湖北省2011年中考数学试题分类解析12 押轴题(含答案).doc

湖北省2011年中考数学专题12：押轴题解答题1.（湖北武汉12分）如图1，抛物线经过a（3，0），b（1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为m，直线与轴交于点c，与直线om交于点d.现将抛物线平移，保持顶点在直线od上.若平移的抛物线与射线cd（含端点c）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于e，f两点.问在y轴的负半轴上是否存在点p，使pef的内心在轴上.若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）抛物线经过a（3,0），b（1,0）两点，解得。抛物线的解析式为。（2）由（1）配方得，抛物线的顶点m（2，,1）。直线od的解析式为。设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），平移的抛物线解析式为.当抛物线经过点c时，c（0，9），h2+h=9，解得h=。当h时，平移的抛物线与射线cd只有一个公共点。当抛物线与直线cd只有一个公共点时，由y得，=（2h2）24（h2h9）=0，解得h=4。此时抛物线y=（x4）22与射线cd唯一的公共点为（3，3），符合题意。综上所述：平移的抛物线与射线cd只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或h.（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为设ef的解析式为=k+3（k0）.假设存在满足题设条件的点p（0，t），如图，过p作gh轴，分别过e，f作gh的垂线，垂足为g，h.pef的内心在y轴上，gep=epq=qpf=hfp。gephfp。2kef=（t3）（ef）由，=k+3.得2k3=0，e+f=k, exf=3。2k（3）=（t3）k。k0,t=3。y轴的负半轴上存在点p（0，3），使pef的内心在y轴上。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，平移的性质，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，三角形内心的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）根据抛物线经过点a（-3，0），b（-1，0）两点，代入解析式求出即可。（2）由（1）配方得，利用函数平移当抛物线经过点c时，当抛物线与直线cd只有一个公共点时，分别分析求出。（3）由三角形内心的性质，应用相似三角形的判定和性质和一元二次方程根与系数的关系，即可求得。2.（湖北黄石10分）已知二次函数（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。（2）以抛物线的顶点a为一个顶点作该抛物线的内接正三角形amn（m，n两点在抛物线上），请问：amn的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。【答案】解：（1），的对称轴为。又当时，函数值随的增大而减小，由题意得，。（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与mn交于点b，则。设，。又 。 ，。为定值。（3）令，即时，有，由题意，为完全平方数，令，即。为整数，的奇偶性相同。或，解得或。综合得，。【考点】二次函数综合题。【分析】（1）求出二次函数的对称轴，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边随的增大而减小，可以求出的取值范围。（2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到三角形amn的面积是无关的定值。（3）当时，求出抛物线与轴的两个交点的坐标，然后确定整数的值。3.（湖北十堰12分）如图，已知抛物线与轴交于点a（1，0）和点b，与y轴交于点c（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），已知点h（0，1）.问在抛物线上是否存在点g（点g在轴的左侧），使得sghc=sgha？若存在，求出点g的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点d在轴上的正投影为点e（2，0），f是oc的中点，连接df，p为线段bd上的一点，若epf=bdf，求线段pe的长.【答案】解：（1）抛物线经过a（1，0）和点c（0，3）， ，解得。 抛物线的解析式是。(2)假设抛物线上存在点g，设g（m，n）,显然，当n=3时，agh不存在。当n3时，可求得gh与轴的交点坐标（，0），可得sagh= ，sghc= m。由sagh= sghc得， mn1=0。，解得 m= ,n= ,或m= , n=。点g在y轴的左侧，g（，）、当4n3时，可得sagh=, sghc= m。