圆柱体源γ射线自吸收系数研究.doc

摘摘 要要 通过对放射性样品以及核材料的 特征谱的分析 可以获得放射性样品以及核 材料中某放射性核素的含量 而其中 射线的自吸收是影响 能谱分析精度的一 个极为重要的物理量 因此对于 射线的自吸收的求出变得很重要 通常 待分析 的放射性样品以及核材料 如燃料棒 都是圆柱形的放射性体源 因而对于圆柱形 体源的 射线的自吸收系数的研究变得尤为重要 然而 不同大小的圆柱形体源并 且当探测器在不同的位置探测时具有不同的 射线的自吸 因而找到一个求圆柱形 体源 射线通用的公式对圆柱形放射性样品及核材料的分析变得很有意义 本文中 将点探测器分别置与圆柱形体源的轴向方向上以及垂直与轴的方向上 在不考虑点 探测器探测效率的情况下 探测效率为 1 就这两个方向分别对 射线的自吸收 系数做数学公式推导 当探测器置与轴方向上时 通过将圆柱体的半径高度以及圆 柱体源到点探测器的距离代入 并用 matlab 进行计算就可以求出任何圆柱形体源轴 方向上某距离处的 射线的自吸收系数 在与轴垂直方向上 同样推导出一个通用 公式 由于公式比较复杂 本文只计算当点探测器在远距离时的近似值公式 关键词 关键词 圆柱形体源 射线 自吸收系数 近似值公式 ABSTRACT Through the analysis of gamma spectra of radioactive samples and the nuclear materials we can obtain the radionuclide content of radioactive samples and nuclear materials It is essential to obtain the gamma rays self absorption factor for the analysis precision of the radionuclide content in gamma spectra energy analysis To work out the self absorption coefficient of gamma rays become extremely important Usually radioactive samples and nuclear materials such as the fuel rods which need to be analysised are cylindrical thus the study of the self absorption coefficient of gamma rays of the cylindrical body source is particularly important However the self absorption coefficient of gamma rays is due to how big the cylindrical body source is and where the detector lies That finding a equation which is suit to all the cylindrical body source is so significant to the analysis of gamma spectra of radioactive samples and the nuclear materials In this article point detector is laid on two different directions Ignoring the detect efficiency point of the detector detect efficiency is 1 Equations which work out the self absorption coefficient of gamma rays are derived out as far as these two directions When the detector lies on