12证明方法(空).doc

证明方法一、基本概念：(一)直接证明直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明。证明不等式：【综合法】从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止。这种方法叫综合法。（由因导果）例1：综合法证明不等式问题已知是不全相等的正数，求证：例2：综合法证明三角问题在中，若，求证：【分析法】从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止。（或逆向推出一个明显成立的式子)这种方法叫分析法。（执果索因）例1：分析法证明不等式已知是正实数，求证： 例2. 【总结】1.分析法的特点是： 2.综合法的特点是： 3.使用分析法时要注意固定的格式： (二)间接证明A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。反证法是一种常用的间接证明方法. 合理的推理 “若p则q”为真 “P且q”为假 导致逻辑矛盾 肯定条件p否定结论 q 反证法的过程包括以下三个步骤：（1） 反设 （2） 归谬 （3） 存真 归缪矛盾：（1） （2） （3） 适宜使用反证法的情况: （1）结论以否定形式出现； （2）结论以“至多-，” ，“至少-” 形式出现； （ 3）唯一性、存在性问题； （4） 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题例：已知均为实数，且， 求证：中至少有一个大于。求证：质数序列是无限的。 (三)数学归纳法（一）定义：数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法（二）用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确原理： （三）应用数学归纳法的注意事项：（1）验证是基础： （2）递推乃关键： （3）正确寻求递推关系： 例1用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n1)d对一切nN*都成立.例2用数学归纳法证明：例3判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.证明：当n=1时，左边右边，等式成立设n=k时，有 那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立根据问可知，对nN，等式成立二、习题精练：1用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A假设三内角都不大于60度 B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度 D假设三内角至多有两个大于60度2.用反证法证明：“ab”。应假设：( ) Aab Ba2+8.设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab29.已知，证明 10.的三个内角成等差数列，求证：11.在中，猜想的最大值，并证明之。12.已知：，求证：（1）；（2）中至少有一个不小于13.设函数中，均为整数，且均为奇数。 求证：无整数根。数学归纳法专项练习（一）选择题1若则当为（ ）A1 B C D以上答案都不对2等式（ ）An为任何自然数时都成立 B当且仅当n=1，2，3时成立Cn=4时成立，n=5时不成立 D仅当n=4时不成立3用数学归纳法证明，从“k”到“k+1”左端需增乘的代数式是（ ）A B C D4用数学归纳法证明：时，从k到k+1，不等式左边变化的是（ ）A增加项 B增加和两项C增加和两项且减少项 D以上结论都不对5在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证n等于（ ）A1 B2 C3 D06如果命P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（ ） AP（n）对所有的正整数n都成立 BP（n）对所有的正偶数都成立CP（n）对所有的正奇数n都成立 DP（n）对所有大于1的正整数都成立7某个命题与自然数n有关，若nk(kN)时该命题成立，那么推得当nk1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）A当n=6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立8用数学归纳法证明“”的第二步n=k+1时（n=1已验证，n=k已假设成立），这样证明：，当n=k+1时，命题正确，此种证法（ ） A是正确的 B归纳假设写法不正确C从k到k+1推理不严密 D从k到k+1的推理过程未使用归纳假设9对于代数式能被 整除（ ）A2x+3 Bx2+3x+3 Cx2+2x+3 Dx2+5x+510平面由有n个圆（n2），其中任何两个都相交于两点，任三个圆都不过同一点，则交点的个数为（ ） A2n2 Bn2n Cn22 Dn（n+1） （二）填空题11用数学归纳法证明，假设n=k时，不等式成立，当n=k+1时，应推证的目标是 12n为正奇数时，能被x+y整除，当第二步假设n=2k1命题为真时，进而需证n= 命题亦为真。13证明：时假设n=k成立，当n=k+1时，左边增加的项有_项。14数列an中，a1=2，依次计算a2，a3，a4后归纳，猜想出an的表达式为 。（三）解答题15已知数列an满足a1=1，（1）求a2，a3；（2）证明：16求证：能被64整除17用数学归纳法证明：18设数列an满足（1）证明：对一切正整数n成立；（2）令，判断bn与bn+1的大小，并说明理由。19在1与2之间插入n个正数，a1，a2，a3，an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，bn，使这n+2个数成等差数列，记：（1）求数列An和Bn的通项；（2）当n7时，比较A n与B n的大小，并证明你的结论。20(05辽宁)已知函数，设数列an满足a1=1，an+1=f（an），数列bn满足（1）用数学归纳法证明 （2）证明：21（05江西）已知数列的各项都是正数,且满足: (1)证明: (2)求数列的通项公式22.（06全国）设数列的前n项和为,且方程有一根为,n=1,2,3, (1)求,(2)求的通项公式23. (05重庆卷)数列an满足.（）用数学归纳法证