】小挠度曲线微分方程

小挠度曲线微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： （a）式（a）表明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度成反比。如图7-2所示。而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：（b）将上式代入式（a），得到 （c） 小挠度条件下，式（c）可简化为： （d） 在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着的正值（图7-3a），负弯矩对应着 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值 （7-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。 用积分法求梁的位移将式（7-1）分别对x 积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程： （a） （b）其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。 对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式（a）和（b）中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件（即支座对梁的挠度和转角提供的限制）确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。 对于载荷有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程需要分段描述。对式（a）和（b）必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。【例7-1】 悬臂梁受力如图7-5所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角和最大挠度。【解】首先建立如图所示之坐标系.因为在范围内无载荷突变,故梁全长上的弯矩方程为(a)挠度曲线微分方程为 (b)将上式积分一次,得 (c)图7-5再积分一次,得 (d)利用约束条件,可确定上述方程中的积分常数C、D。对于固定端截面，其转角和挠度均为零，即将其代入方程（c）和（d），解得C=0, D=0于是该梁的转角方程和挠度方程分别为(e)(f)挠曲线的形状如图7-5中虚线所示。与均发生在自由端处,由式(e)、（f）求得即 即 所得的为负值,说明截面B作顺时针方向转动；为负值,说明截面B的挠度向下。【例7-2】简支梁在左端支座处承受集中力偶作用,如图7-6所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定和 。【解】建立坐标系,并写出梁的弯矩方程可以发现,它与上例中梁的弯矩方程完全相同,因此在的范围内,梁的挠度曲线微分方程及其积分也必然相同.于是有(a)图7-6(b)所不同的是,二者的约束条件不同。因而,积分常数与上例也有所区别。本例中，A、B两处分别为铰支座和辊轴支座，两处的挠度均为零，但截面的转角不为零。于是有将其代入(a)、(b)二式，解得 于是，得到梁的转角方程和挠度方程分别为 (c) (d)挠曲线的大致形状如图7-6中的虚线所示.将和分别代入式(c),便得到A、B两支座处截面的转角分别为 故=,发生在A支座处。为求最大挠度，可令,由此解得,此即最大挠度截面的位置.将其代入式(d),求得 而梁跨度中点的挠度为 比较最大挠度和跨中挠度,可以看出,两者的位置相差,而两者挠度值仅相差3%。故工程中为简化计算，常以跨中挠度代替最大挠度。比较上面两例中的梁，不难发现，因二者的受力（弯矩）和抗弯刚度都完全相同，故它们的挠曲线形状也相同，但由于约束条件不同，二者挠曲线的最终位置便不完全相同。这是因为弯矩和抗弯刚度只决定了挠度曲线的形状，而梁的位移还要取决于梁的约束条件。约束条件对挠曲线的影响是通过积分常数体现的。【例7-3】简支梁AB受力如图7-7所示(图中a b)。求梁的转角方程和挠度方程，并确定挠度的最大值。【解】梁的支座反力及所选坐标系均示于图中。由于集中力加在两支座之间，弯矩方程在AC、CB两段中互不相同，所以应分段建立挠度曲线微分方程。AC段 图7-7(a)CB段 (b)将上述（a）、（b）式积分后得 (c) (d) (e) (f)确定四个积分常数（、）需要四个边界条件。在支座A和B处可提供的约束条件为 (g)在弹性范围内加载时，梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。因此，在AC和CB段的分段处，两段的挠度与转角必须对应相等，即 (h)此即连续条件。将（g）和（h）式代入（c）、（d）、（e）、（f）各式，求得 于是梁AC和CB段的转角和挠度曲线方程分别为 (i)(j)(k) (l) 为求,令(由于假设ab,可以判断出将发生在AC段内),解得 (m)将值代入式(k)得 由式(m)可以看出,当载荷P无限靠近支座B时,即b时,则 这说明,即使在这种极限情况下,梁最大挠度的所在位置仍与梁的中点非常接近.因此可以近似地用梁中点处的挠度来代替梁的实际最大挠度。以代入式(k),求