数列概念及等差数列复习资料.doc

第 1 页 共 8 页 数列概念及等差数列数列概念及等差数列 1 数列的概念 1 数列定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每个数都叫这个数列的项 记作 在数列第一个位置的项叫第 1 n a 项 或首项 在第二个位置的叫第 2 项 序号为 的项叫第项 也叫nn 通项 记作 n a 数列的一般形式 简记作 1 a 2 a 3 a n a n a 2 通项公式的定义 如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个 n a 公式表示 那么这个公式就叫这个数列的通项公式 例如 数列 的通项公式是 7 数列 的通项公式是 n ann nN n a 1 n nN 说明 表示数列 表示数列中的第项 表示数列的通项 n a n an n a f n 公式 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如 n a 1 n 不是每个数列都有通项公式 例如 1 21 1 2 nk kZ nk 1 1 4 1 41 1 414 3 数列的函数特征与图象表示 序号 1 2 3 4 5 6 项 4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的 映射 从函数观点看 数列实质上是定义域为正整数集 或它的有限子集 的N 函数当自变量从 1 开始依次取值时对应的一系列函数 f nn 值 通常用来代替 其图象是一群孤 1 2 3 fff f n n a f n 立点 4 数列分类 按数列项数是有限还是无限分 有穷数列和无穷数列 第 2 页 共 8 页 按数列项与项之间的大小关系分 单调数列 递增数列 递减数列 常数列 和摆动数列 5 递推公式定义 如果已知数列的第 1 项 或前几项 且任一项 n a 与它的前一项 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公 n a 1n a 式就叫做这个 数列的递推公式 2 等差数列 1 等差数列定义 一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一2 项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差 公差通常用字母表示 用递推公式表示为或d 1 2 nn aad n 1 1 nn aad n 2 等差数列的通项公式 1 1 n aand 说明 等差数列 通常可称为数列 的单调性 为递增数列 A Pd0 为常数列 为递减数列 0d 0d 3 等差中项的概念 定义 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 其中aAbAab 成等差数列 2 ab A aAb 2 ab A 4 等差数列的前和的求和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad 典例解析典例解析 题型 1 数列概念 2009 安徽卷文 已知为等差数列 则等于 A 1 B 1 C 3 D 7 2 根据数列前 4 项 写出它的通项公式 1 1 3 5 7 2 2 21 2 2 31 3 2 41 4 2 51 5 3 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 第 3 页 共 8 页 例 2 数列中 已知 n a 2 1 3 n nn anN 1 写出 2 是否是数列中的项 若是 是第几 10 a 1n a 2 n a 2 79 3 项 例 3 如图 一粒子在区域 0 0 x yxy 上运动 在第一秒内它从原点运动到点 接 1 0 1 B 着按图中箭头所示方向在 x 轴 y 轴及其平行方 向上运动 且每秒移动一个单位长度 1 设粒子从原点到达点 nnn ABC 时 所经过的时间分别为 试写 nnn a b c 出 的通相公式 nnn a b c 2 求粒子从原点运动到点时所需的时间 16 44 P 3 粒子从原点开始运动 求经过 2004 秒后 它所处的坐标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 4 1 已知数列适合 写出前五项并写出其通 n a 1 1a 1n a 2 2 n n a a 项公式 2 用上面的数列 通过等式构造新数列 写出 n a 1nnn baa n b 并写出的前 5 项 n b n b 题型 3 数列的应用 例 5 湖南省 2008 届十二校联考第一次考试 如果一个数列的各项都是实数 且从第二项开始 每一项与它前一项的平方差 是相同的常数 则称该数列为等方差数列 这个常数叫这个数列的公方差 1 设数列是公方差为的等方差数列 求和的关系式 n ap n a 1n a 2 nnN 2 若数列既是等方差数列 又是等差数列 证明该数列为常数列 n a 3 设数列是首项为 公方差为的等方差数列 若将这 n a22 12310 aaaa 种顺序的排列作为某种密码 求这种密码的个数 0 C5 C4 C3 C2 B5 B4 B3 B2 A6A5A4 A3A2 C1B1 A1x y 第 4 页 共 8 页 例 6 在某报 自测健康状况 的报道中 自测血压结果与相应年龄的统计 数据如下表 观察表中数据的特点 用适当的数填入表中空白 内 题型 4 等差数列的概念 例 7 设 Sn是数列 an 的前 n 项和 且 Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列D 既非等比数列又非等差数列 例 8 设数列 满足 n a n b n c n 1 2 3 证明 为等差数列的充分必 2 nnn aab 21 32 nnnn aaac n a 要条件是为等差数列且 n 1 2 3 n c 1 nn bb 题型 5 等差数列通项公式 例 9 2009 天津卷文 已知等差数列 