第2章 逻辑代数基础(h)

1 内容提要 分析和设计数字逻辑的重要数学工具 逻辑代数的基本概念 公式和定理 逻辑函数的几种表示方法 真值表 函数表达式 逻辑图和卡诺图 及其相互转换 逻辑函数的两种化简方法 公式化简法和图形化简法 Multisim10电路仿真软件的用法 数字电子技术基础实用教程 双语对照 与and或or非not与非nand或非nor与或非and or invert异或exclusive or同或exclusive nor 真值表truthtable函数式functionalexpression最小项miniterm波形图timingdiagram化简simplification卡诺图karnaughmap无关最小项don tcareminterm 双语对照 2 1逻辑代数的基本运算和复合运算 数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系 所以数字电路又称逻辑电路 相应的研究工具是逻辑代数 布尔代数Booleanalgebra 逻辑变量 描述事物两种对立的逻辑状态的变量 只有两个值 二值变量 即0和1 中间值没有意义 2 1 1逻辑变量与逻辑函数 0和1表示两个对立的逻辑状态 例如 电位的低高 0表示低电位 1表示高电位 开关的开合等 逻辑函数 以逻辑变量为输入 运算结果作为输出 若输入变量的值确定后 输出的值也随之确定 这种函数关系 逻辑函数与普通函数一样 可以用字母来表示 无论变量还是函数 其取值只有两种 0或1 基本逻辑运算 与 and 或 or 非 not 2 1 2基本逻辑运算 1 与 逻辑 与逻辑 决定事件发生的各条件中 所有条件都具备 事件才会发生 成立 规定 开关合为逻辑 1 开关断为逻辑 0 灯亮为逻辑 1 灯灭为逻辑 0 逻辑符号 A Y B 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 逻辑式 Y A B 逻辑乘法逻辑与 真值表 真值表特点 有0出0 全1出1 与逻辑运算规则 0 0 00 1 01 0 01 1 1 2 或 逻辑 或逻辑 决定事件发生的各条件中 有一个或一个以上的条件具备 事件就会发生 成立 规定 开关合为逻辑 1 开关断为逻辑 0 灯亮为逻辑 1 灯灭为逻辑 0 真值表 逻辑符号 逻辑式 Y A B C 逻辑加法逻辑或 真值表特点 有1出1 全0出0 或逻辑运算规则 0 0 00 1 11 0 11 1 1 3 非 逻辑 非 逻辑 决定事件发生的条件只有一个 条件不具备时事件发生 成立 条件具备时事件反而不发生 规定 开关合为逻辑 1 开关断为逻辑 0 灯亮为逻辑 1 灯灭为逻辑 0 逻辑符号 逻辑非逻辑反 真值表特点 1出0 0出1 逻辑式 运算规则 2 1 3复合逻辑运算 与 或 非 是三种基本的逻辑关系 任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示 与非 nand 条件A B C都具备 则F不发生 其他几种常用的逻辑关系如下表 与非真值表特点 有0出1 全1出0 真值表 或非 nor 条件A B C任一具备 则F不发生 异或 exclusive or 条件A B有一个具备 另一个不具备则F发生 同或 exclusive nor 条件A B相同 则F发生 基本逻辑关系小结 表2 1 6与或非逻辑真值表 逻辑符号 2 2逻辑代数的基本公式和常用公式 2 2 1基本公式 2 2 2常用公式 2 3逻辑代数的基本运算规则 2 3 1代入规则 任何一个含有某变量的等式 如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式 则等式依然成立 这一规则称为代入规则 运算顺序 1 2 与 乘3 或 加 代替等式两边的A 等式仍然成立 即 若用 例如 还可以推广到n个变量 或 用处 扩大定理的应用范围 例2 3 1 已知等式 C C 试证明将所有出现C的地方用 D E 代入后 等式仍然成立 证明 左边 D E D E D E右边 D E D E所以 