拉氏变换及拉氏反变换

2 2拉氏变换及拉氏反变换 拉氏变换的定义几种典型函数的拉氏变换拉氏变换的主要定理拉氏反变换拉氏变换在控制工程中的应用 2 2 1拉氏变换的定义 概述对于利用微分方程表达的数学模型形式 采用手工计算的方式求解是很烦琐的 利用拉氏变换 可将微分方程转换为代数方程 使求解大为简化 故拉氏变换是分析机电控制系统的基本数学方法之一 在此基础上 进一步得到系统的传递函数 2 2 1拉氏变换的定义 概述拉氏变换实际上是一种函数变换 关于函数的变换我们在初等数学中也曾经用过 例如 用对数的方法就可以把乘 除的运算变成加 减的运算 乘方 开方的运算变成乘 除的运算 例如 拉氏变换亦与此相似 即把微分方程变换为代数方程求解 2 2 1拉氏变换的定义 定义对于时间函数f t 如果满足当t 0时 f t 0 当t 0时 实函数f t 的积分在s的某一域内收敛 则定义f t 的拉氏变换为并记作 其中算子s为复数 即F s 称为f t 的象函数 f t 称为F s 的原函数 在拉氏变换中 s的量纲是时间的倒数 即t 1 F s 的量纲是f t 的量纲与时间t的量纲的乘积 2 2 2几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1 t 的拉氏变换单位阶跃函数的定义为1 t 由拉氏变换的定义得 0t 01t 0 2 2 2几种典型函数的拉氏变换 单位脉冲函数 t 的拉氏变换单位脉冲函数的定义为 t 且 t 有如下特性式中f 0 t 0时刻的f t 的函数值 由拉氏变换的定义得 0t 01t 0 2 2 2几种典型函数的拉氏变换 单位斜坡函数的拉氏变换单位斜坡函数的定义为t t 由拉氏变换的定义得 0t 0tt 0 2 2 2几种典型函数的拉氏变换 指数函数的拉氏变换 2 2 2几种典型函数的拉氏变换 单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的定义为其拉氏变换为 2 2 2几种典型函数的拉氏变换 正弦函数sin t和余弦函数cos t的拉氏变换根据欧拉公式 有则 2 2 2几种典型函数的拉氏变换 由拉氏变换的定义及指数函数的拉氏变换得附录A 常用函数拉氏变换对照表必须熟记 牢记 Z变换不做要求 2 2 3拉氏变换主要定理 线性定理 叠加原理 拉氏变换是一个线性变换 若有常数k1 k2 函数f1 t f2 t 则延迟定理 延时定理 设f t 的拉氏变换为F s 对任一正实数a 有位移定理 衰减定理 设f t 的拉氏变换为F s 对任一常数a 实数或复数 有相似定理设f t 的拉氏变换为F s 有任意常数a 则 2 2 3拉氏变换主要定理 微分定理设f n t 表示f t 的n阶导数 n 1 2 3 正整数 f t 的拉氏变换为F s 则 2 2 3拉氏变换主要定理 积分定理设f t 的拉氏变换为F s 则 2 2 3拉氏变换主要定理 初值定理设f t 及其一阶导数均为可拉氏变换的 则f t 的初值为终值定理设f t 及其一阶导数均为可拉氏变换的 则f t 的终值为象函数的微分性质tf t 的拉氏变换为 2 2 3拉氏变换主要定理 象函数的积分性质的拉氏变换卷积定理设 若原函数f t 和g t 的卷积为则它的拉氏变换可表示为 2 2 4拉氏反变换 拉氏反变换的定义拉氏反变换的计算方法拉氏反变换的部分分式展开法 2 2 4 1拉氏反变换的定义 已知象函数F s 则原函数f t 为式中 为大于F s 的所有奇异点实部的实常数 即F s 在该点不解析 也就是说F s 在该点及其邻域不处处可导 2 2 4 2拉氏反变换的计算方法 通过拉氏反变换的定义来计算原函数 显然 该方法是非常繁琐的 对于简单的F s 可直接利用附录A 常用函数拉氏变换表 查出相应的原函数f t 对于复杂的F s 通常采用部分分式法将其分解成若干个简单的标准形式的象函数之和 然后再通过查表 分别求出各个标准象函数的原函数 再应用叠加原理即可求出原函数f t 2 2 4 3拉氏反变换的部分分式展开法 概述在控制系统中 常遇到的象函数是复数s的有理代数分式 即其中 使分母为零的s值称为极点 使分子为零的s值称为零点 将象函数做适当变换 使分母最高阶的系数为1 则 2 2 4 3拉氏反变换的部分分式展开法 根据实系数多项式因式分解定理 其分母n次多项式应该n个根 可分解为因式相乘 即 2 2 4 3拉氏反变换的部分分式展开法 X s 0无重根的情况将化为部分分式 即现在的任务就是确定ki的值 ki确定了 就可根据表2 1确定f t 了 ki可由下式求得从而求出f t 例2 11 求的拉氏反变换解 F s 的部分分式为 2 2 4 3拉氏反变换的部分分式展开法 X s 0含有共轭复根的情况将化为如下部分分式 即现在的任务是确定ki k1 k2按以下步骤求取 将上式两端同时乘以 s j s j 同时令s j 或者同时令s j 得分别令上式两端实部 虚部分别相等 即可求出k1 k2 可通过配方 化成正弦 余弦象函数的形式 然后求其反变换 ki i 3 4 n 仍然由公式求得 例2 12 求的原函数解 将等式两端同时乘以 并令得即解得又 例2 12 故则 2 2 4 3拉氏反变换的部分分式展开法 X s 0含有重根的情况设X s 0有 重根s1 式中N n 1k2 k3 kN等系数仍然按无重根的方法求 即重根的系数k11 k12 k13 k1 按下面的公式计算 2 2 4 3拉氏反变换的部分分式展开法 然后查附录A表 即可得出f t 例2 13 求象函数的拉氏反变换解 求相关系数 例2 13 F s 的部分分式为分别查表可求得F s 的拉氏反变换为 2 2 5拉氏变换在控制工程中的应用 用拉氏变换求解线性微分方程步骤1 对微分方程进行拉氏变换 将其转换为拉氏域s内的代数方程 即变微分方程为s变量的代数方程 步骤2 对以s为变量的代数方