天津大学《概率论与数理统计》条件概率

引例1 掷一个骰子 已知掷出了偶数点 求掷出的是2的概率 引例2 在52张扑克中任取一张 已知是草花的条件下 求是5的概率 显然 若事件A B是古典概型的样本空间 中的任意两个事件 其中A含有nA个样本点 AB含有nAB个样本点 则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 一般地 设A B是 中的两个事件 则 例如 某地发生了一个案件 怀疑对象有甲 乙 丙三人 在不了解案情细节 事件B 前 侦破人员根据过去的前科 对他们作案的可能性有一个估计 设为甲 乙 丙分别为P A1 P A2 P A3 但在知道案情细 知道B发生后 这个估计就有了变化 比如原来认为作案可能性较小的某甲 现在变成了重点嫌疑犯 即P A1 B 变大 P A2 B P A3 B 变小 条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系 若 一般地 概率P A B 与P AB 的区别与联系 联系 事件A B都发生了 区别 1 在P A B 中 事件A B发生有时间上的差异 B先A后 在P AB 中 事件A B同时发生 2 样本空间不同 在P A B 中 事件B成为样本空间 在P AB 中 样本空间仍为 因而有 条件概率也是概率 故具有概率的性质 3 可列可加性 1 非负性 2 规范性 3 设B1 B2 两两不相容 则有 乘法法则 推广 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0 8 能用1500小时的概率为0 4 求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解令A灯泡能用到1000小时B灯泡能用到1500小时 所求概率为 例1 练一练 某种动物出生之后活到20岁的概率为0 7 活到25岁的概率为0 56 求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率 解设A表示 活到20岁 B表示 活到25岁 则 所求概率为 2 例下表给出了乌龟的寿命表 试求下面一些事件的条件概率 1 活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少 由于活到100岁的乌龟一定活到60岁 所以有 于是 例1掷两颗均匀骰子 求在已知第一颗掷出6点条件下 掷出点数之和不小于10 的概率是多少 解法 定义 1 解法 缩小样本空间 2 解 设A 第一颗掷出6点 B 掷出点数之和不小于10 应用定义 在A发生后的缩减样本空间中计算 例2从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张 已知其中1张是假钞 求2张都是假钞的概率 解一令A表示 其中1张是假钞 B表示 2张都是假钞 由缩减样本空间法得 下面两种解法哪个正确 例2 解二令A表示 抽到2张都是假钞 B表示 2张中至少有1张假钞 则所求概率是 而不是 所以 例3设10件产品中有4件不合格品 从中任取两件产品 已知所取两件产品中至少有一件是不合格品 则另一件也是不合格品的概率为多少 解 设A 两件产品中至少有一件是不合格品 B 两件产品都不合格品 4 又因为 故所求的概为 例 一个学生欲到图书馆借一本参考书 图书馆购进这种书的概率是1 2 购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1 2 问该学生在该图书馆能够借到书的概率是多少 例 盒中有3个红球 2个白球 每次从盒中任取一只 观察其颜色后放回 并再放入一只与所取之球颜色相同的球 若从盒中连续取球3次 试求第1 2次取得白球 第3次取得红球的概率 例4为了防止意外 矿井内同时装有A与B两两种报警设备 已知设备A单独使用时有效的概率为0 92 设备B单独使用时有效的概率为0 93 在设备A失效的条件下 设备B有效的概率为0 85 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率 设事件A B分别表示设备A B有效 已知 求 解 例4 解 由 