n a的公差 d 不为 0 设 1 21 n nn qaqaaS 11 21 0 1 NnqqaqaaT n n n n 若15 1 1 31 Saq 求数列 n a的通项公式 若 3211 SSSda且 成等比数列 求 q 的值 若 2 2 22 1 1 2 1 1 1Nn q qdq TqSqq n nn 证明 例 10 已知等比数列的各项为不等于 1 的正数 数列满足 n x n y 设 1 0 2log aaay n xn 12 18 63 yy 1 求数列的前多少项和最大 最大值为多少 n y 2 试判断是否存在自然数 M 使当时 恒成立 若存在 求出相Mn 1 n x 第 5 页 共 8 页 应的 M 若不存在 请说明理由 3 令 试判断数列的增减性 13 log 1 Nnnxa nxn n n a 题型 6 等差数列的前 n 项和公式 例 11 1 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有 项的和为 390 则这个数列有 A 13 项B 12 项C 11 项D 10 项 2 设数列 an 是递增等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则 它的首项是 A 1 B 2 C 4 D 6 3 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 例 12 1 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为数列 的前 n 项和 求 Tn n Sn 2 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 100 求数列 bn 的通项 bn 设数列 an 的通项 an lg 1 记 Sn是数列 an 的前 n 项和 n b 1 试比较 Sn与lgbn 1的大小 并证明你的结论 2 1 题型 7 等差数列的性质及变形公式 例 13 1 设 an n N 是等差数列 Sn是其前 n 项的和 且 S5 S6 S6 S7 S8 则下列结论错误的是 A d 0B a7 0 C S9 S5D S6与 S7均为 Sn的最大值 2 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和 为 第 6 页 共 8 页 A 130 B 170 C 210 D 260 例 14 在 XOY 平面上有一点列 P1 a1 b1 P2 a2 b2 Pn an bn 对每个自然数 n 点 Pn位于函数 y 2000 x 0 a 10 的图象上 且 10 a 点 Pn 点 n 0 与点 n 1 0 构成一个以 Pn为顶点的等腰三角形 求点 Pn的纵坐标 bn的表达式 若对每个自然数 n 以 bn bn 1 bn 2为边长能构成一个三角形 求 a 的取值范围 理 设 Bn b1 b2 bn n N 若 a 取 中确定的范围内的最 小整数 求数列 Bn 的最大项的项数 文 设 cn lg bn n N 若 a 取 中确定的范围内的最小整数 问数列 cn 前多少项的和最大 试说明理由 五 五 思维总结思维总结 1 数列的知识要点 1 数列是特殊的函数 数列是定义在自然数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 上的函数 f n 当自变量从小到大依次取值时对应的 一列函数值 f 1 f 2 f 3 f n 数列的图象是由一群孤立的 点构成的 2 对于数列的通项公式要掌握 已知数列的通项公式 就可以求出数 列的各项 根据数列的前几项 写出数列的一个通项公式 这是一个难点 在 学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况 分解所给数列的前几项 看 看这几项的分解中 哪些部分是变化的 哪些是不变的 再探索各项中变化部分 与序号的联系 从而归纳出构成数列的规律 写出通项公式 一个数列还可以 用递推公式来表示 在数列 an 中 前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系 是 本讲内容一个重点 要认真掌握之 即 an 特别要注意的是 2 1 1 1 nSS nS nn 若 a1 适合由 an Sn Sn 1 n 2 可得到的表达式 则 an 不必表达成分段形式 可化统一为一个式子 2 等差数列的知识要点 第 7 页 共 8 页 1 等差数列定义 an 1 an d 常数 n N 这是证明一个数列是等差 数列的依据 要防止仅由前若干项 如 a3 a2 a2 a1 d 常数 就说 an 是 等差数列这样的错误 判断一个数列是否是等差数列 还可由 an an 2 2 an 1 即 an 2 an 1 an 1 an 来判断 2 等差数列的通项为 an a1 n 1 d 可整理成 an an a1 d 当 d 0 时 an 是关于 n 的一次式 它的图象是一条直线上 那么 n 为自然数的 点的集合 3 对于 A 是 a b 的等差中项 可以表示成 2 A a b 4 等差数列的前 n 项和公式 Sn n na1 d 可以整理 2 1n aa 2 1 nn 成 Sn n2 当 d 0 时是 n 的一个常数项为 0 的二次式 2 d n d a 2 1 5 等差数列的判定方法 定义法 对于数列 若 常数 则数列是等差数列 n adaa nn 1 n a 等差中项 对于数列 若 则数列是等差数列 n a 21 2 nnn aaa n a 3 等差数列的性质 1 在等差数列中 从第 2 项起 每一项是它相邻二项的等差中项 n a 2 在等差数列中 相隔等距离的项组成的数列是 如 n aAP 1 a 3 a 5 a 7 a 3 a 8 a 13 a 18 a 3 在等差数列中 对任意 n amnN nm aanm d nm aa d nm mn 4 在等差数列中 若 且 则 n amnpqN mnpq mnpq aaaa 5 说明