axis we can solve the self absorption coefficient of gamma rays by using some parameters such as height and radius and the matlab software When the detector lies on another direction a equation should be derived out too But this equation is so complex to solve so I only solve it s approximate equation KeyKey words words cylindrical body source gamma rays self absorption coefficient approximate formula 目 录 绪 论 1 1 研究背景 1 2 本文研究工作 2 1 射线的分析与探测 3 1 1 射线产生机理及其基本特性 3 1 1 1 简述 3 1 1 2 射线产生机理 3 1 2 射线与物质的相互作用的一般特性 3 1 2 1 光电效应 3 2 2 2 康普顿效应 5 2 1 3 电子对效应 7 2 3 源活度的相对测量和绝对测量 8 2 射线自吸收系数公式的推导 9 2 1 自吸收系数 9 2 1 1自吸收系数 9 2 1 2 任何几何形状材料自吸收系数求解基本公式 9 2 2 圆柱形体源 射线自吸收系数公式的推导 10 2 2 1探测器置于柱几何体轴线方向的 自吸收系数的推导 10 2 2 2探测器置于与柱几何体轴线垂直方向的 自吸收系数的推导 11 3 圆柱形体源 自吸收的求值 13 3 1 求值方法的原理 13 3 1 1 辛普森法则 数值积分 13 3 1 2 重积分的计算 14 3 2 自吸收的求数值解 15 3 2 1探测器置于柱几何体轴线方向的 自吸收系数的求值 15 4 2 2 探测器置于与柱几何体轴线垂直方向的 自吸收系数的求值 17 结 论 19 参考文献 20 致 谢 21 东华理工大学毕业设计 论文 引 言 1 绪 论 1 研究背景 放射性核材料的无损分析 nondestruetiveassa NDA 1 是核分析技术成功应 用中十分重要的一个部分 它的意义在于在对放射性核材料检测和分析过程中不会 破坏核材料的物理 化学特性 从而既达到了检测 分析放射性核材料的目的 又 保证了核材料的完整性 被广泛用于放射性核材料的循环利用 过程控制 临界控 制 以及参数监视等领域 无损分析是核分析技术中十分重要并且很有发展前景的 一个部分 放射性核材料的无损分析技术是随着核探测技术以及核放射分析技术的发展而 发展起来的 它的出现适应了包括核反应堆的监测 控制及其它一系列工程对放射 性核材料分析的要求 极大的促进了科研实验及工程设计的发展 1 因此 它一经 出现 很快便引起了各国科研机构的注意 相继都成立了相应的科研机构 1 并迅 速将其转化为实际产品 广泛用于各国的军事 工业领域 利用 射线进行无损分析 是放射性核材料无损分析技术最重要的应用 3 它 主要应用了如下原理 在大多数情况下 放射性核材料的 辐射谱线与其同位素的 衰变方式唯一对应 是特征谱线 4 而 射线的辐射强度在一定条件下 如源区及 介质厚度足够小 又与放射性核材料的质量成一定比例 3 因此 通过对放射性核 材料的 特征线的测量 可以对放射性核材料的成分及相关信息进行有效分析 5 因此 如果恰当的利用放射性核材料 谱线的特征性 利用实验或数值模拟的方法 获得一系列物质的 特征谱 6 分析其与核物质材料的对应性 然后再用这种对应 关系去检测 分析放射性核材料 就可以在实际工作中起到指导作用 具有很大的 实用价值 3 与其它分析技术相比 用 射线进行无损分析有如下优点 快速 准 确 普适 便于分析 易于自动化 智能化设计 7 因此它受到了各国科研人员的 重视 在物质中 射线由于与介质粒子的各种相互作用 会不断的被吸收而衰减 这样 从介质中穿透的 射线就携带了介质物质的物理 几何信息 当核放射性物 质因衰变而放出的 光子从内向外穿透时 