即 故 解法二 例3盒中装有50个产品 其中30个一等品 20个二等品 从中不放回地取产品 每次1个 求 1 取两次 两次都取得一等品的概率 2 取两次 第二次取得一等品的概率 3 取三次 第三次才取得一等品的概率 4 取两次 已知第二次取得一等品 求第一次取得的是二等品的概率 解令Ai为第i次取到一等品 1 例3 3 提问 第三次才取得一等品的概率 是 2 直接解更简单 2 4 练一练 甲 乙 丙3人参加面试抽签 每人的试题通过不放回抽签的方式确定 假设被抽的10个试题签中有4个是难题签 按甲先 乙次 丙最后的次序抽签 试求1 甲抽到难题签 2 甲和乙都抽到难题签 3 甲没抽到难题签而乙抽到难题签 4 甲 乙 丙都抽到难题签的概率 解设A B C分别表示 甲 乙 丙抽到难签 则 三 全概率公式与贝叶斯公式 例 市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为1 4 1 4 1 2 且三家工厂的次品率分别为2 1 3 试求市场上该品牌产品的次品率 B 样本空间的划分 称该式为全概率公式 例设某工厂有甲 乙 丙三个车间生产同一种产品 已知各车间的产量分别占全厂产量的25 35 40 而且各车间的次品率依次为5 4 2 现从待出厂的产品中检查出一个次品 试判断它是由甲车间生产的概率 解 设 1 2 3分别表示产品由甲 乙 丙车间生产 表示产品为次品 显然 1 2 3构成完备事件组 依题意 有 1 25 2 35 3 40 1 5 2 4 3 2 1 例4 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决 5张同样的卡片 只有一张上写 入场券 其余什么也没写 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 后抽比先抽的确吃亏吗 解 用Ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 P A1 1 5 P 4 5 第1个人抽到入场券的概率是1 5 即 则表示 第i个人未抽到入场券 由于 因为若第2个人抽到了入场券 第1个人肯定没抽到 也就是要想第2个人抽到入场券 必须第1个人未抽到 由乘法公式 计算得 P A2 4 5 1 4 1 5 这就是有关抽签顺序问题的正确解答 同理 第3个人要抽到 入场券 必须第1 第2个人都没有抽到 因此 4 5 3 4 1 3 1 5 继续做下去就会发现 每个人抽到 入场券 的概率都是1 5 抽签不必争先恐后 也就是说 例2 n张奖券中有2张有奖的 求第k个人中奖的概率 所求概率为 例 设袋中有3个白球 2个红球 现用掷骰子的办法决定取球的数量 如果掷出的点数小于3 则从中取2个球 否则从中取3个球 用X表示取出的白球数 1 求P X 2 2 如果已知取出2个白球 问掷出的点数不超过3的概率是多少 解 设A 掷出的点数不超过3 B 取出2个白球 称该式为贝叶斯公式 每100件产品为一批 已知每批产品中次品数不超过4件 每批产品中有i件次品的概率为 从每批产品中不放回地取10件进行检验 若发现有不合格产品 则认为这批产品不合格 否则就认为这批产品合格 求 1 一批产品通过检验的概率 2 通过检验的产品中恰有i件次品的概率 例5 例5 解设一批产品中有i件次品为事件Bi i 0 1 4 A为一批产品通过检验 则 已知P Bi 如表中所示 且 由全概率公式与Bayes公式可计算P A 与 结果如下表所示 1 00 90 8090 7270 652 0 1230 2210 3970 1790 080 i较大时 例6由于随机干扰 在无线电通讯中发出信号 收到信号 不清 的概率分别为0 7 0 2 0 1 发出信号 收到信号 不清 的概率分别为0 0 0 1 0 9 已知在发出的信号中 和 出现的概率分别为0 6和0 4 试分析 当收到信号 不清 时 原发信号为 还是 的概率哪个大 解设原发信号为 为事件B1原发信号为 为事件B2 收到信号 不清 为事件A 例6 已知 可见 当收到信号 不清 时 原发信号为 的可能性大 例7 商店论箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分别为0 