2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第5讲模拟方法——概率的应用

第5讲 模拟方法概率的应用一、选择题1在区间1,1上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为()A. B.C. D.解析 在区间1,1上随机取一个数x，即x1,1，要使cos的值介于0到之间，需使或，1x或x1，区间长度为，由几何概型知cos的值介于0到之间的概率为.答案 A2. 如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为()A. B. C. D.解析由几何概型的概率公式，得，所以阴影部分面积约为，故选C.答案C3如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于 ()A. B. C. D.解析SABE|AB|AD|，S矩形ABCD|AB|AD|.故所求概率P.答案C4在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2到81 cm2之间的概率为()来源 A.B.C. D.解析 正方形的面积介于36 cm2到81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间线段AB的长度为12 cm，则所求概率为.答案 C5若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x2有不等实数根的概率为()A. B. C. D.解析方程x2，即x22x2b0，原方程有不等实数根，则需满足(2)242b0，即ab.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x2有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)由几何概型公式可得P(A).故选B.答案B6已知平面区域，直线ymx2m和曲线y有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若0m1，则P(M)的取值范围为()来源:学,科,网Z,X,X,KA. B.C. D.解析：已知直线ymx2m过半圆y上一点(2,0)，当m0时直线与x轴重合，这时P(M)1，故可排除A，B，若m1，如图可求得P(M)，故选D.答案：D二、填空题7在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为_解析 (1)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF(此时F为OE的中点)，由几何概型概率公式得：P(A).答案 8小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_解析设A小波周末去看电影，B小波周末去打篮球，C小波周末在家看书，D小波周末不在家看书，如图所示，则P(D)1.答案9有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为_解析确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V213，圆柱的体积为VSh3，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V1.答案10已知正三棱锥SABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是_解析三棱锥PABC与三棱锥SABC的底面相同，VPABCVSABC就是三棱锥PABC的高小于三棱锥SABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥SABC的高为h，则所求概率为：P.答案三、解答题11已知集合A2,0,2，B1,1，设M(x，y)|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21上的概率；来XXK(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：内(含边界)的概率解：(1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21上”为事件A，则基本事件总数为6.因落在圆x2y21上的点有(0，1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2，所以P(A).(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件B，则基本事件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)的点有：(2，1)，(2，1)，(0，1)，(0,1)，共4个，即B包含的基本事件数为4，故P(B).12已知关于x的一次函数ymxn.(1)设集合P2，1,1,2,3和Q2,3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数ymxn是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件求函数ymxn的图象经过一、二、三象限的概率解(1)抽取的全部结果的基本事件有：(2，2)，(2,3)，(1，2)，(1,3)，(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共10个基本事件设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A).(2)m，n满足条件的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m0，n0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所求事件的概率为P.13甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹(1)求空弹出现在第一枪的概率；(2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P，Q，R，第四枪瞄准了三角形PQR射击，第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小)解 设四发子弹编号为0(空弹)，1,2,3，(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，第一枪有4个基本事件，则：P(A).(2)方法一：前三枪出现“空弹”的事件为B，则第四枪出现“空弹”的事件为，那么P()P(A)，P(B)1P()1P(A)1.方法二：前三枪共有4个基本事件0,1,2，0,1,3，0,2,3，1,2,3，满足条件的有三个，则P(B).(3)RtPQR的面积为6，分别以P，Q，R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为，设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C，P(C)1.14设函数f(x)x2bxc，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f(1)5且f(0)3”发生的概率(1)若随机数b，c1,2,3,4；(2)已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为x|0x1，b，c是算法语句b4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”）解由f(x)x2bxc知，事件A“f(1)5且f(0)3”，即(1)因为随机数b，c1,2,3,4，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件A：包含了其中6个数对(b，c)，即：(1,1)，(1,2)