2017年全国高中数学联赛模拟试题17.doc

2017年全国高中数学联赛模拟试题17第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1若对任意均有，则实数的取值范围是 解：2已知，则的最小值为 解：（利用函数单调性），等号当且仅当时等号成立，所以的最小值为23用表示不超过的最大整数.则等于 解：，所以4已知则 解：，所以5在正方体中，已知棱长为1，点在上，点在上，.则三棱锥的体积为 解：如图，作,连接交于点三棱锥的体积为6已知等腰直角PQR的三个顶点分别在等腰直角ABC的三条边上，记PQR，ABC的面积分别为SPQR，SABC，则的最小值为 解：（1）当的直角顶点在的斜边上，则四点共圆，所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.过作于，则,所以,此时的最小值为.（2）当的直角顶点在的直角边上，如图所示，设,则 在中，在中，,由正弦定理, ，因此.这样，当且仅当取等号，此时的最小值为.7设为抛物线上的一个动点，过作抛物线的切线与交于点在两点处的切线交于点，则点的轨迹方程是 8选择集合的两个不同的非空子集和则使中最小数大于中最大数的概率是 设A中的最大数为k，其中,整数3，则A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的个数为：， B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：，从而集合对(A，B)的个数为，所以所有满足A中最大数小于B中最小数的集合对(A，B)的个数为而所有的集合对(A，B)的个数为所以使中最小数大于中最大数的概率是二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆E有且只有一个公共点M，且交轴于点P，过点M作垂直于的直线交 轴于点.求证：五点共圆.（略）10.（本小题满分20分）已知函数，为正实数，且，证明： （略）11.（本小题满分20分）.已知数列满足证明:证明：因为， 所以 又，所以. 所以.因此2017年全国高中数学联赛模拟试题17加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）已知数列满足，(I) 证明：是正整数数列；(II) 是否存在，使得，并说明理由（）由得，（1）同理可得，（2），由（1）（2）可知，为方程的两根，又，即有，即 因为所以为正整数. （）不存在，使得.假设存在，使得，则.一方面，所以,即，所以.由费马小定理知，所以，另一方面，.事实上，假设，则，即，所以，而，这样得到.矛盾. 所以，由费马小定理得.这样得到.矛盾.所以不存在，使得 二、（本小题满分40分）如图，在等腰中，为内一点，满足 边的中垂线与的外角平分线交于点，边的中垂线与的外角平分线交于点. 证明： 四点共圆.三、（本小题满分50分）设为大于的素数，证明：（1）至少含有一个不同于的素因子；（2）设，其中是互不相同的素数，为正整数，则.四、（本小题满分50分）设是非空有限集合， 是的个子集，满足下列条件： (1) ; (2) 中任意一个元素属于中的至少4个集合.证明：可从中选出个集合，使得它们的并集为.解：令.现依次选定集合，使得这些集合的并集的元素个数每次递增3个，选出所有这样的集合后，不妨设，又设，其中.因为已是满足以上性质的最大集合，则对于剩下的任意集合，有.类似地，在集合中依次选定集合，使得这些集合的并集的元素个数每次递增2个，不妨设这些集合全部被选出，则有，且；同理，对于剩下的任意集合，有.类似地，以及，注意到，且即为上述选定集合所满足的关系，现说明.注意到中的每一个元