2015第十五届“中环杯”七年级数学决赛B试题(pdf版)

第第 1515 届中环杯决赛试题解析 七年级届中环杯决赛试题解析 七年级 B B 卷 卷 一 填空题一 填空题 本大题共 本大题共 1010 小题 每题小题 每题 6 6 分 共分 共 6060 分 分 1 计算 32 1130 1251 5 13 16 11 1240 75 93 答案 99 解答 32 1130 1251 5 13 16 11 1240 75 93 2 11313 0 1253 375 13 16 113 4 94 121 75 119 161699 4 44 9 2 方程 117221 3 311339 xxx 的解为 答案 30 x 解答 直接观察出结果 3 有理数 a b c使得1 abc abc 则 32abc abc 的最大值为 答案 4 解答 利用1 abc abc 我们知道 a b c两正一负或者三负 如果 a b c三负 那么 32 6 abc abc 取到最小值 如果 a b c两正一负 为了使得 32abc abc 最大 则 取 a b正 c负 此时 32 3214 abc abc 4 2014201420142014 5 1512201415 1512201425 1512201435 151220144 除以 25 的 余数为 答案 24 解答 令 2014 5 151220145k 则 2014201420142014 5 1512201415 1512201425 1512201435 151220144 51 5253 54kkkk 这个多项式展开后除了一次项以及常数项以外 别的都肯定是 25 的倍数了 一次 项为 51 2 3 1 241 3 42 3 4250kk 显然也是 25 的倍数 而常数项为 1 2 3 424 所以答案为 24 5 如图 四边形ABCD中 1 3 AEAD 1 3 CFBC 其中BE与AF相交于点G CE与DF 相交于点H 若四边形EGFH的面积为 40 则 ABG与 DCH的面积和为 H G F E A B C D 答案 40 解答 如下左图所示 1 1 3 13 3 BAEBAD BAEDCFABCD DCFDCB SS SSS SS 如下右图所示 2 21 3 233 3 CDECAD CDEABFABCDAFCEABCD ABFABC SS SSSSS SS 至此 我们推出 BAEDCFAFCE SSS 考虑到 BAEDCFGAEHFC AFCEEGFHGAEHFC SSSSS SSSS 阴 所以40 EGFH SS 阴 H G F E A B C D H G F E A B C D 6 已知11 11xy 若 1 2 2 xyxy 记xy 的最大值和最小值分别为M m 则 Mm 答案 3 解答 由 1 2 2 xyxy 得 11 0 22 xy 所以 1 2 x 或 1 2 y 1 若 1 2 x maxmin 31 22 xyxy 2 若 1 2 y maxmin 13 22 xyxy 综上所述 33 22 Mm 所以3Mm 7 能使得2256 n 为完全平方数的正整数n的值为 答案 11 解答 由于 8 225622 nn 1 当8n 通过枚举 发现不存在这样的正整数 2 当8n 时 888 225622221 nnn 考虑到 8 2已经是完全平方数 所以 8 21 n 也必须为完全平方数 令 828 21211 nn kkk 考虑到8n 所以 8 2n 肯定是偶数 从而推出 12 1 12 a b k ab k 两个等式相减得 2221 ba b 如果 1ab 则21 a b 是大于 1 的奇数 显然不可能是 2 的因数 从而推出 222 1 21 1 b a b a b 所以 83 222211 nab n 8 如图 在ABC 中 取BC上一点M 延长MA至点D 作DE AB与CB延长线交于 点E 作DF AC与BC延长线交于点F 过点A作GH BC 若凹四边形DBAC面 积为 12 平方厘米 且 2 5 2 5 BMBE CMCF 则梯形GEFH的面积为 H G FE M A BC D 答案 54 解答 如下图所示 考虑到DE AB 所以 EBADBA SS 容易知道AGEB为平行 四边形 所以2 AGEBEBA SS 根据题意 2 52 5 ABMABE BMBESS 所以 22 54 54 5 AGEMAGEBABMEBAEBAEBADBA SSSSSSS 同理 4 5 AHFMDCA SS 所以 4 54 54 54 54 5 1254 GEFHAGEMAHFMDBADCADBADCADBAC SSSSSSSS H G FEM A BC D 9 已知 2222 1122331010 11 223310101540aaaaaaaa 则 3333 12310 aaaa 的最大值为 答案 3025 解答 由于 