工程结构可靠度计算方法

第八章 工程结构可靠度计算方法 8 1可靠度的基本概念 8 2中心点法 8 3验算点法 8 4相关随机变量的结构可靠度 8 5结构体系可靠度 第8章工程结构可靠度计算方法 8 1可靠度的基本概念 结构可靠性分析是基于事物具有不确定性这样一个基本观点 利用适当的数学模型建立这些不确定性与结构性能之间的联系 是结构可靠性理论所研究的主要问题 8 1可靠度的基本概念 工程结构可靠性分析与广泛应用于电子学 机械学等领域的可靠性分析有其自身的一些特点 1 大多数电子 机械部件和系统 在使用过程中由于温度升高 机械磨损 疲劳 超负荷和其他原因而损坏 因此考虑它们的寿命是很自然的 除了由于腐蚀和疲劳机理而破坏之外 土木工程结构体系不是被逐渐破坏的 甚至在某些情况下它的强度会增强 例如混凝土的强度随龄期增加 土壤的强度由于固结而增大 因此它们一般不是在使用中失效 2 大多数电子和机械部件是大批量生产 并且名义上可假定是相同的 可用相对频率来解释失效概率 但对于土木工程结构 现场施工而成 并非是大批量生产 用相对频率来解释失效概率的处理方法显然是不合适的 8 1可靠度的基本概念 工程结构设计大致可以分为两个步骤 第一步是选择合理的结构方案和型式 第二步是设计结构或构件截面 选择合理的结构计算模型 计算简图 荷载与内力计算及荷载效应组合 结构或构件截面设计与验算 确定合理的截面尺寸与材料用量等 8 1可靠度的基本概念 当结构计算模型选定后 需要涉及许多参数 这些参数可归纳为主要的两大类 一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数 包括施加在结构上的直接作用或间接作用 如结构承受的设备 车辆施加于结构的荷载 雪荷载 土压力 温度作用等 另一类是与结构或构件抗力的有关参数 如材料强度 截面尺寸 连接条件等 它们共同构成了结构设计的基本变量 它们的统计规律构成了可靠性理论的基础 我们就把这些决定结构静态或动态反应的设计参数 定义为结构设计基本随机变量 8 1可靠度的基本概念 结构的可靠性 结构在规定的时间 设计使用年基准期 内 在规定的条件下 正常设计 正常施工 正常使用 完成预定功能的能力 结构的安全性 适用性和耐久性 可靠度 是对结构可靠性的概率度量 即结构在规定的时间内 在规定的条件下 完成预定功能的概率 8 1 1可靠度的定义 8 1可靠度的基本概念 8 1 1可靠度的定义 结构在规定的设计使用年限内应满足下列功能要求 1 在正常施工和正常使用时 能承受可能出现的各种作用2 在正常使用时具有良好的工作性能3 在正常维护下具有足够的耐久性4 在设计规定的偶然事件发生时及发生后 仍能保持必要的整体稳定性 1项 4项 结构安全性的要求 2项 结构适用性的要求 3项 结构耐久性的要求 8 1可靠度的基本概念 8 1 1可靠度的定义 设计使用年限 designworkinglife 设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预期目的使用的时期 即房屋结构在正常设计 正常施工 正常使用和正常维护下所应达到的使用年限 如达不到这个年限则意味着在设计 施工 使用与维修的某一环节上出现了非正常情况 应查找原因 GB50068 2001规定 结构设计使用年限分类 8 1可靠度的基本概念 8 1 1可靠度的定义 设计基准期 designreferenceperiod 为确定可变作用及时间有关的材料性能等取值而选用的时间参数 规范所采用的设计基准期为50年 设计基准期不等同于建筑结构的设计使用年限 8 1可靠度的基本概念 8 1 1可靠度的定义 足够的耐久性 指结构在规定的工作环境中 在预定时期内 其材料性能的恶化不致导致结构出现不可接受的失效概率 从工程概念上讲 足够的耐久性就是指在正常维护条件下结构能够正常使用到规定的设计使用年限 整体稳定性 指在偶然事件发生时和发生后 建筑结构仅产生局部的损坏而不致发生连续倒塌 8 1可靠度的基本概念 8 1 2结构的功能函数 基本变量 结构上的各种作用 材料与岩土性能 几何量的特征和计算模型的不定性 综合变量 作用效应 结构抗力等 基本变量和综合变量都是随机变量 作用效应S 结构抗力R 随机变量 8 1可靠度的基本概念 