2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必修第一册.docx

54.3正切函数的性质与图象1会求正切函数ytan(x)的周期2掌握正切函数ytanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性3掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法正切函数ytanx的图象与性质解析式ytanx图象定义域值域R周期奇偶性奇单调性在开区间(kZ)内都是增函数温馨提示：(1)正切函数在每一个开区间(kZ)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数(2)正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k，0)，kZ，两线为直线xk和直线xk，其中kZ，这样可以快速地作出正切函数的图象1正切函数ytanx的图象与xk，kZ有公共点吗？直线ya与ytanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？答案没有正切曲线是由被互相平行的直线xk(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在整个定义域上是增函数()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值()(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心()答案(1)(2)(3)(4)题型一正切函数的定义域【典例1】求下列函数的定义域：(1)ytan；(2)y.思路导引(1)将x看成一个整体由正切函数ytanx的定义域为求解；(2)tanx0且tanx有意义解(1)由xk(kZ)得，xk，kZ，所以函数ytan的定义域为.(2)由tanx0且tanx有意义得xk且xk，kZ，即x，kZ，所以函数y的定义域为.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytanx有意义即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.针对训练1函数f(x)的定义域是_解析若使函数f(x)有意义，需使tanx10，即tanx1.tanx有意义，xk且xk，kZ，f(x)的定义域为.答案x|xk且xk，kZ题型二与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【典例2】(1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysinxtanx的奇偶性思路导引解(1)利用T，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f(x)与f(x)及f(x)的关系来判断奇偶性解(1)由正切函数的最小正周期，可得T.f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sinxtanxf(x)，它是奇函数正切型函数yAtan(x)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期(2)若函数yAtan(x)为奇函数，则k或k(kZ)，否则为非奇非偶函数(3)正切函数是奇函数，所以原点是ytanx的对称中心，同样，结合ytanx的图象，可以得到kZ都是正切函数的对称中心针对训练2关于x的函数f(x)tan(x)有以下几种说法：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；f(x)的图象关于对称；f(x)的图象关于(，0)对称；f(x)是以为最小正周期的周期函数其中不正确的说法的序号是_解析若取k(kZ)，则f(x)tanx，此时，f(x)为奇函数，所以错误；观察正切函数ytanx的图象，可知ytanx关于(kZ)对称，令x得x，分别令k1,2知、正确，显然正确答案题型三正切函数的单调性及应用【典例3】(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小；(3)解不等式tan.思路导引(1)将x看成一个整体；(2)比较大小时应将角化到同一个单调区间内；(3)将x看成一个整体，结合ytanx的图象求解解(1)由kxk(kZ)得，2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)(2)由于tantantantan，tantantan，又0，而ytanx在上单调递增，所以tantan，即tantan.(3)将x看成一个整体，由函数ytanx的图象可知在上满足tanx的解应满足x，再结合ytanx的周期，得kxk，kZ，即kxk，kZ，所以不等式tan的解集为.变式若本例(1)改为ytan，其单调减区间是_解析ytantankxk，kZ，解得2kx0，由于ytanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可(2)运用正切函数单调性比较大小的方法运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系(3)解关于tanx的不等式：先写出这个不等式在一个周期上的解，再结合周期性得出x的解集针对训练3函数ytan的单调增区间为_解析由题意知，kxk，kZ，即kxk，kZ.所以2kx2k，kZ，故单调增区间为(kZ)答案(kZ)4比较大小：tan_tan；解析tantantan，tantantantantan，因为，ytanx在上单调递增，所以tantan.答案5不等式tan1的解集为_解析由已知可得k2xk，解得x0，即tanx1.结合正切曲线，可得kx0)的图象的相邻两支截直线y所得线段长为，则f的值是()A0 B1 C1 D.解析由题意，T，4，f(x)tan4x, ftan0，故选A.答案A5方程tan在0,2)上的解的个数是()A5 B4 C3 D2解析由题意知，2xk，kZ，所以x，kZ，又x0,2)所以x0，共4个故选B.答案B二、填空题6函数ytanx的值域是_解析因为ytanx在，上都是增函数，所以ytan1或ytan1.答案(，11，)7使函数y2tanx与ycosx同时单调递增的区间是_解析由y2tanx与ycosx的图象知，同时单调递增的区间为(kZ)，(kZ)答案(kZ)，(kZ)8已知函数f(x)xtanx1，若f(a)2，则f(a)的值为_解析设g(x)xtanx，显然g(x)为奇函数f(a)g(a)12，g(a)1，f(a)g(a)1g(a)10.答案0三、解答题9设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图解(1)，周期T2.令(kZ)，则xk(kZ)，f(x)的对称中心是(kZ)(2)令0，则x；令，则x；令，则x.函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得到函数yf(x)在一个周期内的简图(如图)10已知函数f(x)2tan(kN*)的最小正周期T满足1T，求正整数k的值，并指出f(x)的奇偶性、单调区间解因为1T，所以1，即k.因为kN*，所以k3，则f(x)2tan.由3xk得，x，kZ，定义域不关于原点对称，所以f(x)2tan是非奇非偶函数由k3xk得，x，kZ.所以f(x)2tan的单调增区间为，kZ.综合运用11下列关于函数ytan的说法正确的是()A在区间上单调递增B最小正周期是2C图象关于点成中心对称D图象关于直线x成轴对称解析令kxk，解得kxk，kZ，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为，故B错误；令x，解得x，kZ，令k1得到x，是函数的对称中心，故C正确；正切曲线没有对称轴，因此函数ytan的图象也没有对称轴，故D错误故选C.答案C12已知函数ytanx在内是减函数，则()A01 B10C1 D1解析ytanx在内是减函数，0且T.|1，即10.答案B13已知函数f(x)tan(x)的图象的一个对称中心为且|，则_.解析由题意得(kZ)，即(kZ)，又|0，得tanx1或tanx1.函数定义域为(kZ)关于原点对称f(x)f(x)lglglglg10.f(x)f(x)，f(x)是奇函数答案奇15已知函数f(x)x22xtan1，x1，其中.(1)当时，求函数的最大值和最小值；