2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

20052005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 一 选择题选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 函数 的图像按向量 平移后 得到的图像的解析式为 yf x 2 4 a 那么 的解析式为sin 2 4 yx yf x A B C D sinyx cosyx sin2yx cos4yx 2 如果二次方程 N 的正根小于 3 那么这样的二次方 2 0 xpxqp q 程有 A 5 个 B 6 个 C 7 个 D 8 个 3 设 那么 的最小值是0ab 2 1 a b ab A 2 B 3 C 4 D 5 4 设四棱锥 的底面不是平行四边形 用平面 去截此四棱锥 使PABCD 得截面四边形是平行四边形 则这样的平面 A 不存在 B 只有 1 个 C 恰有 4 个 D 有无数多个 5 设数列 N 则 被 n a 0121 2 16 1663 nnn aaaaa n 2005 a 64 除的余数为 A 0 B 2 C 16 D 48 6 一条走廊宽 2 m 长 8 m 用 6 种颜色的 11 m 的整块地砖来铺设 每块地 2 砖都是单色的 每种颜色的地砖都足够多 要求相邻的两块地砖颜色不同 那么 所有的不同拼色方法有 A 个 B 个 C 个 D 个 8 30 7 30 25 7 30 20 7 30 21 二 填空题填空题 本题满分 36 分 每小题 6 分 7 设向量 绕点 逆时针旋转 得向量 且 OA O 2 OB 2 7 9 OAOB 则向量 OB 8 设无穷数列 的各项都是正数 是它的前 项之和 对于任意正整 n a n Sn 数 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项 则该数列的通项公式为 n n a n S 9 函数 R 的最小值是 xxxy 2cos cos 10 在长方体 中 点 1111 ABCDABC D 1 2 1ABAAAD EFG 分别是棱 与 的中点 那么四面体 的体积是 1 AA 11 C DBC 1 BEFG 11 由三个数字 组成的 位数中 都至少出现 次 这12351231 样 的 位数共有 5 12 已知平面上两个点集 R 22 1 2 Mx yxyxyx y R 若 则 的取值范 1 1 Nx yxayx y MN a 围是 三 解答题解答题 第一题 第二题各 15 分 第三题 第四题各 24 分 13 已知点 是 的中线 上的一点 直线 交边 于点MABC ADBMAC 且 是 的外接圆的切线 设 试求 用 NABNBC BC BN BM MN 表示 14 求所有使得下列命题成立的正整数 对于任意实数 2 n n 12 n x xx 当 时 总有 其中 1 0 n i i x 1 1 0 n ii i x x 11n xx 15 设椭圆的方程为 线段 是过左焦点 且不 22 22 1 0 xy ab ab PQF A B C D N M 与 轴垂直的焦点弦 若在左准线上存在点 xR 使 为正三角形 求椭圆的离心率 PQR e 的取值范围 并用 表示直线 的斜率 ePQ 16 1 若 N 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005 求 的 n n n 最小值 并说明理由 P M M F R P Q Ox y Q 2 若 N 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 求 n n 2005 的n 最小值 并说明理由 20052005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 一 选择题选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 函数 的图像按向量 平移后 得到的图像的解析式为 yf x 2 4 a 那么 的解析式为sin 2 4 yx yf x A B C D sinyx cosyx sin2yx cos4yx 答 B 解 即 故选 B sin 44 yx cosyx 2 如果二次方程 N 的正根小于 3 那么这样的二次方 2 0 xpxqp q 程有 A 5 个 B 6 个 C 7 个 D 8 个 答 C 解 由 知方程的根为一正一负 2 40 0pqq 设 则 即 2 f xxpxq 2 3 330fpq 39pq 由于 N 所以 或 于是共有 7 组 p q 1 5pq 