2012年广州二模理科数学(word版含答案).doc

试卷类型：B2012年广州二模 数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项： 1答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高一、选择题：本大题共8小题。每小题5分满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知为虚数单位，复数，且，则实数的值为 A2 B-2 C2或-2 D2或02设集合A=(x，y)|2x+y=6，B=(x，y)|3x+2y=4，满足C(AB)的集合C 的个数为 A1 B2 C3 D43已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是 A 4 B C D-44已知等差数列的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为 A10 B20 C30 D405已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是 A， B，=l， C， D，6下列说法正确的是 A函数在其定义域上是减函数 B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C命题“”的否定是“” D给定命题p、q，若pq是真命题，则p是假命题7阅读图l的程序框图，该程序运行后输出的k的值为 A5 B6 C7 D88已知实数，满足，函数的最大值记为，则的最小值为 A1 B2 C D3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分(一)必做题(913题)9某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 .10()6展开式中的常数项是 (用数字作答).11已知不等式1的解集与不等式的解集相等，则的值为 。12在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若，则的值为 .13已知点P是直角坐标平面上的一个动点，(点O为坐标原点)，点M(-1，0)，则cosOPM的取值范围是 . (二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别为(2，)，(2，)，则顶点C的极坐标为 .15(几何证明选讲选做题)如图2，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC=2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，BD，则面的值为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16(本小题满分12分) 已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2），（，-2）. (1)求A和的值； (2)已知(0，)，且，求的值17(本小题满分12分) 如图3，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为 (1)当6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率； (2)求的分布列和数学期望18(本小题满分l4分) 某建筑物的上半部分是多面体MNABCD，下半部分是长方体ABCDA1B1C1D1(如图4)该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成 (1)求直线AM与平面A1B1C1D1所成角的正弦值； (2)求二面角AMNC的余弦值；(3)求该建筑物的体积19(本小题满分14分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：有一个相同的焦点F1，直线：与抛物线C2只有一个公共点 (1)求直线的方程；(2)若椭圆C1经过直线上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标20(本小题满分l4分) 已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)是否存在实数a，使得函数的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由21(本小题满分l4分) 已知函数的定义域为(-1，1)，且，对任意，都有，数列满足 (1)证明函数是奇函数；(2)求数列的通项公式； （3）令，证明：当时，.参考答案说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CBCADDCB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题； 10. -160； 11. -1； 12. -2； 说明：第l4题的答案可以是三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分l2分) (本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解：函数的图象的最高点坐标为 1分依题意，得函数的周期 2分 3分(2)解：由(1)得 4分 5分 7分 9分 10分 11分 12 分17(本小题满分12分)(本小小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(I)解：从6条网线中随机任取三条网线共有种情况 1分 2分 3分 4分 5分 答：线路信息畅通的概率为 6分(2)解：的取值为4，5，6，7，8，9 7分 8分 9分的的分布列为：10分 11分 12分18(本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解法l：(1)作MO平面ABCD，垂足为O，连接AO， 则MAO是直线AM与平面ABCD所成的角 l分 由于平面ABCD平面A1B1C1D1， 故MAO是直线AM与平面A1B1C1D1所成的角 2分 作MPAB，垂足为P，连接PO，平面ABCD，MOAB平面平面MOP，AB平面MOP 3分由题意知在中，在中，在中，直线与平面所成角的正弦值为 5分(2)延长PO交CD于点Q，连接MQ， 由(1)知AB平面MOP MQ平面MOP， ABMQ MNAB， MNMP,MNMQ 6分PMQ是二面角A一MNC的平面角 7分在PMQ中， 8分二面角A一MN一C的余弦值为0 9分(3)作NP1MP交AB于点P1，作NQ1 MQ交CD于点Q1， 由题意知多面体MNABCD可分割为两个等体积的四棱锥MAPQD和和一个直三棱柱.四棱锥的体积为 10分直三棱柱的体积为11分多面体的体积为 12分长方体的体积为13分建筑物的体积为14分解法2：(1)以点D为原点，DA所在直线为轴，DC所在直线为轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,(如图)，作MO平面ABCD，垂足为O，作OPAB，垂足为P，依题意知则1分 2分平面平面的一个法向量为3分设直线与平面所成角为，则 4分直线与平面所成角的正弦值为 5分(2)由(1)知设平面的法向量为由得令，则平面的一个法向量为 6分设平面的法向量为由，得令，则平面CDMN的一个法向量为 7分平面ABNM平面CDMN 8分二而角A一MN一C的余弦值为0 9分(3)如图将多面体补成一个直三棱柱依题意知多面体的体积等于直三棱柱的体积减去两个等体积的三棱锥和的体积直三棱柱的体积为10分三棱锥的体积为11分多面体的体积为 12分长方体的体积为 13分建筑物的体积为 14分19(本小题满分14分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解法1：由消去得 1分直线与抛物线只有一个公共点，解得 3分直线的方程为 4分解法2：设直线与抛物线的公共点坐标为由，得直线的斜率 1分依题意得，解得 2分把代入抛物线的方程，得点在直线上，解得 3分直线的方程为 4分(2)解法l：抛物线的焦点为依题意知椭圆的两个焦点的坐标为 5分设点关于直线的对称点为则 7分解得点 8分直线与直线的交点为 9分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆的长轴长11分其中当点P与点重合时，上面不等式取等号故当时， 12分此时椭圆的方程为，点P的坐标为 14分解法2：抛物线的焦点为依题意知椭圆的两个焦点的坐标为 5分设椭圆的方程为 6分由消去得(*) 7分由 8分得 9分解得 10分 11分当时，此时椭圆的方程为 12分把代入方程(*)，解得 13分点P的坐标为 14分20(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)解：函数的定义域为(0，+) 1分 2分当时，函数单调递增区间为(0，+) 3分当时，令得(i)当，即时，得，故函数的单调递增区间为(0,+) 4分(ii)当，即时，方程的两个实根分别为 5分若，则，此时，当时，函数的单调递增区间为(0，+)， 6分若，则此时，当时，当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为当时，函数的单调递增区间为(0，+)，无单调递减区间 8分(2)解：由(1)得当时，函数在(0，+)上单调递增，故函数无极值；9分当时，函数的单调递增区间为单谢递减区间为则有极大值，其值为，其中10分而，即 11分设函数，则 12分则在(0，+)上为增函数又，则等价于等价于 13分即在时，方程的大根大于1，设由于的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，-l)，对称轴，则只需，即，解得，而故实数的取值范围为(0，2) 14分说明：若采用下面的方法求出实数的取值范围的同样给1分1由于在(0，+)是减函数，而时，故的解集为(0，2)，从而实数的取值范围为(0，2)2直接解不等式，而通过分类讨论得出实数的取值范围为(0，2)21(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识）(1)解：由于对任意都有令，得解得 1分令得 2分函数是奇函数 3分(2)解：先用数学归纳法证明当n=1时，得结论成立假设n=k时，结论成立，即当时,由于又即时，结论也成立由知对任意 4分求数列的通项公式提供下面两种方法法l：5分函数是奇函数 6分数列是首项为，公比为2的等比数列数列的通项公式为 7分法2： 5分 6分数列是首项为，公比为2的等