由sagh= sghc得，3mn1=0。，解得 或 。点g在y轴的左侧，g（1，4）。存在点g（，）或（1，4）。(3) 如图，e(2,0), d点的横坐标是2，点d在抛物线上，d（2，3）。f是oc中点，f（0，）。直线df的解析式为= 。则它与轴交于点q（2，0），则qb=qd=5，be=1，bd=，df=。由qb=qd，得qbd=qdb。bpe+epf+fpd=dfp+pdf+fpd=180，epf=pdf，bpe=dfp。可证pbefdp，得pbdp=，pb+dp=bd=。pb=。即p是bd的中点，连接de ，在rtdbe中，pe=bd=。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】（1）由抛物线与轴交于点a（1，0）和点b，与y轴交于点c（0，3）。利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。（2）设g（m，n），分n3和4n3两种情况讨论即可。（3）利用待定系数法求得直线df的解析式，即可证得pbefdp，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。4.（湖北荆州12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形oabc与cdef的边oc、oa所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（o、c、f三点在x轴正半轴上）.若p过a、b、e三点(圆心在轴上)，抛物线经过a、c两点，与轴的另一交点为g，m是fg的中点，正方形cdef的面积为1.（1）求b点坐标；（2）求证：me是p的切线；（3）设直线ac与抛物线对称轴交于n，q点是此对称轴上不与n点重合的一动点，求acq周长的最小值；若fq，sacq，直接写出与之间的函数关系式.【答案】解：（1）如图，连接pe、pb，设pc，正方形cdef面积为1，cdcf1。根据圆和正方形的对称性知oppc，bc2pc2。而pbpe，。解得 (舍去) 。bcoc2。 b点坐标为。（2）如图，由（1）知a，c，a，c在抛物线上，。抛物线的解析式为，即。抛物线的对称轴为即ef所在直线。c与g关于直线对称，cffg1、fmfg。在rtpef与rtemf中， ，pefemf 。epffem，pempef+fempef+epf90。me与p相切。（3）如图，延长ab交抛物线于a，连接ca交对称轴于q，连接aq，则有aqaq，acq周长的最小值为（ac+ ac）的长。a与a关于直线对称，a，a。ac。而ac= ，acq周长的最小值为。当q点在f点上方时，； 当q点在线段fn上时，；当q点在n点下方时，。 【考点】二次函数综合题，圆和正方形的性质，勾股定理，曲线上点的坐标 与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直线和圆相切的判定，轴对称和中心对称的性质。【分析】（1）如图甲，连接pe、pb，设pc=，由正方形cdef的面积为1，可得cd=cf=1，根据圆和正方形的对称性知：op=pc=，由pb=pe，根据勾股定理即可求得的值，从而求得b的坐标。（2）由（1）知a（0，2），c（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得fm的长，则可得pefemf，则可证得pem=90，即me是p的切线。（3）如图乙，延长ab交抛物线于a，连ca交对称轴于q，连接aq，则有aq=aq，acq周长的最小值为ac+ac的长，利用勾股定理即可求得acq周长的最小值。分别当q点在f点上方，在线段fn上时，在n点下方时去分析即可求得答案：当q点在f点上方时，如上图，=saofqsaocsqcf =（+2）3221=1；当q点在线段fn上时，如右图，=sahqsaocsocqh =（+2）322（23）=1；当q点在n点下方时，如右图，=saqisaifcscfq =（+2）3（13）21=1。5.（湖北宜昌11分）已知抛物线与直线=m+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，）和（m，m2m+n），其中 ，m，n为实数，且，m不为 0（1）求的值；（2）设抛物线与轴的两个交点是（1，0）和（2，0），求12的值；（3）当11时，设抛物线上与轴距离最大的点为p（0，0），求这时|0丨的最小值【答案】解：（1）（0，）在上，。（2）（0，）在=m+n上，n。抛物线与直线另一交点的坐标为（m，m2m）点（m，m2m+n）在上，m2m（m）2（m），（1）（m）20。若（m）0，则（m，m2mn）与（0，）重合，与题意不合。1。抛物线，就是。2424（）0， 抛物线与轴的两个交点的横坐标就是关于的方程的两个实数根，由根与系数的关系，得12。（3）抛物线的对称轴为，最小值为。设抛物线在轴上方与轴距离最大的点的纵坐标为h，在轴下方与轴距离最大的点的纵坐标为h。当1，即2时，在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），ho。