会因为与放射性核材料本身的粒子相互 作用而不断衰减 这就是 射线的自吸收 8 同样 由于 射线的自吸收 从放 射性核材料中出射的 谱线也携带了核材料本身的物理 几何信息 5 因此 当我 们在利用 射线对放射性核材料进行无损分析时 必须考虑 射线的自吸收 射线的吸收系数是 能量的函数 而吸收距离则表征了核装置的几何结构 信息 因此 通过研究不同能量 射线在核材料中自吸收的不同 可以反解出有关 东华理工大学毕业设计 论文 引 言 2 装置的结构信息 5 2 本文研究工作 本文 通过对圆柱形体源的 射线自吸收系数的求解公式进行了推导 并分别 求出了当探测器置于轴向以及侧向方向上时的圆柱体源的 射线自吸收系数求解公 式 并对它们进行了数值求解 东华理工大学毕业设计 论文 1 射线的分析与 探测 3 1 射线的分析与探测 放射性样品与核材料中放射出的 射线会与材料本身物质会发生相互作用 而 损失掉一部分射线 故而下面对 射线的产生机理及其与物质之间的相互作用进行 阐述 以便进一步对 射线的自吸收进行研究 1 1 射线产生机理及其基本特性 1 1 1 简述 大部分放射性材料在 和 衰变以及核反应留下的剩余核都是处于激发态 这些激发态通过发射 射线和内转换电子 迅速退激到低激发态或基态 这被称为 衰变 跃迁 9 与 x 射线和可见光一样 射线是电磁波的一种 与它们相 比 射线有如下特点 波长短 能量高 射线的典型能量范围在 0 1MeV 一 10MeV 穿透能力更强 10 而 能谱与 和 能谱相比 又具有容易观测 测量 精度高等优点 7 因此 射线及能谱被广泛用于核探测 及钢铁等工业的探伤 核分析 核监察等领域 1 1 2 射线产生机理 在放射性核材料中 射线的产生是原子核自发辐射光子的过程 辐射是激 发核损失能量的最显著的方式 11 原子核由于衰变作用 和 衰变 或核反应而 处于激发态 也有从高激发态退激后仍处于激发态的情况 从而使原子核处于一种 较高能量的不稳定状态 这时核通常通过辐射 光子而退激到较低能量的稳定态 即产生了 跃迁 在 跃迁过程中遵守能量 角 动量及宇称守恒 因此它也遵 守一定的跃迁选择定则 12 由于能量守恒 则因跃迁产生的 射线的能量就等于 跃迁前后核的高激发态能级能量 Ez与低激发态能级能量 E1的差 即 hv Ez一 E1 由 于每种核的能态是该核所特有的 一般不同核的两个能级的差不会相同 因此不同 核的 辐射能量一般不会相同 尤其对裂变物质如 U Pu 等材料 其大部分 射 线都分属不同的核素所特有 构成了 特征线 13 1 2 射线与物质的相互作用的一般特性 虽然 射线 韧致辐射和特征 X 射线等起源不一 能量大小也不相等 但它们 都属于电离辐射 与物质的作用机制是一样的 也是射线探测和射线应用的物理基 础 光子通过物质时 会在一次碰撞中失去全部能量或是丢失一部分能量 这有 是由粒子通过碰撞丢失能量的方式不同所引起的 9 射线与物质的相互作用 可以有许多种方式 在所有相互作用方式中 最主 要的三种方式是光电效应 康普顿效应和电子对效应 1 2 1 光电效应 东华理工大学毕业设计 论文 1 射线的分析与 探测 4 当 光子把它的全部能量转移给某个核外束缚电子 使之脱离原子而成为光电 子发射出去 而光子本身消失掉 这种过程称光电效应 如图 2 1 所示 光子与 物质相互作用时 产生光电效应 光子的能量一部分转化为电子的动能 另一部分 的能量消耗在脱离原子束缚的逃逸功和原子的反冲动能上 但反冲能量跟 光子的 能量与电子动能相比 它是极小的 故可以忽略 因此 原子吸收 光子后发射出 来光电子的能量就是入射光子的能量减去电子逃逸出原子时所做的功 即光子能量 与该束缚电子所处壳层的结合能之差 所以 发生光电效应的条件是 入射 光子 的能量必须要大于电子的结合能 如此 才有可能从原子的任意壳层打出光电子 图 2 1 光电效应 光电子可以从原子的各个电子壳层中发射出来 但是自由电子 非束缚电子 却不能 吸收入射光子能量而成为光电子 也就是说 光子打在自由电子上不能产生光电效 应 原因就在于自由电子与光子作用时动量不守恒 而原子核 严格说是发射光电 子后剩余的整个原子的参加 