2 2pq 符合 p q 题意 故选 C 3 设 那么 的最小值是0ab 2 1 a b ab A 2 B 3 C 4 D 5 答 C 解 由 可知0ab 2 22 1 0 424 aa b abba 所以 故选 C 22 2 14 4 aa b aba 4 设四棱锥 的底面不是平行四边形 用平面 去截此四棱锥 PABCD 使得 截面四边形是平行四边形 则这样的平面 A 不存在 B 只有 1 个 C 恰有 4 个 D 有无数多个 答 D 解 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 直线 确定了一个平面 mnmn 作与 平行的平面 与四棱锥的各个侧面 相截 则截得的四边形必为平行四边形 而这样 的平面 有无数多个 故选 D D1 C1 B1 A1 D C B A P 5 设数列 N 则 被 n a 0121 2 16 1663 nnn aaaaa n 2005 a 64 除的余数为 A 0 B 2 C 16 D 48 答 C 解 数列 模 64 周期地为 2 16 2 16 又 2005 被 4 n a 除余 1 故 选 C 6 一条走廊宽 2 m 长 8 m 用 6 种颜色的 11 m 的整块地砖来铺设 每块地 2 砖都是单色的 每种颜色的地砖都足够多 要求相邻的两块地砖颜色不同 那么 所有的不同拼色方法有 A 个 B 个 C 个 D 个 8 30 7 30 25 7 30 20 7 30 21 答 D 解 铺第一列 两块地砖 有 种方法 其次铺第二列 设第一列的两格铺30 了 AB 两色 如图 那么 第二列的上格不能铺 色 若铺 色 则有 AB 种铺法 若不铺 色 则有 种方法 于是第二 6 1 B 2 62 列上共有 种铺法 同理 若前一列铺好 则其后一列都有 2121 种铺法 因此 共有 种铺法 故选 D 7 30 21 二 填空题填空题 本题满分 36 分 每小题 6 分 7 设向量 绕点 逆时针旋转 得向量 且 OA O 2 OB 2 7 9 OAOB 则向量 OB 11 5 23 5 解 设 则 所以 OAm n OBn m 2 2 2 7 9 OAOBmnnm 即 解得 因此 27 29 mn mn 23 5 11 5 m n 23 1111 23 5555 OAOB 故填 11 23 55 8 设无穷数列 的各项都是正数 是它的前 项之和 对于任意正整 n a n Sn 数 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项 则该数列的通项公式为 n n a n S an 4n 2 n N A B 解 由题意知 即 2 2 2 n n a S 2 2 8 n n a S 由 得 从而 11 aS 1 1 2 2 2 a a 1 2a 又由 式得 2 1 1 2 2 8 n n a Sn 于是有 1nnn aSS 22 1 2 2 2 88 nn aa n 整理得 因 故 11 4 0 nnnn aaaa 1 0 0 nn aa 11 4 2 2 nn aana 所以数列 是以 为首项 为公差的等差数列 其通项公式为 n a24 即 故填 N 24 1 n an 42 n an 42 n ann 9 函数 R 的最小值是 xxxy 2cos cos 2 2 解 令 则 cos 0 1 tx 2 21 ytt 当 时 得 2 1 2 t 22 19 212 48 yttt 2 2 2 y 当 时 得 2 0 2 t 22 19 212 48 yttt 29 28 y 又 可取到 故填 y 2 2 2 2 10 在长方体 中 点 1111 ABCDABC D 1 2 1ABAAAD EF G 分别是棱 与 的中点 那么四面体 的体积是 V 1 AA 11 C DBC 1 BEFG B1 EFG 3 8 解 在 的延长线上取一点 使 易证 11 D AH 1 1 4 AH 1 HEBG 平面 故 而 HE 1 B FG 1111 BEFGE B FGHB FGG B FH VVVV G 到平面 的距离为 故填 1 9 8 B FH S 1 B FH1 1 3 8 BEFG V 11 由三个数字 组成的 位数中 都至少出现 次 12351231 这样的 位数共有 150 个 5 解 在 位数中 若 只出现 次 有 个 511 1123 5444 70C CCC 若 只出现 次 有 个 12 212 533 60CCC 若 只出现 次 有 个 则这样的五位数共有 个 13 31 52 20C C 150 故填 150 个 12 已知平面上两个点集 R 22 1 2 Mx yxyxyx y R 若 则 的取值范 1 1 Nx yxayx y MN a 