结构的功能函数Z g R S R S极限状态方程Z g R S R S 0 S R Z R S 0 Z 0可靠区 Z 0失效区 0 8 1 2结构的功能函数 8 1可靠度的基本概念 8 1 3可靠指标的概念 结构可靠度的度量 结构可靠度满足 Z 0具有相当大的概率或Z 0具有相当小的概率 结构完成预定功能的概率Ps P Z 0 可靠概率 结构不能完成预定功能的概率Pf P Z 0 失效概率Ps Pf 1 Pf 1 Ps 采用失效概率Pf来度量结构的可靠度 8 1可靠度的基本概念 8 1 3可靠指标的概念 结构可靠指标 若R N R R S N S S 且R S相互独立 Z R S N z z z R S 2z 2R 2S 结构不能完成预定功能的概率为失效概率 表示为Pf 8 1可靠度的基本概念 8 1 3可靠指标的概念 利用上式计算结构的失效概率当然是最理想最精确的 但是在实际应用中却有以下困难 首先 由于影响结构可靠性的因素很多 极为复杂 有些因素的研究尚不够深入 因此在现有条件下 没有充足的数据来确定n个基本随机变量的联合概率密度函数 甚至也很难有足够的数据保证边缘分布函数和协方差是可信的 其次 即使联合概率密度函数是已知的 但当变量较多或功能函数为非线性时 上式确定的积分也会亦得相当复杂 8 1可靠度的基本概念 8 1 3可靠指标的概念 8 2中心点法 8 2 1两个正态分布随机变量的模式 中心点法 只适用于基本变量为正态分布 功能函数为线性的情况 8 2中心点法 8 2 1两个正态分布随机变量的模式 8 2中心点法 8 2 1两个正态分布随机变量的模式 与Pf的数值关系 可靠指标同样唯一反映结构可靠度 但不需知道各变量的确切分布函数 只需知道其统计参数就可获得可靠性度量 可靠指标 与失效概率pf的关系 8 2中心点法 8 2 1两个正态分布随机变量的模式 用结构可靠指标 来度量结构的可靠性 Ps Pf 1 z z Pf Ps Pf 1 结构可靠指标 对于大多数问题不存在解析解 人们通常采用一些近似方法来求出结构的可靠指标 当R S相互独立 且均服从正态分布时 则Z R S也服从正态分布 结构可靠指标与失效概率Pf具有一一对应的关系 在一般情况下 一阶矩 均值 和二阶矩 标准差 是比较容易得到的参数 故国内外目前广泛采用均值 一阶原点矩 和标准差 二阶中心矩 来计算结构可靠度 当结构功能函数为非线性函数时 则设法对其进行线性化处理 具有这种特点的方法称为一次二阶矩法 FOSM 8 2中心点法 8 2 1两个正态分布随机变量的模式 8 2中心点法 8 2 2两个对数正态分布随机变量模式 假定抗力R和荷载效应S相互独立且均服从对数正态分布 这时结构功能函数可以写成 可靠指标 为 8 2中心点法 8 2 2两个对数正态分布随机变量模式 是lnR lnS的统计参数的函数 而实际很难确定 为此 应将lnR lnS换算成R S的统计参数由对数正态分布性质可知 当X服从正态分布时有 8 2中心点法 8 2 2两个对数正态分布随机变量模式 均值和标准差分别可以表达为 8 2中心点法 8 2 2两个对数正态分布随机变量模式 可靠指标可以表达为 可靠指标简化表达为 8 2中心点法 8 2 3多个随机变量服从正态分布的情况 该法首先将结构功能函数在随机变量的平均值 中心点 算用泰勒级数展开并取线性项 然后近似计算功能函数的平均值和标准差 可靠指标直接用功能函数的平均值和标准差之比表示 设结构的功能函数为 g X1 X2 Xn 极限状态方程为 g X1 X2 Xn 0 其中 i i 1 2 n 生成的空间记为 X1 X2 Xn 表示 中的点 取线性项 做线性化处理极限状态方程为平均值和方差为 8 2中心点法 8 2 3多个随机变量服从正态分布的情况 点M X1 X2 Xn 称为 的中心点 它以各基本变量的均值为坐标 极限状态方程 所对应的曲面将空间分为结构的可靠区和失效区 所对应的曲面称为失效边界 中心点 位于结构的可靠区内 8 2中心点法 8 2 3多个随机变量服从正态分布的情况 当结构的功能函数为线性函数时 可靠指标简化为 8 2中心点法 8 2 3多个随机变量服从正态分布的情况 8 2中心点法 中心点法的最大特点是 计算简单 运用中心点法进行结构可靠性计算时 不必知道基本变量的的真实概率分布 