2010年7月自考线性代数(经管类)试卷及答案

啊啊 全国全国 20102010 年年 7 7 月高等教育自学考试月高等教育自学考试 线性代数 经管类 试题线性代数 经管类 试题 课程代码 课程代码 0418404184 说明 在本卷中 AT表示矩阵 A 的转置矩阵 A 表示矩阵 A 的伴随矩阵 E 是单位矩阵 A 表示方阵 A 的行列式 一 单项选择题一 单项选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未 选均无分 选均无分 1 设 3 阶方阵 A 1 2 3 其中 i i 1 2 3 为 A 的列向量 若 B 1 2 2 2 3 6 则 A C A 12B 6 C 6D 12 解析解析 i i 1 2 3 为 A 的列向量 3 行 1 列 2 计算行列式 A 3 2 3 2 0 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 A 180B 120 C 120D 180 解析 3 2 10 3 180 3 若 A 为 3 阶方阵且 A 1 2 则 2A C A B 2 2 1 C 4D 8 解析 23 A 8 1 2 4 4 设 1 2 3 4都是 3 维向量 则必有 B n 1 个个 n 维向量线性相关维向量线性相关 A 1 2 3 4线性无关B 1 2 3 4线性相关 C 1可由 2 3 4线性表示D 1不可由 2 3 4线性表示 5 若 A 为 6 阶方阵 齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系中解向量的个数为 2 则 r A C A 2B 3 n r A 解向量的个数解向量的个数 2 n 6 C 4D 5 6 设 A B 为同阶方阵 且 r A r B 则 C A 与与 B 合同合同 r A r B PTAP B P 可逆可逆 A A 与 B 相似B A B C A 与 B 等价D A 与 B 合同 7 设 A 为 3 阶方阵 其特征值分别为特征值分别为 2 1 0则 A 2E D A 所有特征值的积所有特征值的积 0 A 0B 2 A 2E 的特征值为的特征值为 2 2 1 2 0 2 即即 4 3 2 A 2E 4 3 2 C 3D 24 8 若 A B 相似 则下列说法错误的是 B A A 与 B 等价B A 与 B 合同 C A B D A 与 B 有相同特征值 A B 相似相似A B 特征值相同特征值相同 A B r A r B 若若 A B B C 则 则 A C 代表等价 代表等价 9 若向量 1 2 1 与 2 3 t 正交 则 t D 即即 1 2 2 3 1 t 0 t 4 T 0 A 2B 0 C 2D 4 10 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2 1 0 则 B 所有特征值都大于所有特征值都大于 0 正定 正定 A A 正定 B A 半正定 所有特征值都小于所有特征值都小于 0 负定 负定 C A 负定 D A 半负定 所有特征值都大于等于所有特征值都大于等于 0 半正定 同理半负定 其他情况不定 半正定 同理半负定 其他情况不定 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 11 设 A B 则 AB A 的每一行与的每一行与 B 的每一列对应相乘相加的每一列对应相乘相加 4 2 1 0 2 3 0 1 0 1 1 2 下标依次为行列 如下标依次为行列 如表示第二表示第二 3 22 03 1 2 13 12 0 0 2 1 00 1 1 00 1 1 0 2 24 02 14 12 14 0 653 010 422 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 21 a 行第一列的元素 行第一列的元素 A 为三行两列的矩阵即为三行两列的矩阵即 3 2 的矩阵 的矩阵 B 为为 2 3 的矩阵 则的矩阵 则 AB 为为 3 3 的矩阵 对的矩阵 对 应相乘放在对应位置应相乘放在对应位置 12 设 A 为3阶方阵 且 A 3 则 3A 1 33 A 1 27 9 1 A 13 三元方程 x1 x2 x3 1 的通解是 扩充为扩充为 再看答案 再看答案 123 2 3 1 000 000 xxx x x 14 设 1 2 2 则与 反方向的单位向量是 跟高中单位向量相同跟高中单位向量相同 15 设 A 为 5 阶方阵 且 r A 3 则线性空间 W x Ax 0 的维数是 16 设 A 为3阶方阵 特征值分别为 2 1 则 5A 1 同同 12 题题 2 1 17 若 A B 为 5 阶方阵 且 Ax 0 只有零解 且 r B 3 则 r AB 若矩阵若矩阵 A 的行列式的行列式 A 0 则 则 A 可逆 即可逆 即 A A 1 E E 为单位矩阵 为单位矩阵 Ax 0 只有零解只有零解 A 0 故 故 A 可逆可逆 若若 A 可逆 则可逆 则 r AB r B 3 同理若 同理若 C 可逆 则可逆 则 r ABC r B 18 实对称矩阵实对称矩阵 A 所对应的二次型 f x1 x2 x3 1 1 0 1 0 1 0 1 2 22 131223 222xxx xx x 实对称矩阵实对称矩阵 A 对应于对应于各项的系数各项的系数 2 11213 2 12223 2 13233 xx xx x x xxx x x xx xx 19 设 3 元非齐次线性方程组 Ax b 有解 1 2 且 r A 2 则 Ax b 的通解是 3 2 1 3 2 1 20 设 则 A T的非零特征值是 3 2 1 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 9 分 共分 共 54 分 分 21 计算 5 阶行列式 D 2 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 22 设矩阵 X 满足方程 X 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 1 0 2 3 4 1 求 X 23 求非齐次线性方程组 的通解 0895 4433 13 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 24 求向量组 1 1 2 1 4 2 9 100 10 4 3 2 4 2 8 的秩和一个极大无关组 25 已知 A 的一个特征向量 1 1 1 T 求 a b 及 所对应的特征值 并写出对应于这个特征 2 1 3 5 2 1 2 b a 值的全部特征