一元二次方程课件ppt

一元二次方程 教学目标 一元二次方程概念解一元二次方程的方法一元二次方程应用题 一元二次方程概念 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 一元二次方程概念 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是2 二次 的整式方程 叫做一元二次方程 一元二次方程特点 1 都只含一个未知数x 2 它们的最高次数都是2次的 3 都有等号 是方程 一元二次方程的一般形式 任何一个关于x的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成后 其中ax2是二次项 a是二次项系数 bx是一次项 b是一次项系数 c是常数项 例1 将方程 8 2x 5 2x 18化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项系数 一次项系数及常数项 分析 一元二次方程的一般形式是ax2 bx c 0 a 0 因此 方程 8 2x 5 2x 18必须运用整式运算进行整理 包括去括号 移项等 解 去括号 得 40 16x 10 x 4x2 18移项 得 4x2 26x 22 0其中二次项系数为4 一次项系数为 26 常数项为22 例2 学生活动 请二至三位同学上台演练 将方程 x 1 2 x 2 x 2 1化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 分析 通过完全平方公式和平方差公式把 x 1 2 x 2 x 2 1化成ax2 bx c 0 a 0 的形式 解 去括号 得 x2 2x 1 x2 4 1移项 合并得 2x2 2x 4 0其中 二次项2x2 二次项系数2 一次项2x 一次项系数2 常数项 4 应用拓展求证 关于x的方程 m2 8m 17 x2 2mx 1 0 不论m取何值 该方程都是一元二次方程 分析 要证明不论m取何值 该方程都是一元二次方程 只要证明m2 8m 17 0即可 证明 m2 8m 17 m 4 2 1 m 4 2 0 m 4 2 1 0 即 m 4 2 1 0 不论m取何值 该方程都是一元二次方程 本节课要掌握 1 一元二次方程的概念 2 一元二次方程的一般形式 和二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项的概念及其它们的运用 第二课时 1 一元二次方程根的概念 2 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 一元二次方程的根 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别 我们称 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 直接开平方法 形如的方程可以用直接开平方法解 两边直接开平方得或者 注意 若b 0 方程无解 例题 将方程左边配成完全平方式 得到的方程是 A B C D 因式分解法 一般步骤如下 将方程右边得各项移到方程左边 使方程右边为0 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 令每个因式分别为零 得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 他们的解就是原方程的解 例题 解方程 配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤 二次项系数化为1 方程两边都除以二次项系数 移项 使方程左边为二次项与一次项 右边为常数项 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方 把方程化为的形式 用直接开平方法解变形后的方程 注意 当时 方程无解 例题 将方程配方后 原方程变形为 A B C D 公式法 一元二次方程的求根公式 一般步骤 将方程化为一般形式 确定方程的各系数a b c 计算的值 当 将a b c以及的值代入求根公式 得出方程的根 注意 当时 方程无解 公式法是解一元二次方程的万能方法 利用的值 可以不解方程就能判断方程根的情况 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式 当 0时 方程有两个不相等的实数根 当 0时 方程有两个相等的实数根 当 0时 方程没有实数根 韦达定理 根与系数关系 1 我们将一元二次方程化成一般式ax2 bx c 0之后 设它的两个根是和 则和与方程的系数a b c之间有如下关系 可以由公式法解一元二次方程的两个根证明 实根与虚根 2 如果方程x2 px q 0的两个根是x1 x2 那么x1 x2 P x1x2 q 3 以x1 x2为根的一元二次方程 二次项系数为1 是x2 x1 x2 x x1x2 0 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题 其步骤和二元一次方程组解应用题类似 审 弄清楚已知量 未知量以及他们之间的等量关系 设 指设元 即设未知数 可分为直接设元和间接设元 列 指列方程 找出题目中的等量关系 再根据这个关系列出含有未知数的等式 即方程 解 就是求出说列方程的解 答 就是书写答案 检验得出的方程解 舍去不符合实际意义的方程 1 下列式子哪些是方程 2 3 53x 25x 3 18x 2y 5 没有未知数 不是等式 含有未知数的等式叫方程 含有未知数的等式叫方程 不是等式 方程的本质特征是什么 2 我们学过哪些方程 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 3 什么叫一元一次方程 方程的 元 和 次 是什么意思 只含有一个未知数 并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程 一元 一次 问题1 绿苑小区住宅设计 准备在每两幢楼房之间 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地 并且长比宽多10米 那么绿地的长和宽各为多少 问题1 绿苑小区住宅设计 