只需知道其统计参数 均值 标准差或变异系数 即可按上式计算可靠指标值以及失效概率 f 若值 较小 即 f值较大时 f值对基本变量联合概率分布类型很不敏感 由各种合理分布计算出的 f值大致在同一个数量级内 若 值较大 即 f值较小时 f值对基本变量的联合概率分布类型很敏感 此时 概率分布不同 计算出的 f值可在几个数量级范围内变化 8 2中心点法 中心点法存在以下不足 不能考虑随机变量的实际分布 只取用随机变量的一阶矩 均值 和二阶矩 方差 可靠指标 1 0 2 0的结果精度高 当 f 10 5时 使用中心点法必须正确估计基本变量的概率分布和联合分布类型 因此计算结果比较粗糙 对于非线性结构的功能函数 由于随机变量的平均值不在极限状态曲面上 进行线性化处理展开后的线性极限状态平面 可能会较大程度地偏离原来的可靠指标曲面 所以误差较大 且这个误差是无法避免的 对有相同力学含义但不同表达方式的极限状态方程 由中心点法计算的可靠指标可能不同 算例 有一根圆截面拉杆材料的屈服强度fy的均值和标准差分别为 fy 355MPa fy 26 8MPa杆件直径d的均值和标准差分别为 d 14mm d 0 7mm 承受拉力 的均值和标准差分别为 d 25KN d 6 25KN 求该拉杆的可靠指标 解 采用极限荷载表示的极限状态方程 可靠指标为 采用应力极限状态方程 因此 可靠指标为 计算表明 对于同一问题 当采用不同型式的极限状态方程时 可靠指标值不同 甚至相差较大 如本例 这就是前面所提不能抑制中心点法的严重不足之处 8 3验算点法 为了克服中心点法的不足 哈索弗尔和林德N C Lind 拉克维茨R Rackwitz和菲斯莱 Fiessler 等人提出验算点法 它的特点是 能考虑随机变量的实际分布类型 并通过 当量正态化 途径 把非正态变量当量化为正态变量 线性化点不是选在平均值处 而是选在失效边界上 并且该线性化点 设计验算点 是与结构最大可能失效概率相对应的 这种方法被国际安全联合委员会 JCSS 推荐采用 因此 亦称 法 8 3验算点法 作为对中心点法的改进 主要有两个特点 当功能函数Z为非线性时 不以通过中心点的超切平面作为线性近似 而以通过Z 0上的某一点X x1 x2 xn 超切平面作为线性近似 以避免中心点方法中的误差 当基本变量xi具有分布类型的信息时 将xi的分布在 x1 x2 xn 处以与正态分布等价的条件 变换为当量正态分布 这样可使所得的可靠指标与失效概率之间有一个明确的对应关系 从而在 中合理地反映了分布类型的影响 这个特定点 x1 x2 xn 我们称之为验算点 设功能函数 g x1 x2 xn 按将X空间变换到 空间 得 g1 U1 U2 Un 8 3验算点法 可靠指标在几何上就是U空间内从原点 即中心点 到极限状态超曲面 0的最短距离 在超曲面 0上 离原点 最近的点P u1 u2 un 即为验算点 这样很容易写出通过验算点P 在超曲面Z 0上的超切平面的方程式 由于P 是 0上的一点 因此则得超切平面的方程式为 8 3验算点法 类似于两个正态随机变量的情况 此时的可靠指标 是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离 也就是P 点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度 如图所示为三个正态随机变量的情况 P 为 设计验算点 8 3验算点法 8 3 1两个正态分布随机变量 设结构极限状态方程为Z g R S R S 0在SOR坐标系中 极限状态方程是一条过原点的直线 它的倾角为45 如图所示 对随机变量R和S进行标准化变换 8 3验算点法 8 3 1两个正态分布随机变量 原坐标系和新坐标系之间的关系为R R R RS S S S将式带入极限状态方程R S 0中 可得新坐标系中的极限状态方程为 R R R S S S 0R R S S R S 0两端同时除以 8 3验算点法 8 3 1两个正态分布随机变量 8 3验算点法 8 3 1两个正态分布随机变量 在验算点法中 的计算就转化为求OP 的长度 cos R与cos S是法线OP 对坐标向量R及S的方向余弦 垂足P 是极限状态方程上的一点 称为 设计验算点 在满足Z R