左边 右边 2 3 2反演规则 将函数式F中所有的 变量及常数均取反 求反运算 互补运算 1 运算顺序 先括号 再乘法 后加法 2 多个变量上的反号先不动 注意 用处 实现互补运算 求反运算 新表达式 F 显然 变换时 原函数运算的先后顺序不变 例2 3 3 求函数的反函数 解 根据反演规则可以写出结果为 例1 与或式 注意括号 求反 或 例2 与或式 反号不动 求反 或 2 3 3对偶规则 新表达式 F 对偶表达式 注意 1 变换时 原函数运算的先后顺序不变 运算顺序 先括号 再乘法 后加法 2 如果两个逻辑表达式F G 则它们的对偶表达式也相等 即F G 用处 减少需证明的公式 将函数式F中所有的 例2 3 4 证明恒等式A BC A B A C 解 根据对偶规则 A BC的对偶式为 A B C AB AC A B A C 的对偶式为AB AC因对偶式相同 故A BC与 A B A C 相等 例 求对偶表达式 2 4逻辑函数的表示法 1 真值表2 函数表达式3 逻辑图4 卡诺图5 波形图 例2 4 1 个人表决一件事情 结果按 少数服从多数 的原则决定 试建立该逻辑函数 解 1 逻辑抽象 确定输入 输出逻辑变量 3人意见为输入逻辑变量 表决结果为输出逻辑变量 Y 2 状态赋值 同意为 不同意为 Y 通过为 没通过为 3 根据题意及上述规定列出函数关系式 结果Y通过的条件 A和B同意 ABB和C同意 BCA和C同意 ACA B和C都同意 ABC则结果Y可能通过的逻辑表达式为 Y A B C AB BC AC ABC 2 4逻辑函数的表示法 5种表示方法 2 逻辑代数式 logicexpression 3 逻辑电路图 logiccircuit 4 卡诺图 karnaughmap 1 真值表 truthtable 将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格 5 波形图 将输入 输出的所有可能状态一一对应地列出 n个变量可以有2n个输入状态 2 1 1真值表描述 列真值表的方法 一般按二进制的顺序 输出与输入状态一一对应 列出所有可能的状态 例如 将真值表中函数值为1的项相加 得到逻辑函数 与或式 变量赋值为1时用该变量表示 变量赋值为0时用该变量的反来表示 例2 4 2 个人表决一件事情 结果按 少数服从多数 的原则决定 试画出该逻辑函数的真值表 结果 3人表决少数服从多数的真值表如下 2 4 2逻辑函数式 functionalexpression 把逻辑函数的输入 输出关系写成与 或 非等逻辑运算的组合式 也称为逻辑函数式 通常采用 与或 的形式 例 1 一般式2 最简式3 标准式 Y A B C AB BC AC ABC 1 最简式描述特点 用最简式实现电路可以用较少的元器件来实现 元器件间的连线最少 达到简化电路 节省器件 便于维修调试 降低生产成本的效果 最简式描述包括 最简 与或式最简 或与式最简 与非 与非式最简 与或非式最简 或非 或非式 1 最简与或式 它要求 1 式中所含的与项最少 2 各与项中所含的变量数最少 例如 2 最简或与式 它要求 1 式中所含的或项最少 2 各或项中所含的变量最少 例如 3 最简与非 与非式最简与非 与非式由最简的与或式变换而来 它要求 1 式中所含的与非项最少 2 各与非项中所含的变量数最少 例如 4 最简与或非式 它要求 1 式中所含的与项最少 2 各与项中所含的变量数最少 如果得到该函数的反函数的最简与或式 经过变换就可以得到该函数的最简与或非式 例如 5 最简或非 或非式 它要求 1 式中所含的或非项最少 2 各或非项中所含的变量数最少 由最简与或非式 变换可得 例如 2 最小项 miniterm 和标准与或表达式 1 最小项定义 设有n个逻辑变量 由它们组成具有n个变量的与项中 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次 则称这个与项为最小项 对于n个变量来说 可有2n个最小项 以三变量为例 ABC为三个变量 n 3 23 8 所以有8个最小项 1 