在轴下方与轴距离最大的点是（1，o），hyo。 hh这时o的最小值大于。当10，即02时，在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），hyo，当0时等号成立。在轴下方与轴距离最大点的是（，），h，当0时等号成立。这时o的最小值等于。当01，即20时,在轴上方与轴距离最大的点是（1，yo），hyo1（1）。在轴下方与轴距离最大的点是（，），hyo。这时o的最小值大于。当1，即2时，在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），h。在轴下方与轴距离最大的点是(1，o)，h（），hh。这时o的最小值大于。综上所述，当0，00时，这时o取最小值，为o。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值。【分析】（1）把点（0，）代入抛物线可以求出的值。（2）把点（0，）代入直线得n=，然后把点（m，m2m+n）代入抛物线，整理后可确定的值，把，的值代入抛物线，当=0时由一元二次方程根与系数的关系可以求出12的值。（3）求出抛物线的顶点（，），分1，10，01和1四种情况讨论，确定|0|的最小值。6.（湖北襄阳13分）如图，在平面直角坐标系o中，ab在轴上，ab=10，以ab为直径的o与轴正半轴交于点c，连接bc，accd是o的切线，ad丄cd于点d，tancad=，抛物线过a，b，c三点（1）求证：cad=cab；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点e是否在直线cd上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点p，使四边形pbca是直角梯形若存在，直接写出点p的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）证明：连接oc，cd是o的切线，occd。adcd，ocad。oca=cad。oa=oc，cab=oca。cad=cab。（2）ab是o的直径，acb=90。ocab，cab=ocb。caobco。，即oc2=oaob。tancao=tancad=，ao=2oc。又ab=10，oc2=2oc（102oc）。co0，co=4，ao=8，bo=2。a（8，0），b（2，0），c（0，4）。抛物线过点a，b，c三点，=4，由题意得：，解得：。抛物线的解析式为：。设直线dc交轴于点f，aocadc（aas）。ad=ao=8。ocad，focfad。8（bf+5）=5（bf+10）。bf=，f（，0）。设直线dc的解析式为，则，解得：。直线dc的解析式为。由 得顶点e的坐标为（3，），将e（3，）代入直线dc的解析式中，右边=左边。抛物线顶点e在直线cd上。（3）存在，p1（10，6），p2（10，36）。【考点】二次函数综合题，圆的切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）连接oc，由cd是o的切线，可得occd，则可证得ocad，又由oa=oc，则可证得cad=cab。（2）首先证得caobco，根据相似三角形的对应边成比例，可得oc2=oaob，又由tancao=tancad=，则可求得co，ao，bo的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。首先证得focfad，由相似三角形的对应边成比例，即可得到f的坐标，求得直线dc的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案。（3）根据题意分别从pbac与pabc去分析求解即可求得答案：当pbac时，由a、c两点坐标求得ac的表达式：，则设pb的表达式为，把b（2，0）代入，求得，得pb的表达式：，与联立，即可求得p点的坐标p1（10，6）。当pabc时，由b、c两点坐标求得bc的表达式：，则设pb的表达式为，把a（8，0）代入，求得，得pb的表达式：，与联立，即可求得p点的坐标p2（10，36）。7.（湖北黄冈、鄂州14分）如图所示，过点f（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于m（x1，y1）和n（x2，y2）两点（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分别过m，n作直线l：y=1的垂线，垂足分别是 m1和n1判断m1fn1的形状，并证明你的结论（4）对于过点f的任意直线mn，是否存在一条定直线 m，使m与以mn为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由【答案】解：（1）直线y=kx+b过点f（0，1），b=1。（2）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于m（x1，y1）和n（x2，y2）两点，可以得出：kx+b=x2，整理得：x24kx4=0。x1x2=4。