2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质学案新人教A版.docx

21等式性质与不等式性质1会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系2掌握不等式的有关性质3能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明1两个实数大小的比较如果ab是正数，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是负数，那么abab0，abab0，ababb，那么ba；如果bb.即abbb，bc，那么ac.即ab，bcac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb，cd，那么acbd.(6)如果ab0，cd0，那么acbd.(7)如果ab0，那么anbn(nN，n2)温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件(2)要注意每条性质是否具有可逆性1若ab，且ab0，则与的大小关系如何？答案因为ab0，所以a与b同号而，又ab，所以ba0.所以0，即b，则acbc一定成立()(3)若acbd，则ab，cd.()(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的()答案(1)(2)(3)(4)题型一用不等式(组)表示不等关系【典例1】商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？思路导引根据“利润销售量单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式解若提价后商品的售价为x元，则销售量减少10件，因此，每天的利润为(x8)10010(x10)元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x8)10010(x10)300.在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组针对训练1如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(ab)的不等式表示为_答案(a2b2)ab2你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m的免票，身高1.21.5 m的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m的儿童买全价票你能用不等式表示这些规定吗？解设身高为h m，文字表述身高不足1.2 m身高在1.21.5 m间身高超过1.5 m符号表示h1.5票价免费半价票全价票题型二数(式)的大小比较【典例2】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x23与3x；(2)已知a，b均为正数，且ab，比较a3b3与a2bab2的大小思路导引我们知道，ab0ab，ab0a0，x233x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)a0，b0且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差变形定号结论(2)变形的方法：因式分解；配方；通分；分母或分子有理化；分类讨论针对训练3已知x，y均为正数，设m，n，比较m和n的大小解mn.又x，y均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20.mn0，即mn(当xy时，等号成立)4设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号.题型三利用不等式的性质判断或证明不等式【典例3】(1)对于实数a，b，c，给出下列命题：若ab，则ac2bc2；若ababb2；若ab，则a2b2；若ab.其中正确命题的序号是_(2)已知ab，ef，c0.求证：facac，再由性质5证明解析(1)对于c20，只有c0时才成立，不正确；对于，abab；abb2，正确；对于，若0ab，则a22，但(1)2(2)2，不正确；对于，abb0，(a)2(b)2，即a2b2.又ab0，0，a2b2，正确(2)证明：ab，c0，acbc，acbc.fe，fac0.求证：.证明bcad0，adbc，bd0，11，.6若ab0，cd0，e.证明cdd0，又ab0，acbd0，则(ac)2(bd)20，即.又e.题型四利用不等式的性质求取值范围【典例4】已知1a4,2b8.试求2a3b与ab的取值范围思路导引欲求ab的范围，应先求b的范围，再利用不等式的性质求解解1a4,2b8，22a8,63b2482a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故82a3b32，7ab2.变式(1)在本例条件下，求的取值范围(2)若本例改为：已知1ab5，1ab3，求3a2b的范围解(1)2b8，又1a4，2.(2)设xab，yab，则a，b，1x5，1y3，3a2bxy.又x，y，2xy10.即23a2b10.同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性针对训练7已知，求、的取值范围解，.两式相加得.，两式相加得.又，0，0.课堂归纳小结1作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键2在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.1下列说法正确的为()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2解析，且x0，y0，两边同乘以xy，得xy.答案A2设a，b为非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2Bab2a2bCDb，b0，则1；若ab，且acbd，则cd；若ab，且acbd，则cd.A0 B1 C2 D3解析若a2，b1，则不符合；取a10，b2，c1，d3，虽然满足ab且acbd，但不满足cd，故错；当a2，b3，取c1，d2，则不成立答案A4若x2或y1，Mx2y24x2y，N5，则M与N的大小关系为_解析x2或y1，MNx2y24x2y5(x2)2(y1)20，MN.答案MN5若1a3,1b2，则ab的范围为_解析1a3，2b1，3ab2.答案3ab2课后作业(十)复习巩固一、选择题1李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A30x60400 B30x60400C30x60400 D30x40400解析x月后他至少有400元，可表示成30x60400.答案B2已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是()AadbcBacbdCacbdDacbd解析由ab，cd得acbd，故选C.答案C3设a3x2x1，b2x2x，则()AabBab，cb，则acB若ab，则cab，cD若a2b2，则ab0，c0b0时才可以否则如a1，b0时不成立，故选B.答案B5若11，则下列各式中恒成立的是()A20 B21C10 D11解析由11，11，得11，22.又，故知23v37若xR，则与的大小关系为_解析0，.答案8已知不等式：a0b；ba0；b0a；0ba；b0；ab且ab0.其中能使成立的是_解析因为0ba与ab异号，然后再逐个进行验证，可知都能使0，b0，求证：ab.证明ab(ab).(ab)20恒成立，且a0，b0，ab0，ab0.0.ab.10已知12a60,15b36，求ab，的取值范围解15b36，36b15，1236ab6015.24ab45.又，.b，则()AacbcBb2Da3b3解析A选项中，若c0则不成立；B选项中，若a为正数b为负数则不成立；C选项中，若a，b均为负数则不成立，故选D.答案D12若abc且abc0，则下列不等式中正确的是()AabacBacbcCa|b|c|b| Da2b2c2解析由abc及abc0知a0，c0，bc，abac.答案A13已知a、b为非零实数，且ab，则下列命题成