在输入变量的任何一组取值下 必有一个且仅一个最小项的值为1 其余最小项的值均为0 2 全部最小项之和为1 3 任何两个不同的最小项的乘积为0 4 具有相邻性的2个最小项之和可以合并为一项 合并后的结果中只保留这两项公共因子 最小项的性质 将最小项为1时各输入变量的取值转换成二进制数 与它等值的十进制数i作为最小项的编号 并把最小项记作mi i 0 2n 1 之所以称之为最小项 是因为该项已包含了所有的输入变量 不可能再分解 例如 对于三变量的逻辑函数 如果某一项的变量数少于3个 则该项可继续分解 若变量数等于3个 则该项不能继续分解 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和 称为最小项表达式 即标准与或表达式 例1 将以下逻辑函数转换成最小项表达式 解 从真值表写出的与或表达式就是标准与或表达式 2 标准与或表达式 每个与项都是最小项的与或表达式 称为标准与或表达式 3 从真值表求标准与或式 1 找出使逻辑函数Y为1的变量取值组合 2 写出使函数Y为1的变量取值组合对应的最小项 3 将这些最小项相或 即得到标准与或表达式 4 从逻辑函数表达式求标准与或式 1 检查表达式的每一个乘积项是否含有逻辑函数中所有的变量 2 利用公式弥补乘积项中缺少的变量 然后展开化成最小项之和的形式 解 例2 将下列逻辑函数转换成最小项表达式 m7 m6 m3 m5 m 3 5 6 7 2 4 3逻辑图描述 逻辑图 把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来 就构成了逻辑图 F AB CD 2 4 4卡诺图描述 1 卡诺图的构成 在具有n个变量的逻辑函数中 可以有2n个最小项 其中有些最小项之间只有一个因子不同 这些最小项叫做逻辑相邻的最小项 将 个变量的全部最小项各用一个小方格表示 并使具有逻辑相邻性的最小项放在几何相邻的位置上排列起来 所得到的图形叫做 变量的卡诺图 逻辑函数的卡诺图表示 1 首先把逻辑函数化为最小项之和的形式 2 然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置填入 其余位置上填入 即 任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入 的那些最小项之和 例 作出下列函数的卡诺图 通过配项法将Y写成标准与或表达式 即最小项形式 真值表 卡诺图 逻辑代数式 方法 将真值表或卡诺图中为1的项相加 写成 与或式 2 4 5波形图描述 针对输入量的变化波形 根据输入变量和输出变量之间的逻辑关系 画出输出逻辑函数相应变化的波形叫逻辑函数的波形图 timingdiagram 表示 波形图的特点是可以通过逻辑分析仪直接显示 便于用实验的方法分析数字电路的逻辑功能 例2 4 3 已知逻辑函数 输入变量A B C波形图形如图2 4 4所示 试按照逻辑关系画出输出L的波形 1 并项法 2 吸收法 运用公式 运用吸收律A AB A 消去多余的与项 如 2 5逻辑函数的公式化简法 simplify 将两项合并为一项 消去一个 变量 如 4 配项法 3 消去法 运用吸收律 消去多余因子 如 例2 5 1 化简函数 1 利用吸收法 得到 2 利用消去法 得到 3 利用吸收法 Y B 例1 例2 反演 结论 异或门可以用4个与非门实现 例3 证明 展开 异或门可以用4个与非门实现 例4 化简为最简逻辑代数式 例5 将Y化简为最简逻辑代数式 利用反演定理 由上例可知 逻辑函数的化简结果不是唯一的 代数化简法的优点是不受变量数目的限制 缺点是 没有固定的步骤可循 需要熟练运用各种公式和定理 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验 有时很难判定化简结果是否最简 解法1 解法2 例6 化简逻辑函数 2 6逻辑函数的卡诺图简法 2 6 1卡诺图特点 特点 几何位置相邻的最小项在逻辑上也一定相邻 即两个相邻的最小项只有一个变量不同 所以 从卡诺图上能够直观地判断出哪些最小项可以合并 