自动控制原理例题详解-第8章例题

相平面法例题解析：要求：1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是之间关系的方程（或）。会画相轨迹（模型中是给具体数的）。关键是确定开关线方程。2. 如果发生自持振荡，计算振幅和周期。注意相平面法一般应： 1）按照信号流向与传输关系。线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有或者的运动方程。2）根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定很关键。3）根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t法）不同线性分区对应的相轨迹方程，即和之间关系。4）根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。例2：具有死区特性的非线性系统分析。设系统开始处于静止状态。 问题1. 用相平面法分析系统在输入r(t) = 4.1(t)时的运动情况。问题2. 如果发生自持振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。解：问题1：1）设系统结构图，死区特性的表达式： 2）线性部分：，则运动方程为：3）绘制平面相轨迹图。因为，。代入则 （1）当，。代入，则各区的运动方程由于非线性特性有3个分区，相平面分为3个线性区。注意，当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性。4） 系统开关线：。5） 由题意知初始条件，在II区，则从初始值出发绘制相轨迹：【注】：用解析法中的斜率法求：上课时按照此方法求相轨迹方程：II区： -不是标准线性系统运动方程的形式。根据斜率方程，则分离变量积分得 则之间的相轨迹方程为 结论：II区以为中心的圆，与右开关线的交点A（2，-2）I区：，水平线，与左开关线的交点B（-2，-2）III区： -不是标准线性系统运动方程的形式。根据斜率方程，则分离变量积分得 （注意新的初始值B（-2，-2）则之间的相轨迹方程为 结论：III区以为中心的圆。以此例推，出现了一个封闭椭圆。极限环问题2：若相平面中出现了稳定的极限环对应着非线性的自持振荡。问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如图：这是个椭圆，1）周期：II区：，这是因为： ，注意，在图中为负的。I区： 振幅代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小即C点的横坐标。 这是因为，对于整个非线性系统的奇点是（0，0 ）。对于该点，最大的位移就是振幅，因此是C点的横坐标4。例3：具有继电器特性的非线性系统分析2006-B (15分)非线性控制系统如图。问题1：设，绘制起点在，的相轨迹图。(10分)问题2：计算相轨迹旋转一周所需时间。(5分)解：问题1：(10分)1）非线性环节数学表达式：； 2）线性部分：所以描述线性部分的运动方程为：则3）绘制平面相轨迹。，令， 则各区的运动方程注意：条件方程也要改成的。4）开关线方程：5）由已知条件，起点，从II区开始，下面绘制相轨迹：【注】：用解析法中消去参变量时间t 的方法求相轨迹方程：上课时按照此方法求的，以下同。当然如果用斜率法求相轨迹方程也可以。不过，这个例子为常数，消去参变量时间t 的方法更适合。区：，则；相轨迹为开口向左的抛物线，；在右开关线处的交点为=1 , -(1,-2) 区：，则；相轨迹为平行横轴的直线（因为纵坐标不变-2，而横坐标虽时间变化）；在左开关线处的交点为=-1 , -(-1,-2) 区： ； -相轨迹为开口向右的抛物线，在开关线处的交点 (-1, 2)以此类推，求得如图的极限环。注意: 每个区的初始值是不同的。