使得光电效应整个过程不但满足能量守恒 而且满足 动量守恒 实践中发现 入射光子的能量超过 K 层电子结合能 大约 80 的光收发 生在 K 层电子上 这表明了 电子在原子中束缚越紧 就容易使原子核参加上述过程 产生光电效应的几率也就越大 所以 K 壳层上打出光电子的几率最大 L 层次之 M N 层更次之 发生光电效应时 内壳层上的电子被打出 这时此壳层上就留下空位 并使原 子处于激发状态 此时这种状态是不稳定的 有两种退激过程 一种过程是外层电 子向内层跃迁 来填补这个空位 使原子恢复到较低的能量状态 此时将放出一个 光子 光子的能量等于两个壳层的结合能之差 这能量将以特征 X 射线的形式释放 出来 另一种过程是原子把激发能交给外壳层电子 使它从原子中发射出来 这种 电子称为俄歇电子 因此 在发射光电子的同时 还伴随着原子发射的特征 X 射线 或俄歇电子 在光电效应中 由能量守恒定律得到 1 1 ei hEB 东华理工大学毕业设计 论文 1 射线的分析与 探测 5 或 1 2 ei EhB 原子各个电子壳层的结合能 Bi是已知的 利用上面的两个式子 由光电子的动 能可确定 光子的能量 电子的结合能 Bi 不仅与原子序数 Z 有关 而且也与壳层 的层次有关 各壳层电子结合能数值的近似为 对于 K 层 2 1 ky BR Z 1 3 对于 L 层 2 Ly BRZ5 4 1 4 对于 M 层 2 My BRZ 13 9 1 5 式 代RhcR y 71 R1 09774 10 m 34 h6 6266 10J s 81 c3 10 m s 入 可算得 一般情况下 光子能量要比结合能 Bi大得多 因而可 y R13 60eV h 以近似地认为光电子的动能等于 射线的能量 e Eh 2 2 2 康普顿效应 入射 光子与物质中的电子发生非弹性 把一部分能量转移给电子 使它脱离 原子成为反冲电子 而 光子本身被电子所散射 它的的能量和运动方向发生变化 这种过程称康普顿效应 如 2 2 图所示 h 和 h 为入射和散射光子的能量 为散射光子与入射光子方向间的夹角 称散射角 为反冲电子的反冲角 图 2 2 康普顿效应 康普顿效应和光电效应是两个完全不同的物理过程 在光电效应中 光子本身 消失 它的能量完全转移给电子 使电子成为光电子 在康普顿效应中 光子只是 损失掉一部分能量 并不是完全的损失 光电效应大多数发生在束缚最紧的内层电 东华理工大学毕业设计 论文 1 射线的分析与 探测 6 子上 康普顿效应是发生在束缚较松的外层电子上 由于外层电子的结合能是较小 的 与入射 光子的能量相比较 可以忽略 所以可以把外层电子看作是 自由电 子 这样康普顿效应就可以认为是 光子与处于静止状态的自由电子之间发生的 弹性碰撞 入射光子的能量和动量只是在反冲电子和散射光子之间进行分配 用相 对论的能量和动量守恒定律 可以推导出散射光子和反冲电子的能量与散射角的关 系 假定入射光子能量为 动量为 发生碰撞后 散射光子的能量为Eh hc 动量为 反冲电子的动能为 总能量为 E 动量为 P 它们之间Eh hc e E 有下列关系式 2 e0 EEm c 22 0 mcm c 1 6 2 2 0 0 2 m c m c 1 Pmv 1 7 0 2 m v 1 相对论能量和动量关系为 1 8 2422 0 E m cP c 式中 v c v 为反冲电子速度 是电子静止质量 m 是电子以速度 v 运 0 m 动时的质量 根据能量和动量守恒定律 有下列关系式 1 9 hhcos Pcos cc 1 10 hsin Psin c 由此 可以得到下式 1 11 22 0 h1 cos h h m c 或者 1 12 2 0 1 cos E EEEm c 因此 散射光子的能量为 1 13 2 0 1 1 cos m c E E E 康普顿反冲电子的动能为 东华理工大学毕业设计 论文 1 射线的分析与 探测 7 1 14 e Eh h 即 1 15 22 er0 E E1 cos m c 1 cos E 和 之间的关系是 1 16 2 0 ctg 1 tg 2 m c E 2 1 3 电子对效应 当入射的 光子能量大于 1 022MeV 时 在原子核或电子的库仑场作用下 