逻辑相邻性 几何相邻 从卡诺图的构成可以得知 几何位置相邻的最小项在逻辑上也一定相邻 即两个最小项只有一个变量不同 所以 从卡诺图上能够直观地判断出哪些最小项可以合并 2 6逻辑函数的卡诺图简法 2 6 1卡诺图特点 1 合并最小项的规则 1 相邻单元的个数是2n个 并组成矩形时 可以合并 并消去n个因子 1 2个相邻的最小项可以消去不同因子 保留公因子 合并成一项 2 4个相邻并排成矩形的最小项可以合并成一项 并消去两个因子 3 8个相邻并排成矩形的最小项可以合并成一项 并消去三个因子 2 要合并的对应方格必须排列成矩形或正方形 1 合并最小项的规则 在逻辑函数的卡诺图中 画包围圈规则是 1 圈里包围的小方格数为2n个 n 0 1 2 2 圈里包围的小方格数 圈内变量 应尽可能的多 化简消去的变量就多 圈的个数尽可能的少 则化简结果中的与项个数就少 即圈越大越好 圈数越少越好 3 允许重复圈小方格 但每个圈里至少应有一个新的小方格 4 圈内的小方格必须满足相邻关系 写最简与或式每一个组合中的公因子构成一个 与 项 然后将所有 与 项相加 得最简 与或 表示式 2 画包围圈规则 图形法化简的基本步骤 逻辑表达式或真值表 卡诺图 1 1 合并最小项 圈越大越好 但每个圈中标 的方格数目必须为个 同一个方格可同时画在几个圈内 但每个圈都要有新的方格 否则它就是多余的 不能漏掉任何一个标 的方格 最简与或表达式 冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈的乘积项相加 例1 化简 F A B C D 0 2 3 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 例2 化简 例3 用卡诺图化简逻辑代数式 首先 逻辑代数式 卡诺图 1 1 两点说明 1 在有些情况下 最小项的圈法不只一种 得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同 哪个是最简的 要经过比较 检查才能确定 不是最简 最简 2 有时化简结果不唯一 2 6 3具有无关项的逻辑函数化简 无关项 在函数式里写入还是不写入 其函数值都不改变的最小项叫无关项 无关项有两种 1 约束项 有些变量的取值不可能出现 其对应的最小项恒等于0 叫 2 任意项 某些变量的取值下 函数值是1还是0皆可 并不影响电路的功能 这些变量取值下所对应的最小项叫 1 无关项概念 例如 判断一位十进制数是否为偶数 输入变量A B C D取值为0000 1001时 逻辑函数Y有确定的值 根据题意 偶数时为1 奇数时为0 A B C D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现 对应的最小项属于随意项 用符号 或 d 表示 约束项之和构成的逻辑表达式约束条件 用一个值恒为0的条件等式表示 含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式 2 具有无关项的逻辑函数化简 在逻辑函数的化简中 充分利用约束项可以得到更加简单的逻辑表达式 因而相应的逻辑电路也更简单 如果约束项对化简有利 则取1 如果约束项对化简不利 则取0 不利用约束项的化简结果为 利用约束项的化简结果为 例1 已知真值表如图 用卡诺图化简 化简时可以将无关项当作1或0 目的是得到最简结果 F A 采用画1的包围圈化简 结果通常为与或表示式 若要求用其他形式表示怎么办 常用的逻辑函数表达式有五种 1 与或 画1的包围圈直接得出 2 或与 画0的包围圈 再运用反演律变换得出 3 与非 与非 画1的包围圈 再运用反演律变换得出 4 或非 或非 画0的包围圈 再运用反演律变换得出 5 与或非 画0的包围圈直接得出 1 最简与非 与非表达式 非号最少 并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非 与非表达式 在最简与或表达式的基础上两次取反 用摩根定律去掉下面的非号 2 最简