11 22 1010 112 224 101020 aa aa aa 所以 2222 1122331010 222 2222 11 22331010 2420 212101540 aaaaaaaa 为了取到等号 则 1 2 10 11 22 1010 a a a 所以 3333 12310 aaaa 的最大值为 2 3333 1 1010 123103025 2 10 一串正整数 1234 a a a a与另一串正整数 1234 b b b b满足下面的性质 1 1234 120aaaa 2 1234 120bbbb 3 3124 1234 aaaa bbbb 满足条件的两串数字 1234 a a a a与 1234 b b b b有 种不同的安排 答案 5353 解答 1 我们先对 1 1 1 a b 的情况进行分析 此时相当于 22 33 44 ab ab ab 这种的数字串 有 4 20 4845C 种 2 接下来对 1 1 1 a b 的情况进行分析 考虑到 3124 1234 aaaa bbbb 后面的三个分数相 当于对 1 1 a b 的分子分母同时乘以一个数 比如 2468 36912 由于 411 2045bbb 所以 1 1 a b 的分数值可以是 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 3 5 4 5 对于 1 2 来说 1234 b b b b可以从 2 4 20 中取四个 有 4 10 210C 种 对于 1 3 和 2 3 来说 1234 b b b b可以从 3 6 18 中取四个 有 4 6 22 1530C 种 对于 1 4 和 3 4 来说 1234 b b b b可以从 4 8 20 中取四个 有 4 5 22 510C 种 对于 1 5 2 5 3 5 4 5 来说 1234 b b b b可以从 5 10 15 20 中取四个 有 4 4 44 14C 种 所以 对于 1 1 1 a b 的情况 一共有21030 104254 种 3 对于 1 1 1 a b 的情况 与 1 1 1 a b 的情况完全对称 前面分析过 1 3 那么这里就有 3 1 毕竟此时要求 411 2045aaa 所以也有254种 综上所述 一共有4845254 25353 二二 动手动脑 动手动脑 本大题共 本大题共 4 4 小题 每题小题 每题 1010 分 共分 共 4040 分 分 11 如下图所示 12 ll 90BAD 95BCD 1290 求 34 4 3 12 l1 A B C D l2 答案 85 解答 90 175 95 BAD BD BCD 容易证明 13 24 B D 所以 1234175 考虑到1290 所以3485 12 已知 2 382011 31 xx M x 则使得M为整数的自然数x有几个 答案 4 解答 容易知道 2 313 31201438201120142 19 53 33 31313131 xxxxx Mxx xxxx 当 2 1953 31x 为整数时 M为整数 所以31 2 19 53x 考虑到 312 mod3x 可能 的情况有312 53 2 19 19 53x 有 4 个解 13 若 11000 11000 a b 并且22 ab 与33 ab 都是 5 的倍数 求 这样的有序数对 a b有多少 对 答案 250000 解答 容易发现 41 42 43 44 22 mod5 24 mod5 0 23 mod5 21 mod5 k k k k k 41 42 43 44 33 mod5 34 mod5 0 32 mod5 31 mod5 k k k k k 为了使得 5 22 5 33 ab ab 则 41 43a bkk 42 44kk 43 41kk 44 42kk 也 就是说 无论a取哪个数 与其对应的b有10004250 个 所以答案为 1000 250250000 14 n个数围成一圈 每次操作把其中某一个数换成下面两个数中的一个 1 这个数依次加上与它相邻的两个数后所得的和 2 这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差 例如 1 2 5 85 43 2 8 5 43 2 1 1 2 5 65 43 2 6 5 43 2 1 1 能否通过若干次操作完成下图中的变换 请说明理由 1007 20152014 0 11 2 能否通过若干次操作完成下图中的变换 请说明理由 42 22 0 1 2014 214 2 14 3 能否通过若干次操作完成下图中的变换 请说明理由 9 75 3 1 5 73 2 1 答案 1 可以 如下图所示 2 不能 3 不能 解答 1 2015 1007 20142014 1007 1006 1007 10061 1006 0 1 0 21