当进入II区时的第一个位置即为II的初始值， 每个区的初始值的求法就是根据上一个区的区域根轨迹方程可以求出进入下一区的初始值，以此一个个区经过后，会变成一个连续的曲线轨迹非线性系统的相轨迹。 问题2：运动一周所需时间为（因为II区,则，注意，在图中为负的。）注意: 并不是所有开关线都是垂直于横轴的，开关线关键要看各个线性区域的边界条件。例4 ：2008年 非线性控制系统如下图所示。图中。1、以为相变量，写出相轨迹分区运动方程（8分）； 2、若M=0.5，画出起始于、的相轨迹（4分）； 3、利用相轨迹计算稳态误差及超调量（3分）。解：1. 1）非线性特性： 2） 线性部分： （1）注意：线性部分关键是产生的运动方程，但是更关键的是，此运动方程必须能与非线性特性的输出产生关系。3）绘制以平面的相轨迹。因此，代入式（1）中，则则 即运动方程为 因为，则 （2）式（2）中代入非线性特性，于是各区的运动方程：M=0.5，则各区的运动方程：4）开关线方程：2. 绘制相轨迹：起点为（0，0）在I区。I区：，积分分离后则 ， 相轨迹为奇点为，的圆。 与开关线交于，的点II区：，积分分离后，则，相轨迹为奇点为，的圆。则相轨迹如图：3. 稳态误差：2-2=0 超调量： 可见：开关线不一定垂直于或者平行于横轴，见本章的作业P477 8-7 。第8章的作业P477 8-7 ：要求严格按照此步骤进行，即12月12日（周三）上课时老师讲课的步骤和方法进行，。已知 ，设输出初始值为0 。当T=0和0.5时分别讨论系统运动。并分析加入一阶微分环节后对系统的性能的影响。解：1. 1）非线性特性：2） 线性部分： 所以描述线性部分的运动方程为： （1）注意：不在乎非线性和线性部分多复杂，位置如何，都要根据信号的流向和传输关系把他们的输入和输出关系列写出来。3）绘制平面相轨迹图。因为，。代入（1）式，则运动方程为 （2）因为，当， 。代入（2）式，则各区的运动方程则 （3）上式代入非线性特性，于是各区的运动方程：4）开关线方程： ，即5）绘制相轨迹初始值：，则（1，0）始于I区 当I区：根据斜率方程，分离变量并积分得 则之间的相轨迹方程为 是开口向左的抛物线，且与开关线的交于A（0，）注意：根据随着t增大的方向，下半平面相轨迹由右向左，上半平面相轨迹由左向右，因此，相轨迹从（1，0）出发，向下半平面运行。II区：根据斜率方程，分离变量并积分得 则之间的相轨迹方程为 是开口向右的抛物线，且与开关线的交于B（0，）以此例推，相轨迹如图所示，可见出现了一个封闭的稳定的极限环。此时，非线性系统发生稳定的自持振荡，稳态误差不为0。 当I区：根据斜率方程，分离变量并积分得 则之间的相轨迹方程仍然为 是开口向左的抛物线，且与开关线的交于C（0.5，）。注意：C点坐标式这样求的：II区：根据斜率方程，分离变量并积分得 则之间的相轨迹方程为 是开口向右的抛物线，且与开关线的交于D（0，0）注意：D点坐标式这样求的：相轨迹如图所示。由图可见，非线性系统稳定，稳态误差为0。结论： 可见，加入一阶微分环节后，系统的性能大大改善。要求严格按照此步骤进行注意：P443例8.3原题有些小问题，以下凡是不是黑色的都是我修改过的地方。例8.3 已知非线性系统结构图如图8.62（）所示（图中）。（1）当时，试分析系统是否会产生自持振荡，若产生自持振荡，求自持振荡的幅值和频率；（2）当上面问题中时，试分析对系统的影响。 (a) 非线性系统结构图 (b) -1/N(A)和G(j)的曲线图图8.62 例题8.3图解 （1）首先将结构图简化成非线性部分和等效线性部分相串联的结构形式，如图8.63所示。有同学问，图（1）如何变成图（2）？答：结构图等效有同学问，图（2）如何变成图（3）的？答：因为r=0，无法通过结构图等效得出总的闭环传递函数。但是考虑到，非线性系统的描述函数法是在没有输入信号的情况下，探讨系统的稳定性。具体的根据特征方程：因此，探讨的是与曲线的关系。因此，根据特征方程等效关系，将图（2）变为图（3），则此时此2图对应的非线性系统的稳定性相同。令两个图的特征方程相