文科数学考前重要知识点梳理

考前指导 高三文科数学 考前 记定义 公式 性质 易错点考时 熟题 认真对待生题 化生为熟难题 化大为小 一 三角 一 任意角的三角函数及三角恒等变换 主干知识 1 同角三角函数之间的关系 平方关系 商数关系 2 诱导公式 公式 S 2k S S 巧记口诀 奇变偶不变 符号看象限 当锐角看 sin2 cos2 1 3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 sin cos tan 辅助角公式 asin bcos cos sin cos cos sin cos cos sin sin 4 二倍角的正弦 余弦 正切公式 sin2 cos2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 5 降幂公式 sin2 cos2 2sin cos cos2 sin2 6 公式 r 7 任意角的三角函数定义 设角 终边与单位圆交于P x y 则 y x tan sin cos 规律方法 1 用定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点P的坐标 则可先求出点P到原点的距离r 然后用三角函数的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后用三角函数的定义来求相关问题 规律方法 2利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法 1 切弦互换法 利用tan 进行转化 2 和积转化法 利用 sin cos 2 1 2sin cos 进行变形 转化 3 常值代换法 其中之一就是把1代换为sin2 cos2 同角三角函数关系sin2 cos2 1和tan 联合使用 可以根据角 的一个三角函数值求出另外两个三角函数值 根据tan 可以把含有sin cos 的齐次式化为tan 的关系式 规律方法 3 利用诱导公式解题的原则和步骤 1 诱导公式应用的原则 负化正 大化小 化到锐角为终了 2 诱导公式应用的步骤 提醒 诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号 规律方法 4 三角恒等变换的思路与方法思路 1 和式 降次 消项 逆用公式 2 三角分式 分子与分母约分或逆用公式 3 二次根式 切化弦 变量代换 角度归一 方法 1 弦切互化 一般是切化弦 2 常值代换 特别是 1 的代换 如1 sin2 cos2 tan45 等 3 降次与升次 正用二倍角公式升次 逆用二倍角公式 降幂公式 降次 4 公式的变形应用 如sin cos tan sin2 cos2 tan tan tan 1 tan tan 1 sin 等 5 角的合成及三角函数名的统一 asin bcos 6 角的拆分与角的配凑 如 可视为的半角等 二 函数y Asin x 的图象与性质 主干知识 重要性质 1 增减性 k Z k Z 2k 2k k Z 2k 2k k Z k Z 2 对称性 k 0 k Z x k k Z 规律方法 1 三角函数的性质 1 运用整体换元法求解单调区间与对称性 类比y sinx的性质 只需将y Asin x 中的 x 看成y sinx中的 x 采用整体代入求解 令 x k k Z 可求得对称轴方程 令 x k k Z 可求得对称中心的横坐标 将 x 看作整体 可求得y Asin x 的单调区间 注意 的符号 2 奇偶性 函数y Asin x x R是奇函数 k k Z 函数y Asin x x R是偶函数 k k Z 函数y Acos x x R是奇函数 k k Z 函数y Acos x x R是偶函数 k k Z 函数y Atan x x R是奇函数 k Z 3 周期性 函数y Asin x 或y Acos x 的最小正周期T 注意y Asin x 的周期T 4 最值 或值域 求最值 或值域 时 一般要确定u x 的范围 然后结合函数y sinu或y cosu的性质可得函数的最值 值域 规律方法 2 三角函数的图象函数表达式y Asin x B的确定方法 三角函数图象的两种变换方法 1 y sinxy sin x y sin x y Asin x A 0 0 2 y sinxy sin xy sin x y Asin x A 0 0 三 解三角形的综合问题 主干知识 1 正弦定理 2RsinA 2RsinB 2RsinC 2 余弦定理 3 面积公式S ABC bcsinA b2 c2 2bccosA a2 c2 2accosB a2 b2 2abcosC 规律方法 正 余弦定理的应用 1 边角互化 求角 求边 求三角形面积 确定三角形的形状 2 结合基本不等式 求三角形周长 面积的最值 二 数列 主干知识 1 等差数列通项公式 an 2 等差数列前n项和公式 Sn 3 等比数列通项公式 a1 n 1 d an a1qn 1 4 等比数列前n项和公式 Sn 5 等差中项公式 6 等比中项公式 7 数列 an 的前n项和与通项an之间的关系 an 2an an 1 an 1 n N n 2 8 等差 比 数列的性质盘点 规律方法 一 1 求通项公式an 1 列方程求基本量 2 Sn与an的关系的应用 讨论 检验 3 叠加法 an 1 an f n 4 叠乘法 2 求最大 小 项 化为判断an 1和an的差的正负 规律方法 二 求Sn1 分组求和的常见方法 1 根据等差 等比数列分组 2 根据正号 负号分组 3 根据数列的周期性分组 2 裂项后相消的规律 1 裂项系数取决于前后两项分母的差 2 裂项相消后前 后保留的项数一样多 3 错位相减法的关注点 1 适用题型 等差数列 an 乘以等比数列 bn 对应项 an bn 型数列求和 2 步骤 求和时先乘以数列 bn 的公比 把两个和的形式错位相减 整理结果形式 三 立几1 三视图 画法规则 长对正 高平齐 宽相等 摆放规则 侧视图在正视图的右侧 俯视图在正视图的下方 2 直观图横等长 纵折半 3 平行与垂直 1 线面平行与垂直的判定定理 性质定理 2 面面平行与垂直的判定定理 性质定理 规律方法 1 证平行判断或证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的判定定理 a b a b a 2 利用面面平行的性质 a a 判定面面平行的常用方法 1 利用面面平行的判定定理 2 利用垂直于同一条直线的两平面平行 2 证垂直判定线面垂直的常用方法方法一 利用线面垂直的判定定理 两垂一相交 方法二 利用面面垂直的性质定理 与交线垂直 面面垂直的证明方法 1 面面垂直的判定定理 2 用面面垂直的定义线线垂直的常用方法 线面垂直 线线垂直3 求体积 找底和高 四 概率统计1 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 1 中位数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 2 平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 3 众数 在频率分布直方图中 众数是最高的矩形的中点的横坐标 2 最小二乘法估计的三个步骤 1 作出散点图 判断是否线性相关 2 如果是 则用公式求 写出回归方程 3 根据方程进行估计 提醒 回归直线方程恒过点 3 独立性检验 1 2 2列联表 2 K2统计量 K2 其中n a b c d为样本容量 a b b d 4 求古典概型概率的基本步骤 