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2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例1】 已知椭圆x2+（m+3）y2=m（m0）的离心率e=，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解析：椭圆的方程可化为：=1m-0，m即a2=m，b2=，c= 由e=得=，m=1.椭圆的标准方程为x2+=1.a=1，b=，c=.椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1（-，0），F2（，0）四个顶点分别为A1（-1，0），A2（1，0），B1（0，），B2（0，）.二、求椭圆的离心率【例2】 2006山东潍坊一模，8 在RtABC中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为（ ）A. B.-1 C. D.解析:设另一个焦点为C，则有AC+AC=2a，BC+BC=2a，又BC=，BC=1-AC，解得AC=，a=，c=，离心率e=，故选A.答案：A温馨提示 本题考查椭圆的定义、离心率公式及相关运算能力.三、离心率的应用【例3】 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cosOFA=,求椭圆的方程.解:椭圆的长轴长是6，cosOFA,点A不是长轴的端点（是短轴的端点）.OFc，AFa.c2，b232-22.椭圆的方程是或.温馨提示 OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c，斜边的长为a，OFA的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练 1求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解:把已知方程化成标准方程：+x2=1，这里a=5,b=1,所以c=2.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，-2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).变式提升 1已知点P（3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标（P点除外）？这几个点的坐标是什么？解:根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是（3，-6）、（-3，-6）、（-3，6）.类题演练 2设椭圆=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过点F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到准线l1的距离，则椭圆的离心率是_.答案：变式提升 2椭圆=1和=k（k0）具有（ ）A.相同的长轴长 B.相同的焦点C.相同的离心率 D.相同的顶点答案：C类题演练 3已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，离心率e=，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程.解：e=，=1-e2=.可设所求椭圆方程为=1（t0），c2=9t-8t=t，c=，M（，4）.M在椭圆上，=t，t=.故所求椭圆的方
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