 即为周长最短的三角形 再根据线段垂直平分线的性质得出 PQR EF 再根据三角 形各角之间的关系判断出 EOF 的形状即可求解 解答 解 设 POA 则 POB 30 作 PM OA 与 OA 相交于 M 并将 PM 延长一倍到 E 即 ME PM 作 PN OB 与 OB 相交于 N 并将 PN 延长一倍到 F 即 NF PN 连接 EF 与 OA 相交于 Q 与 OB 相交于 R 再连接 PQ PR 则 PQR 即为周长最短的三角形 OA 是 PE 的垂直平分线 EQ QP 同理 OB 是 PF 的垂直平分线 FR RP PQR 的周长 EF OE OF OP 10 且 EOF EOP POF 2 2 30 60 EOF 是正三角形 EF 10 即在保持 OP 10 的条件下 PQR 的最小周长为 10 故答案为 10 点评 本题考查的是最短距离问题 解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点 即把求三角形 周长的问题转化为求线段的长解答 5 如图 已知 A B 是锐角 的 OM 边上的两个定点 P 在 ON 边上运动 问 P 点在什么位置时 PA2 PB2的 值最小 使使 命 给命 给 孩孩 子子 受受 益益 一一 生生 的的 教教 育育 逸 思 兴 维逸 思 兴 维 7 考点 轴对称 最短路线问题 菁优网版权所有 专题 动点型 探究型 存在型 分析 由余弦定理 可得二次函数 然后可求最值 解答 解 设 OA a OB b OP x PA2 a2 x2 2axcos PB2 b2 x2 2bxcos PA2 PB2 a2 x2 2axcos b2 x2 2bxcos 2x2 2 a b cos x a2 b2 当 x cos 时 PA2 PB2的值最小 点评 本题考查的是最短路线问题 熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键 6 如图 两个生物制药厂 A 与 B 座落于运河河岸的同一侧 工厂 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米 两个工厂的距离为 6 千米 现要在运河的工厂一侧造一点 C 在 C 处拟设立一个货物运输中转站 并建设直线 输送带分别到两个工厂和河岸 使直线运送带总长最小 如图建立直角坐标系 1 如果要求货物运动中转站 C 距离河岸 l 为 a 千米 a 为一个给定的数 0 a 2 求 C 点设在何处时 直线 输送带总长 S 最小 并给出 S 关于 a 的表达式 2 在 0 a 2 范围内 a 取何值时直线输送带总长最小 并求其最小值 考点 轴对称 最短路线问题 直角梯形 菁优网版权所有 专题 探究型 分析 1 过 B 作直线 BE y 轴于 E 点 再根据所建直角坐标系及 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米 求出 A B 两点的坐标 再用 a 表示出 B 点的坐标 再用两点间的距离公式即可求解 2 根据 1 中 S 的表达式及 a 的取值范围进行解答即可 解答 解 1 如图所示 过 B 作直线 BE y 轴于 E 点 A 和 B 距离河岸 l 分别为 4 千米和 2 千米 AB 6 千米 AE 4 2