2019届高考数学二轮复习三角函数、向量与解三角形第1讲三角函数的化简与求值学案.docx

第1讲三角函数的化简与求值 1. 三角函数公式(和、差角及倍角公式)及应用是高考必考的内容；考查时要求能正确运用三角函数公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明2. 高考对三角函数的化简与求值，可以为填空题，也可以为解答题，灵活运用公式转化是考查的重点1. (2018福州模拟)设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _答案：解析：因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x.解得x3，所以tan .2. (2018淮安期中) 已知sin cos，0，则的取值集合为_答案：解析：由sin cos得coscos .因为0，所以，所以，所以或，所以的取值集合为.3. (2018镇江期末)已知锐角满足tan cos ，则_答案：32解析：(解法1)因为tan cos ，所以tan26cos2，所以(tan2)2(tan2)60，所以tan23(舍去)或2.因为为锐角，所以tan .因此32.(解法2)因为tan cos ，所以sin cos2，因此sin2cos2sin2sin 1，即sin2 sin 10，解得sin (负值舍去)，因此tan .以下同解法1.4. (2018海安质量测试)已知cos ，(0，)，则sin()_答案：解析：因为cos ，所以sin ，则sin()sin cos .,一) 给角求值,1) (2017南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.(1) 求cos()的值；(2) 求的大小解：因为锐角的终边与单位圆交于点A，且点A的横坐标是，点A在第一象限，所以由任意角的三角函数的定义可知cos ，从而sin .因为钝角的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，点B在第二象限，所以sin ，从而cos .(1) cos()cos cos sin sin ().(2) sin()sin cos cos sin ().因为为锐角，为钝角，所以(，)，所以. 求值：sin 10( tan 5)解：原式sin 10 ()sin 10sin 10 2cos 10.,二) 给值求角,2) 已知tan 2，cos ，且，(0，)(1) 求cos 2的值；(2) 求2的值解：(1) 因为tan 2，所以2，即sin 2cos .又sin2cos21，所以5cos21，即cos2，所以cos 22cos21.(2) 由(0，)，且tan 21，得(，)，所以2(，)由(1)知cos 2，所以sin 2.因为(0，)，cos (1，0)，所以(，)，所以sin ，且2(，)因为sin(2)sin 2cos cos 2sin ()()，所以2.已知，0，tan ，tan ，则2_答案：解析：tan 2，tan(2)1.因为，1tan 0，所以，22.又0，tan 0，所以0.由知，22.又tan(2)1，所以2.,三) 给值求值,3) 已知(，)，且sin cos .(1) 求cos 的值；(2) 若sin()，(，)，求cos 的值解：(1) 因为sin cos，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2) 因为，所以，故.又sin()，得cos().故cos cos()cos cos()sin sin().方法归纳： 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系； 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系已知，均为锐角，且sin ，tan().(1) 求sin()的值；(2) 求cos 的值解：(1) 因为，(0，)，所以.因为tan()0，所以0.所以sin().(2) 由(1)可得cos().因为为锐角，sin ，所以cos .所以cos cos()cos cos()sin sin()().1. (2017全国卷)已知(0，)，tan 2，则cos()_答案：解析：因为(0，)，tan 2，所以sin ，cos ，于是cos()(cos sin ).2. (2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_答案： 解析： sin cos 1，cos sin 0， 12(sin cos cos sin )11， sin cos cos sin ， sin().3. (2017全国卷)函数f(x)2cos xsin x的最大值为_答案：解析：因为f(x)2cos xsin xsin(x)(其中tan 2)，所以f(x)max.4. (2017江苏卷)若tan()，则tan _答案：解析：tan tan().5. (2017山东卷)已知cos x，则cos 2x_答案：解析：由二倍角公式得cos 2x2cos2x121.6. (2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().(1) 求cos 2的值；(2) 求tan()的值解：(1) 因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2.因此cos 22cos21.(2) 因为，为锐角，所以(0，). 因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此tan()tan2().(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2017南通二模)已知sin()， (，)(1) 求cos 的值；(2) 求sin(2)的值解：(1) (解法1)因为(，)，所以(，)又sin()，所以cos().(3分)所以cos cos()cos()cossin()sin.(6分)(解法2)由sin()，得sin coscos sin，即sin cos .(3分)又sin2cos21，由解得cos 或cos .因为(，)，所以cos .(6分)(2) 因为(，)，cos ，所以sin .(8分)所以sin 22sin cos 2()，cos 22cos212()21.(12分)所以sin(2)sin 2coscos 2sin()().(14分)1. (2018临沂模拟)在ABC中，若cos A，tan(AB)，则tan B_答案：2解析：由cos A得sin A，所以tan A.从而tan BtanA(AB)2.2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1) 求tan()的值；(2) 求2的值解：由题意得cos ，cos ，(0，)，所以sin ，sin ，因此tan 7，tan .(1) tan()3.(2) tan(2)tan()1.又2(0，)，所以2.3