围是 1 3 610 解 由题意知 是以原点为焦点 直线 为准线的抛物线上M10 xy 及其凹口 内侧的点集 是以 为中心的正方形及N 1 a 其内部的点集 如图 考察 时 的取值范围 MN a 令 代入方程1y 22 1 2 xyxy 得 解出得 所以 2 420 xx 26x 当 时 26116a MN 令 代入方程 得 解出2y 22 1 2 xyxy 2 610 xx 得 所以 310 x 当 时 310a MN 因此 综合 与 可知 当 即 16310a 时 16 310 a 故填 MN 16 310 三 解答题解答题 第一题 第二题各 15 分 第三题 第四题各 24 分 13 已知点 是 的中线 上的一点 直线 交边 MABC ADBMAC 于点 且 是 的外接圆的切线 设 试求 用 NABNBC BC BN BM MN 表示 证明 在 中 由 Menelaus 定理得BCN A B C D N M 2 14 6 35 7 1 y x 1 2 3 1 2 3O 1 BMNA CD MNAC DB 因为 所以BDDC 6 分分 BMAC MNAN 由 知 则ABNACB ABN ACB ABACCB ANABBN 所以 即 2 ABACCB ANABBN 2 BN BC AN AC 12 分分 因此 又 故 2 BN BC MN BMBC BN 2 BM MN 15 分分 14 求所有使得下列命题成立的正整数 对于任意实数 2 n n 12 n x xx 当 时 总有 其中 1 0 n i i x 1 1 0 n ii i x x 11n xx 解 当 时 由 得 2n 12 0 xx 2 12211 20 x xx xx 所以 时命题成立 2n 3 分分 当 时 由 得3n 123 0 xxx 2222 123123 12233 1 2 xxxxxx x xx xx x 222 123 0 2 xxx 所以 时命题成立 3n 6 分分 当 时 由 得4n 1234 0 xxxx 2 12233441132424 0 x xx xx xx xxxxxxx 所以 时命题成立 9 分分4n 当 时 令 则 5n 12 1xx 4 2x 35 0 n xxx 但是 故对于 命题不成立 1 0 n i i x 1 1 10 n ii n x x 5n 综上可知 使命题成立的自然数是 15 分分2 3 4n 15 设椭圆的方程为 线 22 22 1 0 xy ab ab 段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦 PQFx 若在左准线上存在点 R 使 为正三角形 求椭圆的离心率 PQR e 的取值范围 并用 表示直线 的斜率 ePQ 解 如图 设线段 的中点为 PQM 过点 分别作准线的垂线 垂足PMQ 分别为 则 P M Q 6 11 222 PFQFPQ MMPPQQ eee 分分 假设存在点 则 且 即 R 3 2 RMPQ MMRM 3 22 PQ PQ e 所以 12 分分 3 3 e 于是 故 ePQe PQ RM MM RMM 3 1 3 2 2 cos 2 1 cot 31 RMM e 若 如图 则 PFQF 18 13 1 cot tantan 2 e RMMFMMQFxkPQ 分分 当 时 过点 作斜率为 的焦点弦 它的中垂线交左 3 3 e F 2 1 31e PQ 准线于 由上述运算知 故 为正三角形 R 3 2 RMPQ PQR 21 分分 P M M F R P Q Ox y Q 若 则由对称性得 PFQF 2 1 31 PQ k e 24 分分 又 所以 椭圆 的离心率 的取值范围是1e 22 22 1 0 xy ab ab e 直线 的斜率为 3 1 3 e PQ 2 1 31e 16 1 若 N 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005 求 n n n 的最小值 并说明理由 2 若 N 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 求 n n 2005 n 的最小值 并说明理由 解 1 因为 3333 101000 111331 121728 132197 33 12200513 故 1n 因为 所以存在 3333 20051728 125 1252712553 4n 使 min 4n 6 分分 若 因 则最大的正方体边长只能为 或 2n 33 10102005 1112 计算 而 与 均不是完全立方数 所 33 2005 11674 2005 12277 674277 以 不可能是 的最小值 2n n 9 分分 若 设此三个正方体中最大一个的棱长为