S 0的各组 S R 中 设计验算点是最有可能使结构发生失效的一组取值 P 的坐标分别为 R cos RS cos S由于P 点在极限状态直线上 所以 R S 也必然满足Z R S 0 标准正态坐标系中原点到极限状态方程直线的最短距离 可靠指标 几何意义 8 3验算点法 8 3 1两个正态分布随机变量 8 3验算点法 8 3 1两个正态分布随机变量 验算点 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 设结构的极限状态方程为服从正态分布且相互独立 它表达为坐标系O X1 X2 Xn中的一个曲面 这个曲面把n维空间分成安全区和失效区两个区域 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 对随机变量x1 i 1 2 n 进行标准化转换 得到标准化正态随机变量则极限状态方程在坐标系O X 1 X 2 X n中表达为 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 类似于两个正态随机变量的情况 此时的可靠指标 是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离 也就是P 点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度 如图所示为三个正态随机变量的情况 P 为 设计验算点 三个变量时可靠指标与极限状态方程的关系 标准正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离 可靠指标 的几何意义 问题转化为如何求得原点到曲面的最短距离 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 因为P 在极限状态曲面上 故 因此得 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 若定义法线OP 对坐标向量的方向余弦 因为 所以 因此方向余弦改写为 法线垂足P 的坐标为 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 转化成原坐标 将 式代入极限状态方程 则可求得可靠指标b以及验算点坐标 对于非线性极限状态方程 首先假定Xi mxi 然后进行迭代计算 8 3验算点法 8 3 2多个正态分布随机变量 可靠指标b计算步骤 首先假定验算点坐标 计算方向余弦 写出验算点的表达式 代入极限状态方程 则可求得可靠指标b以及验算点坐标 8 3验算点法 8 3 3非正态变量 一般情况下 在结构的极限状态中往往含有非正态随机变量 如结构的抗力一般服从对数正态分布 活荷载一般服从极值 型分布或其他分布等 对于这种情况下的可靠度分析 一般要把非正态变量当量化化为正态分布随机变量 基本原理是首先将非正态变量Xi先行当量正态化 当量正态化的条件是 1 在设计验算点Xi 处 当量正态化随机变量Xi 的分布函数值与随机变量Xi的分布函数值相等 2 在设计验算点Xi 处 当量正态化随机变量概率密度函数值与原随机变量概率密度函数值相等 8 3验算点法 8 3 3非正态变量 当量正态条件示意图 8 3验算点法 8 3 3非正态变量 当量正态化的具体做法 X 点处 与正态分布相等 X 点处 与正态密度相等 其中 8 3验算点法 8 3 3非正态变量 对数正态的当量正态化 由式得 8 3验算点法 8 3 3非正态变量 结构构件 包括连接 的可靠度 结构体系可靠度1 结构构件的失效性质 根据其材料和受力性质不同 脆性构件 一旦失效立即完全丧失功能的构件 延性构件 失效后仍能维持原有功能的构件 构件失效性质的不同 对结构体系可靠度的影响不同2 结构体系的失效模型 组成结构的方式 静定 超静定 构件失效性质 脆性 延性 串联模型 并联模型 串 并联模型 8 5结构体系可靠度 8 5 1结构体系可靠度的计算 1 串联模型若结构中任一构件失效 则整个结构也失效 这类结构系统 串联模型 所有静定结构的失效分析 串联模型 由脆性构件做成的超静定结构的失效分析 串联模型 P P P S S 桁架杆件 8 5结构体系可靠度 8