张量分析总结.doc

第 9 页中国矿业大学张量分析课程总结报告一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例：(1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。1.2 Kronecker符号定义为：(1.3)的矩阵形式为：(1.4)可知。符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成的另一个指标，而符号消失。如： (1.5)的作用：更换指标、选择求和。1.3 Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：(1.6)图1.1 i,j,k排列图的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为，新坐标系的基矢为。有 在下进行分解： 在下进行分解： 其中， 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：(1.7)其中为上图中坐标原点的位移矢量。将向新坐标轴上投影的矢量的分量：由此得新坐标用老坐标表示的公式：(1.8)类似地，将向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：(1.9)特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时，上两式的矩阵形式为：(1.10)由上可知， ，是正交矩阵，则。 综合以上可知： (1.11)同理，可推出：将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，； 将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，其中为常数，称为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：1.5 张量的分量坐标转换规律1.5.1 一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：(1.12)其中：(1.13)则：(1.14)得到：(1.15)同理：(1.16)得：(1.17)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。1.5.2 二阶张量定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：(1.18)可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：(1.19)又：(1.20)记：，(1.21)则：(1.22)该式表示 a 与 b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：(1.23)将式(1.13)代入上式可得：(1.24)此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。2 张量的代数运算2.1 张量的加减假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为，例如：(2.1)显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。2.2 标量与张量的积张量A，标量，若，则：(2.2)2.3 张量的并积两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。(2.3)(2.4)(2.5)式(1.10)中：(2.6)2.4 张量的缩并若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。，有。取不同基矢量点积，缩并结果不同。2.5 张量的点积两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下：(2.7)(2.8)(2.9)其中，(2.10)2.6 指标的转换对于张量，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：(2.11)指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：(2.12)2.7 张量的商法则张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式成立，则T必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。3 二阶张量二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。3.1 二阶张量的矩阵(1) 任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式：(3.1)二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。(2) 二阶张量T的转置张量TT为：(3.2)(3) 二阶张量的行列式二阶张量对应的矩阵具有行列式值：由于两个互为转置的矩阵的行列式值相等，故两个互为转置的张量的行列式相等(4) 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与矩阵运算一一对应；二阶张量与矢量的点积；二阶张量与二阶张量的点积。以上运算都可以表示成对应的矩阵运算，但二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘运算。3.2 几种特殊的张量3.2.1零二阶张量零二阶张量将任意矢量映射为零矢量，它是一种特殊的退化的二阶张量。零二阶张量对应的矩阵为：(3.3)(3.4)式中，左端的O是零二阶张量，右端的0为零矢量。3.2.2 度量（单位）张量G(3.5)度量张量将任意矢量映射为原矢量，即：(3.6)度量张量与任意二阶张量的点积仍为该张量本身，即：(3.7)因此，有些书中将度量张量记作I或1。3.2.3球形张量主对角分量为，其余分量为零的二阶张量称为球形张量。它是数与单位张量的数积，即： (3.8)3.2.4转置张量二阶张量由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得的新张量称为张量B的转置张量。若同时转换二阶张量B的分量指标和基矢顺序，结果仍为B。三阶张量有三种不同的转置张量，任意对换i，j，k得到：(3.9)3.2.5对称张量与反对称张量对称张量，转置张量