准备在每两幢楼房之间 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地 并且长比宽多10米 那么绿地的长和宽各为多少 x x 10 问题1 绿苑小区住宅设计 准备在每两幢楼房之间 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地 并且长比宽多10米 那么绿地的长和宽各为多少 解 设长方形绿地的宽为x米 则长为 x 10 米 可得方程 设未知数 长 宽 面积相等关系 x x 10 900 去年底 5 今年底 5 5x 5 1 x 明年底 5 1 x 5 1 x x 5 1 x 1 x 5 1 x 2 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册 预计到明年年底增加到7 2万册 求这两年的年平均增长率 解 设这两年的年平均增长率为x 根据题意得方程 5 1 x 2 7 2 注意 每年都是在上一年的基础上增长 整理得 x2 10 x 900 0 1 5x2 10 x 2 2 0 2 特征 1 都是整式方程 2 只含有一个未知数 3 未知数的最高次数是2 概括 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程通常可写成如下的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 特征 方程的左边按x的降幂排列 右边 0 练习 下列方程中哪些是一元二次方程 试说明理由 不是 是 不是 不是 讨论 为什么二次项系数a不能为0 假如a 0会出现什么情况 b c能不能为0 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 a 0 一元二次方程的项和各项系数 练习1 指出下列一元二次方程的二次项系数 一次项系数和常数项 2 1 3 3 0 5 1 3 0 2 将下列一元二次方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项系数 一次项系数和常数项 3x2 1x 2 0 2x2 7x 3 0 1x2 5x 0 0 2x2 5x 11 0 友情提示 某一项的系数包括它前面的符号 拓展练习 1 关于x的方程ax2 2bx a 2x2 在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件下此方程为一元一次方程 解 移项 ax2 2bx a 2x2 0 合并同类项 a 2 x2 2bx a 0 所以 当a 2时是一元二次方程 当a 2 b 0时是一元一次方程 2 已知关于x的一元二次方程 m 1 x2 3x 5m 4 0有一根为2 求m 什么叫方程的根 能够使方程左右两边相等的未知数的值 叫方程的根 解 把x 2代入原方程得 m 1 22 3 2 5m 4 0解这个方程得 m 6 3 已知关于x的方程是一元二次方程 求m的值 分析 因为方程是一元二次方程 故未知数x的最高次数 m 1 2 解之得 m 1或m 1 又因二次项系数m 1 0 即m 1 所以m 1 温馨提示 注意陷井二次项系数a 0 若x 1是关于x的一元二次方程x2 3mx n 0的解 则6m 2n 已知关于x的方程 k2 1 x2 k 1 x 2 0 1 当k取何值时 此方程为一元一次方程 并求出它的根 2 当k取何值时 此方程为一元二次方程 写出这个方程的二次项系数 一次项系数和常数项 二次函数y ax2的图象和性质 知识回顾 1 二次函数的一般形式是怎样的 y ax bx c a b c是常数 a 0 探究新知 你会用描点法画二次函数y x2的图象吗 观察y x2的表达式 选择适当x值 并计算相应的y值 完成下表 9 4 1 1 0 4 9 描点 连线 y x2 二次函数y x2的图象形如物体抛射时所经过的路线 我们把它叫做抛物线 这条抛物线关于y轴对称 y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 议一议 2 图象与x轴有交点吗 如果有 交点坐标是什么 4 当x0呢 3 当x取什么值时 y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的 观察图象 回答问题 1 图象是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 请你找出几对对称点 当x 0 在对称轴的左侧 时 y随着x的增大而减小 当x 0 在对称轴的右侧 时 y随着x的增大而增大 抛物线y x2在x轴的上方 除顶点外 顶点是它的最低点 开口向上 并且向上无限伸展 当x 0时 函数y的值最小 最小值是0 1 二次函数y x2的图象是什么形状 做一做 你能根据表格中的数据作出猜想吗 2 先想一想 然后作出它的图象 3 它与二次函数y x2的图象有什么关系 在学中做 在做中学 x y 0 4 3 2 1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 2 1 描点 连线 y x2 当x 0 在对称轴的左侧 时 y随着x的增大而增大 当x 0 在对称轴的右侧 时 y随着x的增大而减小 y 抛物线y x2在x轴的下方 除顶点外 顶点是它的最高点 开口向下 并且向下无限伸展 当x 0时 函数y的值最大 最大值是0 1 抛物线y ax2的顶点是原点 对称轴是y轴 2 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 3 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴右侧 y随着x的增大而增大 当x 0时函数y的值最小 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x增大而减小 当x 0时 函数y的值最大 二次函数y ax2的性质 归纳 做一做 1 抛物线y 2x2的顶点坐标是 对称轴是 在对称轴侧 y随着x的增大而增大 在对称轴侧 y随着x的增大而减小 当x 时 函数y的值最小 最小值是 抛物线y 2x2在x轴的方 除顶点外 2 抛物线在x轴的方 除顶点外 在对称轴的左侧 y随着x的 在对称轴的右侧