（3）m1fn1是直角三角形（f点是直角顶点）。理由如下：设直线l与y轴的交点是f1，则fm12=ff12+m1f12=x12+4，fn12=ff12+f1n12=x22+4，m1n12=（x1x2）2=x12+x222x1x2=x12+x22+8，fm12+fn12=m1n12。m1fn1是以f点为直角顶点的直角三角形。（4）存在，该直线为y=1。理由如下：直线y=1即为直线m1n1。如图，设n点横坐标为m，则n点纵坐标为计算知nn1=nf=，得nn1=nf。同理mm1=mf。mn=mm1nn1。作梯形mm1n1n的中位线pq，由中位线性质知pq=（mm1nn1）=mn，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和逆定理，梯形的中位线性质，直线与圆的位置关系。【分析】（1）把点f的坐标代入直线可以确定b的值。（2）联立直线与抛物线方程，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1x2的值。（3）确定m1，n1的坐标，利用勾股定理，分别求出m1f2，n1f2，m1n12，然后用勾股定理逆定理判断三角形的形状。（4）根据题意由梯形的中位线性质，可知y=1总与该圆相切。8.（湖北荆门12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形oabc与cdef的边oc、oa所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（o、c、f三点在x轴正半轴上）.若p过a、b、e三点(圆心在轴上)，抛物线经过a、c两点，与轴的另一交点为g，m是fg的中点，正方形cdef的面积为1.（1）求b点坐标；（2）求证：me是p的切线；（3）设直线ac与抛物线对称轴交于n，q点是此对称轴上不与n点重合的一动点，求acq周长的最小值；若fq，sacq，直接写出与之间的函数关系式.【答案】解：（1）如图，连接pe、pb，设pc，正方形cdef面积为1，cdcf1。根据圆和正方形的对称性知oppc，bc2pc2。而pbpe，。解得 (舍去) 。bcoc2。 b点坐标为。（2）如图，由（1）知a，c，a，c在抛物线上，。抛物线的解析式为，即。抛物线的对称轴为即ef所在直线。c与g关于直线对称，cffg1、fmfg。在rtpef与rtemf中， ，pefemf 。epffem，pempef+fempef+epf90。me与p相切。（3）如图，延长ab交抛物线于a，连接ca交对称轴于q，连接aq，则有aqaq，acq周长的最小值为（ac+ ac）的长。a与a关于直线对称，a，a。ac。而ac= ，acq周长的最小值为。当q点在f点上方时，； 当q点在线段fn上时，；当q点在n点下方时，。 【考点】二次函数综合题，圆和正方形的性质，勾股定理，曲线上点的坐标 与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直线和圆相切的判定，轴对称和中心对称的性质。【分析】（1）如图甲，连接pe、pb，设pc=，由正方形cdef的面积为1，可得cd=cf=1，根据圆和正方形的对称性知：op=pc=，由pb=pe，根据勾股定理即可求得的值，从而求得b的坐标。（2）由（1）知a（0，2），c（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得fm的长，则可得pefemf，则可证得pem=90，即me是p的切线。（3）如图乙，延长ab交抛物线于a，连ca交对称轴于q，连接aq，则有aq=aq，acq周长的最小值为ac+ac的长，利用勾股定理即可求得acq周长的最小值。分别当q点在f点上方，在线段fn上时，在n点下方时去分析即可求得答案：当q点在f点上方时，如上图，=saofqsaocsqcf =（+2）3221=1；当q点在线段fn上时，如右图，=sahqsaocsocqh =（+2）322（23）=1；当q点在n点下方时，如右图，=saqisaifcscfq =（+2）3（13）21=1。9.（湖北孝感14分）如图（1），矩形abcd的一边bc在直接坐标系中轴上，折叠边ad，使点d落在轴上点f处，折痕为ae，已知ab=8，ad=10，并设点b坐标为（），其中.（1）求点e、f的坐标（用含的式子表示）；（5分）（2）连接oa，若oaf是等腰三角形，求的值；（4分）（3）如图（2），设抛物线经过a、e两点，其顶点为m，连接am，若oam=90，求、的值.（5分） 图（1） 图（2）【答案】解：（1）四边形abcd是矩形，ad=bc=10，ab=dc=8，d=dcb=abc=90。由折叠对称性：af=ad=10，fe=de在rtabf中，bf=6，fc=4.。设ef=，则ec=8在rtecf中，42（8）2=2 解得=5。ce=8=3。b（，0），e（10，3），f（6，0）。（2）分三种情形讨论：若ao=af，abof ob=bf=6 =6 若of=af，则+6=10 解得=4若ao=of，在rtaob中，ao2=ob2ab2=264（6）2=264 解得=。综上所述，=6或4或 。