8 0 1 0 1 某顾客选中一箱 从中任选4只检查 结果都是好的 便买下了这一箱 问这一箱含有一个次品的概率是多少 解 设A 从一箱中任取4只检查 结果都是好的 B0 B1 B2分别表示事件每箱含0 1 2只次品 已知 P B0 0 8 P B1 0 1 P B2 0 1 由Bayes公式 例8 1 在你外出度假时 你托邻居帮你浇快要凋谢的花 若不浇水花凋谢的概率为0 8 浇水花仍会凋谢的概率为0 15 你有90 的把握确信邻居会记着帮你浇花 求 1 在你回来时 花活着的概率 2 如果花凋谢了 你的邻居忘记帮你浇花的概率 例9 学生在考试中做一道有四个选项的单项选择题 如果他不知道正确答案 就做随机猜测 假设学生知道正确答案的概率为0 2 现从卷面看题答对了 求该学生确实知道正确答案的概率 例10 数字通讯过程中 信源发射0 1两种状态信号 其中发0的概率为0 55 发1的概率为0 45 由于信道中存在干扰 在发0的时候 接收端分别以概率0 9 0 05和0 05接收为0 1和 不清 在发1的时候 接收端分别以概率0 85 0 05和0 1接收为1 0和 不清 现接收端接收到一个 1 的信号 问发射端发的是0的概率是多少 0 067 解 设A 发射端发射信号 0 B 接收端接收到信号 1 0 0 55 01不清 0 9 0 05 0 05 1 0 45 10不清 0 85 0 05 0 1 例5 P17 有甲乙两个袋子 甲袋中有两个白球 1个红球 乙袋中有两个红球 一个白球 这六个球手感上不可区别 今从甲袋中任取一球放入乙袋 搅匀后再从乙袋中任取一球 问此球是红球的概率 解 设A1 从甲袋放入乙袋的是白球 A2 从甲袋放入乙袋的是红球 B 从乙袋中任取一球是红球 甲 乙 定理2 p18 设A1 An是S的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B S 有 式 1 4 6 就称为贝叶斯公式 思考 上例中 若已知取到一个红球 则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少 答 甲箱中有3个白球 2个黑球 乙箱中有1个白球 3个黑球 现从甲箱中任取一球放入乙箱中 再从乙箱任意取出一球 问从乙箱中取出白球的概率是多少 解 设B 从乙箱中取出白球 A 从甲箱中取出白球 则 例7 已知在所有男子中有5 在所有女子中有0 25 患有色盲症 随机抽一人发现患色盲症 问其为男子的概率是多少 设男子和女子的人数相等 例8 例6 由于修理状况不同 机器生产次品部件服从三种不同的概率 如果机器正常运作 它以概率0 02生产次品部件 如果机器老化 它以概率0 1生产次品部件 如果它需要修理 它以概率0 3生产次品部件 机器正常运作的概率为0 8 老化的概率为0 1 需要修理的概率为0 1 随机取一个部件是次品的概率 例 某种产品的商标为 MAXAM 其中有2个字母脱落 有人捡起随意放回 求放回后仍 MAXAM 的概率 公 Bayes 式 在医学上的应用 应用 应用举例 肠癌普查 设事件表示第i次检查为阳性 事件B 表示被查者患肠癌 已知肠镜检查效果如下 某患者首次检查反应为阳性 试判断该 患者是否已患肠癌 若三次检查反应均为 阳性呢 由Bayes公式得 首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大 接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半 两次检查反应均为阳性 还不能断 定患者已患肠癌 连续三次检查为阳性 几乎可断定已患肠癌 例8 用甲胎蛋白法普查肝癌 令C 被检验者患肝癌 A 甲胎蛋白检验呈阳性 由资料已知P A C 0 95 而被检验者未患肝癌的情况下甲胎蛋白检验呈阳性的概率为0 1 又已知某地居民的肝癌发病率P C 0 0004 在普查中查出一批甲胎蛋白检验呈阳性的人 求这批人中真的患肝癌的概率P C A 0 00378 复查后确实有病 第三次复查后确实有病 第四次复查后确实有病 一个部件经销商从仓库购买部件 这些部件要么由A供应商生产 要么由B供应商生产 但部件上没有标识出是哪家供应商供应的 每