光子转化为一个正电子和一个负电子 这样过程称为电子对效应 如图 2 3 所示 图 2 3 光电效应 在发生电子对效应时 入射 光子能量一部分转变为正负电子对的静止能量 1 02MeV 外 另一部分转化为正负电子对的动能 即有关系式 1 17 2 ee0 hEE2m c 式中 Ee 和 Ee 分别为正 负电子的动能 根据能量和动量守恒定律可知 电子对效应除涉及入射光子和电子对以外 必 须有一个第三者 原子核参加 对此做如下讨论 电子对的总能量为 2 ee0 E EE2m c 1 18 2 0 2 2m c 1v c 电子对的总动量为 1 19 P2mv 东华理工大学毕业设计 论文 1 射线的分析与 探测 8 由电子对的总能量和电子对的总动量公式可得到 1 20 2 PvE c 在由光子的动量得 Ph c 1 21 2 Pc v P c 由上式可以看出 电子对的总动量 这表示入射光子的动量除Pv c PP 了被电子对带走一部分 剩下的动量必须被参与这过程的第三者 原子核带走 又 因为原子核的质量很大 所以它的反冲能量很小 故式是成 2 ee0 h EE2m c 立的 另外当正电子动能几乎耗尽时 它与物质中的一个电子发生湮没过程 放出二 个光子 1 22 ee2h 其中 hv 0 511MeV 这两个能量为 0 511MeV 的光子称为湮没光子 且这两个光 子之间的夹角近似于 与正电子初始运动方向无关 0 180 2 3 源活度的相对测量和绝对测量 放射性活度的测量与核科学的各个领域有着十分密切的关系 例如 某些核反 应参数的确定 最终还是归结到放射性活度的测量 放射性活度测量方法总体来说 可分为两类 一类是绝对测量法 它是不依赖标准样品或标准仪器 而是用测量装 置直接测量放射性核素的衰变数 由于绝对测量是直接测量 所以要修正许多影响 测量结果因素 才能得出正确的值 许多的修正需要通过实验或计算才能得到 这 就使测量变得相当的繁杂 另一类是相对测量法 在相同的实验条件下 用一个已 知活度的标准源和待测样品进行测量 在根据已知标准源的活度及它们测量的量值 的比值 算出待测样品的活度 其中 相同的实验条件是指几何条件 放射源的能 量 样品组成的成份等 由于作相对比较 所以许多的修正因子就可以消去 不必 要计算修正因子的确切值 相对测量不仅节省了大量的时间 而且方法简单 适用 于大量的重复性实验 在核放射性实验和放射性医学等方面有大量的应用 虽然相对测量具有很多的优点 但是制备标准源是需要花费大量的时间 而且 制作成本也很高 本文所提出的新方法可以很好的解决这个问题 东华理工大学毕业设计 论文 2 射线自吸收系数公式的 推导 9 2 射线自吸收系数公式的推导 2 1 自吸收系数 2 1 1自吸收系数 放射性核材料由于本身对 射线的自吸收 使得探测到的 射线谱 还包含 了装置的结构信息 这样有一个问题就是 这种自吸收的程度如何来表征 一个惯用 的方法就是 通过有自吸收时的 谱线强度 实际情况 与在同样条件下 但无0 自吸收时的谱线强度 假想情况产 的比来表示这种自吸收的程度 用数学表示 0 就是 8 2 1 1 0 I0 G I 0 有吸收衰减 无吸收衰减 其中 I 为不经过材料本身自吸收时的放射性强度 假定 为 0 吸收衰减 0 I 经过材料本身自吸收时的放射性强度 则 G 定义为自吸收系数 0 这样 对于如图 2 1 所示的具有任意几何形状的放射性物质分布均匀核放射物 体 设放射体外为真空介质 则对探测点 A 有 这里为简便起见 不考虑探测 0 器相对探测效率的影响 即相对探测效率为 1 图 2 1 任意几何形状核放射性的自吸收测量 2 1 2 0 0 r V V I edV G I dV A A 其中 r 为 P 点 射线到探测器的过程中的与材料本身相互作用的有效距离 分子为对整个体源进行积分 得到经自吸收后的放射性强度 2 1 2 任何几何形状材料自吸收系数求解基本公式 I0是 P 点处的辐射出射强度 L 为 射线经过材料的有效长度 有如果 I0在放 射体内处处均匀 就有 东华理工大学毕业设计 论文 2 射线自吸收系数公式的 推导 10 2 1 3 0 0 L V V I edV G I dV