1 算出所有基本事件的个数n 列举法 列表法 2 求出事件A包含的所有基本事件数m 3 代入公式P A 求出P A 5 几何概型的概率公式 画图 P A 五 解几 主干知识 1 直线与圆 1 直线的斜率公式 已知直线的倾斜角为 90 则直线的斜率为k 已知直线过点A x1 y1 B x2 y2 x2 x1 则直线的斜率为k x2 x1 tan 2 距离公式 A x1 y1 B x2 y2 两点间的距离 AB 点到直线的距离 d 其中点P x0 y0 直线方程为Ax By C 0 3 直线与圆相交时弦长公式弦长l 其中R为圆的半径 d为圆心到弦所在直线的距离 4 直线的两种位置关系 当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时 i 两直线平行 l1 l2 k1 k2 ii 两直线垂直 l1 l2 k1 k2 1 当两直线方程分别为 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0时 i 两直线平行l1 l2 A1B2 A2B1 0且A1C2 A2C1 0或B1C2 B2C1 0 ii 两直线垂直l1 l2 A1A2 B1B2 0 2 圆锥曲线 1 三个定义式 椭圆 PF1 PF2 2a 2a F1F2 双曲线 PF1 PF2 2a 2a F1F2 抛物线 PF PM 点F不在直线l上 PM l于M 2 直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求 根据根与系数的关系 进行整体代入 即当直线与圆锥曲线交于点A x1 y1 B x2 y2 时 AB 3 抛物线的过焦点的弦长 抛物线y2 2px p 0 过焦点F的弦AB 若A x1 y1 B x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 AB x1 x2 p 同样可得抛物线y2 2px x2 2py x2 2py类似的性质 y1 y2 3 圆锥曲线重要性质 1 椭圆 双曲线中a b c之间的关系 在椭圆中 离心率为 在双曲线中 离心率为 2 双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标F1 F2 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标F1 F2 a2 b2 c2 c2 b2 a2 c 0 c 0 0 c 0 c 3 抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 准线方程为 抛物线x2 2py p 0 的焦点坐标为 准线方程为 规律方法 1 直线与圆几何法判断直线与圆的位置关系的流程 求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤 1 方法 待定系数法 2 步骤 判断点是否在圆上 若在圆上 则有且只有一条切线 若在圆外 则有且只有两条切线 设切线方程 一般设点斜式方程 利用圆心到直线的距离等于半径 求待定系数值 得切线方程 提醒 若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条 则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上 2 直线与圆锥曲线解决直线与圆锥曲线位置关系的常见步骤第一步 确定直线与圆锥曲线的方程 设直线 设交点 第二步 联立方程 消元第三步 利用根与系数关系 根的判别式 第四步 结合题意解决具体问题 交点个数 弦长 弦中点 六 函数与导数 主干知识 1 基本初等函数的八个导数公式 0 x 1 cosx sinx axlna ex 2 导数四则运算法则 f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x 规律方法 1 判断函数零点个数的方法 1 直接求零点 令f x 0 则方程解的个数即为零点的个数 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合 对于给定的函数不能直接求解或画出图形 常会通过分解转化为两个函数图象 然后数形结合 看其交点的个数 2 求曲线y f x 的切线方程的三种类型及方法 1 已知切点P x0 y0 求y f x 过点P的切线方程 求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率为k 求y f x 的切线方程 设切点P x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求y f x 的切线方程 设切点P x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 再由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 3 求函数的单调区间的 两个 方法 1 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 2 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 列表确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 4 已知函数y f x 在 a b 的单调性 求参数的范围的方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题求解 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 5 研究极值 最值问题应注意的三个关注点 1 导函数的零点并不一定就是函数的极值点 所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 3 含参数时 要讨论参数的大小 七 集合 常用逻辑用语1 必记公式 1 A B A 2 A B A 3 若集合A的元素有n个 则A的子集个数是 真子集个数是 非空真子集的个数是 A B B A 2n 2n 1 2n 2 2 四种命题及其相互关系 1 四种命题间的相互关系 若q 则p 若 p 则 q 若 q 则 p 2 四种命题中的等价关系 原命题等价于 否命题等价于 在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4 逆否命题 逆命题 3 充分 必要条件 设集合A x x满足条件p B x x满足条件q 则有 A B 4 命题p q p q p q p的真假关系 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 5 全称命题和特称命题的否定 x0 M p x0 x M p x 八 向量1 特殊向量 0 任意的 1个单位 相同或相反 相同 相反 2 必记公式 1 两个非零向量平行 垂直的充要条件 若a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b b 0 a b a b 0 x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 2 向量的夹角公式 设 为a与b a 0 b 0 的夹角 且a x1 y1 b x2 y2 则cos 3 重要结论 1 若a与b不共线 且 a b 0 则