（3）由（1）知a（，8），e（10，3）依题意得 。m（+6，1） 设对称轴交ad于g，g（6，8）。ag=6，gm=8（1）=9。oab+bam=90，bam+mag=90，oab=mag。又abo=mga=90，aobamg。，即 。=12 【考点】二次函数综合题，矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据四边形abcd是矩形以及由折叠对称性得出af=ad=10，ef=de，从而求出bf的长，即可得出e，f点的坐标。（2）分三种情况讨论：若ao=af，of=fa，ao=of，利用勾股定理求出即可。（3）由e（10，3），a（，8），代入二次函数解析式得出m点的坐标，再利用aobamg，求出的值即可。10.（湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于a，b两点，点c为ob的中点，点d在第二象限，且四边形aocd为矩形（1）直接写出点a，b的坐标，并求直线ab与cd交点的坐标；（2）动点p从点c出发，沿线段cd以每秒1个单位长度的速度向终点d运动；同时，动点m从点a出发，沿线段ab以每秒个单位长度的速度向终点b运动，过点p作phoa，垂足为h，连接mp，mh设点p的运动时间为秒若mph与矩形aocd重合部分的面积为1，求的值；点q是点b关于点a的对称点，问bp+ph+hq是否有最小值，如果有，求出相应的点p的坐标；如果没有，请说明理由【答案】解：（1）a（3，0），b（0，4）。当时，所以直线ab与cd交点的坐标为。（2）当0时，mph与矩形aocd重合部分的面积即mph的面积。过点m作mnoa，垂足为n，由amnabo，得，。an=。mph的面积为。当时，。当时，mph与矩形aocd重合部分的面积即mph的面积。过点m作mnoa，垂足为n，同上可得，an=。mph的面积为。当时，。与不合。当3时，设mh与cd相交于点e，mph与矩形aocd重合部分的面积即peh的面积。过点m作mgao于g，mfhp交hp的延长线于点f。fm=agah=amcosbao（aoho）=，hf=gm=amsinbao =。由hpehfm，得，。pe=。peh的面积为。当时，。综上所述，若mph与矩形aocd重合部分的面积为1，为1或。（3）bp+ph+hq有最小值。理由如下：连接pb，ch，则四边形phcb是平行四边形bp=ch。bp+ph+hq=ch+hq+2当点c，h，q在同一直线上时，ch+hq的值最小。点c，q的坐标分别为（0，2），（6，4），直线cq的解析式为。 点h的坐标为（2，0）。因此点p的坐标为（2，2）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）令=0求得的值可得a的坐标，令=0求得的值可得b的坐标。令=2可得交点的坐标。（2）分0，3三种情况讨论即可。（3）当点c，h，q在同一直线上时，ch+hq的值最小，利用平行四边形的性质得出即可。12.（湖北恩施12分）如图，在平面直角坐标系中，直线ac：与轴交于点a，与轴交于点c，抛物线过点a、点c，且与轴的另一交点为b（0，0），其中00，又点p是抛物线的对称轴l上一动点（1）求点a的坐标，并在图1中的l上找一点p0，使p0到点a与点c的距离之和最小；（2）若pac周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点n的坐标；（3）如图2，在线段co上有一动点m以每秒2个单位的速度从点c向点o移动（m不与端点c、o重合），过点m作mhcb交轴于点h，设m移动的时间为t秒，试把p0hm的面积s表示成时间t的函数，当t为何值时，s有最大值，并求出最大值；（4）在（3）的条件下，当s=时，过m作轴的平行线交抛物线于e、f两点，问：过e、f、c三点的圆与直线cn能否相切于点c？请证明你的结论（备用图图3）【答案】解：（1）在中，令=0得，= -6,即 (6，0) 如图，连接cb与直线交于点为所作。 （2）由（1）知，的周长最小，得,又,故， 因此，即。将 (6，0)，代入，得，解得。抛物线的解析式为-。配方得-，顶点n的坐标为。（3）如图，连接ch,由题设得，又由obc三cmn，得，得，=-，04。当t=2时，面积的最大值为10。 （4）当时，过e、f、c三点的圆与直线cn能相切于点c. 此时圆心坐标为。证明如下：如图3，若过e、f、c三点的圆与直线cn相切于c，则,设，得。又设，由及点e在抛物线上,得 由（-），得- ，将代入，解得或（舍去）。-，即。此时满足。当时，过e、f、c三点的圆与直线cn相切于点c。【考点】二次函数综合题，对称的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆切线的判定。【分析】（1）由题意a、b点关于抛物线对称，则bc所在直线与对称轴的交点即为p0。（2）由（1）所求可知该题周长最小即为 ac+bc的长，从而求出抛物线的解析式及顶点n的坐标。（3）由obc三cmn，得到高关于t的式子，根据t的取值范围，从而求得s的最大值。（4）假设过e、f、c三点的圆与直线cn相切于点c，求出此时的圆心坐标即可。