A A L V V edV dV A A L V edV V A 很显然 自吸收系数除了与放射体物质的衰减系数 在一般情况下 对均匀 体而言 仅是能量的函数 与空间参数无关 对于不同核材料和不同能量的 射线由手册可以查到吸收系数 E 有关外 还直接取决于放射源的几何条件 体积 形状等 以及探测器的位置 2 2 圆柱形体源 射线自吸收系数公式的推导 2 2 1探测器置于柱几何体轴线方向的 自吸收系数的推导 图 2 1 为点探测器置于圆柱形体源轴线方向上的情况 图 2 1 探测器置于圆柱形体源轴线方向上 设定一个半径为 R 高度为的的圆柱形体源 取圆柱形体源左边圆面中心点为 原点 轴方向上为 X 轴 做直角坐标系 将点探测器置于 X 轴上 x D 处 在体源 中任取一点 P 做微元 其中 L 为 P 点 射线到达探测器所经过材料的有效距离 为经过 P 点与原点的直线在 Y Z 平面上的投影与 Y 轴的夹角 r 02 为 P 点到 X 轴的距离 利用柱面坐标将式 2 1 3 的分子进行三重积分 可得 2 2 1 2 00 dR LL Vo edVddx redr A 由 2 1 3 与 2 2 1 式可得出 2 2 2 2 00 dR L o ddx redr G V 其中有效作用距离 L 东华理工大学毕业设计 论文 2 射线自吸收系数公式的 推导 11 2 2 3 22 Ldx Dx rDx 2 2 4 22 dx LrDx Dx 将 2 2 4 式代入 2 2 2 可得到圆柱形体源轴线方向上距离 D 处的 射线的自吸收 系数 G 并将代入 即为 2 VR d 2 2 5 22 0 2 2 dRd x rD x D x o dx redr G R d 上式 2 2 5 即为探测器置于柱几何体轴线方向的圆柱形体源 自吸收系数的 求解通式 2 2 2探测器置于与柱几何体轴线垂直方向的 自吸收系数的推导 下图 2 2 即为探测器置于与柱几何体轴线垂直方向的情况 图 2 2 探测器置于与柱几何体轴线垂直方向的情况 如图所示 考虑柱内空间一点 S r z D 点为探测器 则在柱内从 S 点发出 的 射线所走的距离为 t r z SF 先考虑 SF 在 X 平面的投影 为 tp PC PD 为 SD 在 X 平面的投影 设 PD tl OD L CD t2则 2 2 6 22 1 2costrLrL 2 2 7 222 2 cossintLRL 2 2 8 12p ttt 2 2 9 sin cos r tg Lr 东华理工大学毕业设计 论文 2 射线自吸收系数公式的 推导 12 2 2 10 22 1 1 sec p p t ttzt t 由以上五个公式可得到 2 2 11 222 2 22 222222222 2cos cos 2cos cos2cos rLrLz trrL rLrL r LR rLLRrL R 由自吸收定义有 22 20 HR t rz Ho dz rdred G V 2 2 12 2 00 2 4 HR t rz o dz rdr ed R H 将式 2 2 11 代入 2 2 12 得 222 22 22222222 22 2cos 2 coscos2cos 2cos 00 2 4 rLrLzHR rrLr LR rLLRrL R rLrL o dz rdr ed G R H 2 2 13 式子 2 2 13 即为探测器置于与柱几何体轴线垂直方向的 自吸收系数的通 用公式 东华理工大学毕业设计 论文 3 圆柱形体源 自吸收的 求值 13 3 圆柱形体源 自吸收的求值 在上一章中 我们分别推出了两种情况下的圆柱形体源 射线自吸收的式子 2 2 5 与 2 2 13 可以通过辛普森对这两个公式进行数值积分求解 3 1 求值方法的原理 3 1 1 辛普森法则 数值积分 在许多的实际问题中 常会遇到无法由积分方法求出的定积分 此类的定积分 我们可借由数值方法去求它的近似值 辛普森法则 Simpson s Rule 若在上有定义 将区间分割为等分 取为偶数 既 f x a b a bnn 其中 这里我们 012n axxxxb 0 1 i xai xin ba x n 想用过三点的拋物线來取代 