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第二章 导数与微分 教学目标1理解导数和微分的概念。2了解导数与微分的几何意义及高阶导数的概念，导数的可异性与连续性的关系。3知道微分形成的不变性及一些近似计算公式。4熟练掌握导数与微分的运算法则及基本公式，能熟练求出初等函数的一二阶导数。5掌握隐函数与参数方程所确定函数的一阶导数的求导方法。6会用导数与微分解决一些简单实际问题。知识点、重点归纳1本章的知识点是：导数与微分的定义及意义，导数与微分的运算公式及法则；反函数、隐函数、参数方程的求导法则及高阶导数的含义、导数与微分的应用。2本章重点内容：导数与微分的概念及意义，初等函数求导公式及法则，尤其是复合函数求导法则。3学习建议：在上一章极限的基础上，来理解导数的概念，导数也是极限，是函数增量与自变量增量比的极限，可简记为一差，二比，三极限（）；必须熟记求导公式及法则，而复合函数的求导是本章的关键所在，求导过程中，要搞清复合的过程，逐层求导，一求到底；对隐函数的导数，记住y是x的函数，一般是方程两边对x求导，再解出;参数方程的导数，把参数看成中间变量，两个变量y、x分别对参数t求导再比；求微分有两种方法：微分形式不变形性；导数的应用在下一章有进一步阐述，本章要求理解导数是反映函数变化率的问题，会用导数来求切、法线方程，微分的应用体现在求函数增量的近似值、函数值的近似值以及进行误差估计。综合测试题（一）选择题1若（）式所示的极限存在，则称在x=0处的导数存在。A. B.C. D.2平均变化率是（）。A只与x有关的 B只与有关的C与x及都有关的 D与x和都无关的3函数在x=0点（）。A连续且可导 B不可导C不连续 D连续但不可导4已知直线y=x与对数曲线相切，那么a的值是（）。Ae BC D5是下列（）中函数的导数。A BC D6函数在x=1处（）。A连续且可导 B连续不可导 C既不连续也不可导 7函数在处左右导数存在是该函数在处导数存在的（）条件。A充分 B必要C充要8设，若a是（）时，函数在点可微。A无穷小 B关于的无穷小C关于的同阶无穷小 D关于的高阶无穷小9已知，则。A B C D10已知，则。A BC D（二）判断正误1若在处不可导，则在处必不连续。（）2如果函数处处可导，则曲线处处有切线。（）3如果存在，则存在。（）4函数的导数等于。（）5若在处可导，则在处必有定义。（）6若，则曲线在该点处的切线平行于x轴。（）7若，则。8二阶导数表示一阶导数的变化率。（）9若，则是一个18次多项式。（）10基本初等函数在其定义区间内必然是处处可导可微。（）（三）填空题1设存在，则。2设可导，则。3函数在的改变量于微分之差。4已知，则。5是单调连续函数的反函数，且，则。6若在处可导，则。7设可导，则。8设，则表示函数在区间上的（），反映函数在处（）。9设，则。10当x满足（）时，曲线上切线的倾斜角为锐角。（四）求下列函数导数1 23 45（五）计算1求的二阶导数2求的微分3计算的近似值4求参数方程的导数（六）有一圆柱，高为25厘米，半径为厘米，试求这圆柱的体积的相对误差及圆柱侧面积的相对误差。参考答案应用与实践1、一飞机在地平面上空2公里处作水平飞行，速度为每小时200公里，机是上观测器瞄准前方某地面目标进行摄影，问当俯角为900时，观测器转动的角速度为多少？2、有一底半径为厘米、高为厘米的正圆锥形容器，以每秒立方厘米的速率往容器中倒水，试求容器内水位等于锥高一半时，水面的上升速度。3、有一梯子长10米，上端靠墙面，下端着地，当梯子下端沿着垂直墙面的方向远离墙角时，梯子上端沿墙面垂直向下滑落。当梯子下端位于离墙角6米处以2米/分垂直墙面离开墙角时，问梯子上端沿墙面垂直向下滑落的速度是多少？参 考 答 案1、设时飞机的投影与地面目标的距离为公里，观测器俯角为，则。求导得，。已知公里/小时，负号表示是减少的。当=900时，。此时观测器转动的角速度为弧度/小时=度/秒。2、设在某时刻时，容器中水高为，则此时水的体积，所以。这就确定了水的高度与时间的关系。水面的上升速度就是关于时间的变化率，也就是。对上式两端关于求导数，得。当时，得，这就是容器内水位等于锥高一半时，水面的上升速度。3、当梯子下端沿着垂直墙面的方向远离墙角时，设时间为分时，梯子上端与地面的垂直距离为米，梯子下端与墙面的垂直距离是米，则梯子上端沿墙面垂直向下滑落的速度为，梯子下端沿着