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文档简介

4 5龙贝方法 梯形法则虽然算法简单 但收敛速度缓慢 如何提高收敛速度以减少计算量 这自然是人们所特别关心的问题 依据梯形法则的余项公式 13 积分值Tn的截断误差近似地与h2成正比 因此当步长二分后 截断误差将减至原有误差的1 4 即有将上式移项整理 可得 龙贝方法 由此可见 只要二分前后两个积分值Tn与T2n相当接近 就可以保证结果T2n的误差很小 前已说过 见上一章的 4 这种直接用计算结果估计误差的方法称作事后估计法 按照事后估计式 18 积分近似值T2n的误差大约等于 T2n Tn 3 因此 如果用这个误差值作为T2n的一种补偿 可以期望 所得到的 19式 可能是更好的结果 龙贝方法 考察 例4 2 1 用梯形法则求得的两个结果T2 0 9397933与T4 0 9445135的精度都很低 与实际值0 9460831比较 只有一位和两位有效数字 但如果将它们按 19 作线性组合 则新的近似值却有五位有效数字 按公式 19 组合得到的近似值 其实质是什么 龙贝方法 注意到Tn与T2n的表达式 5 与 8 代入式 19 的右端 直接验证 易知 即有下列关系式这就是说 用梯形公式二分前后的两个结果Tn与T2n按 20 式作线性组合 所得到的实际上是辛卜生公式的积分值Sn 龙贝方法 下面再研究辛卜生公式的加速问题 根据余项公式 16 辛卜生公式的截断误差与h4成正比 因此 若将步长折半 则误差将减至原有误差的1 16 即有 由此得到 不难直接验证 上式右端的值就是Cn 就是说 用辛卜生公式二分前后的两个积分值Sn与S2n 再按上式作线性组合 结果得到何特斯公式的积分值Cn 龙贝方法 即此外 利用余项公式 17 柯特斯公式的误差与h6成正比 因此有整理得令 22式 公式 22 称作龙贝 Romberg 公式 龙贝方法程序框图 在变步长求积的过程中运用加速公式 20 21 和 22 就能将梯形法则的积分值逐步加工成精度较高的结果 这种求积方案称作龙贝方法 龙贝方法的框图如图所示 龙贝方法举例 例4 5 1 考察 例4 3 1 用龙贝方法求积分 解 用龙贝方法加工梯形法则的积分值 结果列于表中 例4 5 1 可以看出 这里利用二分3次的数据 通过简单的线性组合得到了原来 见表 需要二分10次才能获得的结果 计算量因此减少了许多倍 例4 5 1 T1 b a f a f b 2T2 T1 2 1 2 f a b 2 T4 T2 2 1 4 f a b 4 f 3 a b 4 T8 T4 2 1 8 f a b 8 f 3 a b 8 f 5 a b 8 f 7 a b 8 S1 4 3 T2 1 3 T1S2 4 3 T4 1 3 T2S4 4 3 T8 1 3
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