001122 xf xxf xxf x 2 g xxx 在的定义 进而求出它的近似积分值 如图 3 1 最后用连加的方式求 f x 02 x x 1 A 得在上的近似积分 14 由假设我们有 f x a b 2 0000 2 2 0202 1111 2 2222 3 1 3 2 22 3 3 f xg xxx xxxx f xg xxx f xg xxx 图 3 1 东华理工大学毕业设计 论文 3 圆柱形体源 自吸收的 求值 14 令 22 00 xx xx f x dxg x dx 2 0 2 x x xxdx 2 0 32 32 x x xxx 3322 202020 32 xxxxxx 2 22 0202 0022 4 322 xxxxx xxxx 012 4 3 x f xf xf x 3 4 所以 24 022 n n bxxx axxx f x dxf x dx 012234 4 4 33 xx f xf xf xf xf xf x 21 4 3 nnn x f xf xf x 01234 4 2 4 2 3 x f xf xf xf xf x 21 2 4 nnn f xf xf x 3 5 若令 且在 01221 4 2 2 4 3 nnnn x Sf xf xf xf xf xf x 4 fx 上连续 则我们可估计出辛普森法则的误差值为 a b 3 6 5 4 4 max 180 b nn aa x b ba Ef x dxSfx n 3 1 2 重积分的计算 重积分的数值计算 14 均以定积分 一重积分 为基础 对于下面的 m 重积 分 东华理工大学毕业设计 论文 3 圆柱形体源 自吸收的 求值 15 3 7 2131212 1 12121212 12312 mm mm FUxFUx xFUx xxFU mm FLFLxFLx xFLx xx Idxdxdxf x xxdx 为提高运算速度 尽量将分解为 12 m f x xx 3 8 12112212 mmm f x xxfxfxfx xx 则有 3 9 21121 1 121121 111212212 mm mm FUxFUx xxFU mm FLFLxFLx xx If x dxfx x dxf x xxdx 当确定最外重 第一重 积分上 下限后 第二重及以后各重积分相当于一个 x1的函数 F2 x1 对于积分区间上的任意 x1值 F2 x1 有一个确定值 同理 x1 x2确定后 第三重及以后个重也是一个 x1 x2的函数 F2 x1 x2 也就是说 对于 第 k 重积分 只要确定节点 x1 x2 xk 1 3 10 121121 121121 1211212 kkmm kkmm FUx xxFUx xx kkkkkmmm FLx xxFLx xx F x xxfx xx dxfx xxdx 就有确定的积分值 对于 k 1 重的积分 3 11 1122 1122 112211211211 kk kk FUx xx kkkkkkk FLx xx Fx xxfx xxF x xxdx 因此 重积分的计算中 先定出第一重积分上 下限 并在上 下线内去节点 x1 根据 x1可定出第二重积分的上 下限 并在该相应上 下限内再定出 x2 通过 x1 x2可按同样的方法定出第三重积分的上 下限 直至第 m 重积分 当第 m 重 积分的上 下限确定后 可按自适应 Simpson 求得第 m 重积分 Fm x1 x2 xm 1 这个积分值与 fm 1 x1 xm 1 之积就是 m 1 重积分的被积函数 fk 1 x1 xm 1 Fm x1 xm 1 的一个函数值 当 x1 xm 2不变 xm 1取另 一个节点时 又可计算新的第 m 重积分 同样地 xm 1取完所有的节点 并按自适 应方法 Simpson 求得积分 它与 fm 2 x1 xm 2 之积相当于第 m 2 重积分的被 积函数 fk 2 x1 xm 2 Fm x1 xm 2 的一个函数值 如此进行下去 当第 一重积分的节点全部取完 就可求得最终的积分结果 3 2 自吸收的求数值解 3 2 1探测器置于柱几何体轴线方向的 自吸收系数的求值 由上一章的推导 可知道 东华理工大学毕业设计 