矩母函数PPT课件

条件期望 矩母函数 山东财经大学保险学院谭璐 现代精算风险理论 主要内容 一 条件期望二 混合分布三 矩母函数四 特征函数 现代精算风险理论 一 条件期望 给定变量Y时 在X上的概率分布对Y的每个可能取值 对X都定义有一个概率分布也能求期望 称为条件期望 现代精算风险理论 数字 y的函数 在知道y的值之前 不知道 随机变量 当Y y时 的值 随机变量 现代精算风险理论 假定对采样 在给定x后 在对采样直观地 期望事实上 对 有得到期望因而注意 是随机变量 当时 其值为思考题 当X与Y独立时 的值 现代精算风险理论 定理 对随机变量X和Y 假设其期望存在 则更一般地 对任意函数证明 利用条件期望的定义和 与Y有关的随机变量 现代精算风险理论 怎样计算 一种方法是计算联合密度 然后计算另一种更简单的方法是分两步计算计算计算 现代精算风险理论 条件方差 定义 条件方差定义为其中定理 对随机变量X和Y 现代精算风险理论 现代精算风险理论 在给定X的情况下 条件分布为 Y为随机变量 因此上式中 为常数 因此 所以 现代精算风险理论 二 混合分布 在一个分布族中 分布族由一个 一些参数决定 如 这些参数通常又是一个随机变量 贝叶斯学派的观点 参数也是随机变量 则最终的分布称为混合分布 mixturedistribution 渐增式地定义一个复杂的模型 通过条件分布与边缘分布希望知道 至少是其期望和均值 条件期望和方差 现代精算风险理论 混合分布举例 例 假设昆虫会产很多数量的蛋 蛋的数量为一个随机变量 用表示 另外假设每个蛋的是否存活是独立的 存活的概率为p 为Bernoulli分布 用X表示存活的数量 则 现代精算风险理论 期望 亦可通过条件期望计算 方差 亦可通过条件期望计算 现代精算风险理论 矩母函数的得名起因于下述公式 E Xk M k 0 对于非负随机变量X来说 习惯上做一变换s t LX s MX t 通常称上式为X的laplace变换 三 矩母函数 MomentGeneratingFunctions 现代精算风险理论 拉式变换与概率分布函数 定理 一函数L s s 0 是某一分布函数的Laplace变换的充要条件为L 0 1 无穷次可导 且满足 1 nL n s 0 s 0 n 0 现代精算风险理论 矩母函数 MomentGeneratingFunctions 矩母函数 用于计算矩 随机变量和的分布和定理证明定义 X的矩母函数 MGF 或Laplace变换定义为其中t在实数上变化 若MGF是有定义的 可以证明可以交换微分操作和求期望操作 所以有 取k阶导数 可以得到 方便计算分布的矩 现代精算风险理论 矩母函数 MomentGeneratingFunctions 定义 X是离散型r vX是连续型r v 矩母函数与分布间的一一对应 唯一性定理 如果 MX MY 在 的某个区间上成立 则随机变量X与Y同分布 现代精算风险理论 现代精算风险理论 X的矩母函数可以变形为 于是 矩母函数与随机变量X的各阶矩 现代精算风险理论 另一方面 于是 现代精算风险理论 性质1 例 从而 现代精算风险理论 再考虑 于是 现代精算风险理论 而 从而 特别 性质2 设X Y是相互独立的随机变量 则 现代精算风险理论 证明 系 设X1 Xn是独立随机变量 则 例 设Z1 Z2是相互独立的标准正态分布随机变量 则 现代精算风险理论 证明 设z是标准正分布的随机变量 当 1 2时 作变换 于是 现代精算风险理论 另一方面 的密度函数为 其矩母函数为 现代精算风险理论 令 对任意 有当时 上述积分是发散的 所以 现代精算风险理论 矩母函数的性质 引理 MGF的性质若 则若独立 且 则例 现代精算风险理论 矩母函数的性质 定理 令X Y为随机变量 如果对在0附件的一个开区间内所有的t 有 则 例 令且独立 则为分布的MGF 即 现代精算风险理论 多元矩母函数 定义 性质1 性质2 现代精算风险理论 是虚数单位 四 特征函数 定义设X是一随机变量 称 t E exp itX 为X的特征函数 现代精算风险理论 1 当X为离散随机变量时 2 当X为连续随机变量时 现代精算风险理论 1 欧拉公式 2 复数的共轭 3