论文 3 圆柱形体源 自吸收的 求值 16 3 13 22 0 2 2 dRd x rD x D x o dx redr G R d 使用 matlab 对式 3 13 运算时 不能得到解析解 因此下面都圆柱体以及衰 减系数任取一组值 并用 matlab 对其进行数值解 而 matlab 对其求数值解的原理即 为上一节所提到的 Simpson 求解方法 对于不同的原材料 具有不同的衰减系数 并且可查 在这里假定 0 4 并任取一组值 d 0 5 R 2 D 10 代入式子 4 1 可得 3 14 22 0 520 4 0 4 10 10 00 2 x rx x dx redr G V 用 matlab 对上式 3 14 进行数值运算 定义函数 fn r x r exp 0 4 0 5 x sqrt r 2 10 x 2 10 x dblquad fn 0 2 0 0 5 结果为 ans 0 9054 通常情况下 探测器与源的距离 在这种情况下 我们可不使用 Dd DR matlab 而对 3 13 式做近似化简 22 0 2 2 dRdx rD x D x o dx redr G R d 2 2 1 0 2 2 r dR dx D x o dx redr R d 0 1 0 2 2 dR dx o dx redr R d 0 2 2 dR dx o dx redr R d 0 2 2 Rd x d o dr redx R d 0 2 2 Rd x d o dr red xd R d 0 2 1 2 Rd x d o rdr edxd R d 2 0 0 2 1 2 2 d Rx d r edxd R d 东华理工大学毕业设计 论文 3 圆柱形体源 自吸收的 求值 17 2 00 2 1 2 2 Rx dd r e R d 2 2 1 21 2 d R e R d 3 15 1 d e d 将 d 0 5 0 4 代入上式 可以求出 G 0 9063 与上面所求结果 G 0 9054 做比较 相对误差为 0 90630 9054 100 0 1 0 9054 相对误差很小 故当探测器距离圆柱形体源距离 可以将自吸收 Dd DR 系数做式 3 15 那样的化简 并可知当当探测器距离圆柱形体源较远时 自吸收 系数 G 取决于圆柱形体源的高度 当材料选定的时候 固定并可查 4 2 2 探测器置于与柱几何体轴线垂直方向的 自吸收系数的求值 由上一章的推导可知 222 22 22222222 22 2cos 2 coscos2cos 2cos 00 2 4 rLrLzHR rrLr LR rLLRrL R rLrL o dz rdr ed G R H 3 16 上述积分十分困难 不易积出 这里只研究在远场及样品足够LHLR 大时的情况 此时 吸收距离 和自吸收系数可以分别表示如下 R e1 3 17 222 cossintrRr 3 18 222 cossin 0 2 2 R rRr o rdr ed G R 将上述 2 式在直角坐标系内表示 并令cosxr sinyr 则 并有 22 1 yyRy 1 tyx 22 1 yRy 1 1 1 2 0 2 y R yx y Gdyedx R 东华理工大学毕业设计 论文 3 圆柱形体源 自吸收的 求值 18 1 2 2 0 2 1 R y edy R 1 0 222 1 2 2 1 y R edRy R 3 19 1 222 11 2 0 4 R y eRy dy R 令 则上式变为 11 xyR 3 20 1 1 22 11 0 4 1 R x Gex dx 在上式中 如果 则当时 积分内的函数快速趋近于 0 所以 R e1 1 x1 对积分的贡献主要是在 0 附近 则 2 1 1x 1 x 3 21 1 1 22 1 0 422 1 R xR Gedxe RR 在远距离的情况下 取 0 8 R 5 时 G 0 1592 3 22 同时还可以使用 matlab 直接对式子 3 18 的分子中的双重积分进行求值 取 u 0 8 R 5 fn Q r r exp 0 8 r cos Q sqrt 25 r 2 sin Q 2 dblquad fn 0 pi 0 5 a