考点6、导数及其应用.doc

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的的导导函数函数 yfx 在区在区间间 a b上是增函数 即在区上是增函数 即在区间间 a b上各点上各点处处的的 y 斜率斜率k是是递递增的 由增的 由图图易知易知选选 A 注意注意 C 中中yk 为为常数常数 5 2009 天津高考 天津高考 设函数设函数则则 1 ln 0 3 f xxx x yf x A 在区间在区间内均有零点 内均有零点 1 1 1 e e B 在区间在区间内均无零点 内均无零点 1 1 1 e e C 在区间在区间内有零点 在区间内有零点 在区间内无零点 内无零点 1 1 e 1 e D 在区间在区间内无零点 在区间内无零点 在区间内有零点 内有零点 w w w k s 5 u c o m 1 1 e 1 e 考点定位考点定位 本小考本小考查导查导数的数的应应用 基用 基础题础题 解析解析 选选 D 由由题题得得 令 令得得 令 令得得 113 33 x fx xx 0 xf3 x0 xf30 x 得得 故知函数 故知函数在区在区间间上上为为减函数 在区减函数 在区间间为为增函数 在点增函数 在点处处有有0 xf3 x xf 3 0 3 3 x 极小极小值值 又 又 03ln1 01 3 1 1 0 1 3 3 1 1 ee f e eff 6 2009 江苏高考 江苏高考 函数函数的单调减区间为的单调减区间为 w w w k s 5 u c o m 32 15336f xxxx 解析解析 考考查查利用利用导导数判断函数的数判断函数的单调单调性 性 2 330333 11 1 fxxxxx 由由得得单调单调减区减区间为间为 亦可填写 亦可填写闭闭区区间间或半开半或半开半闭闭区区间间 11 1 0 xx 1 11 答案答案 1 11 7 2009 辽宁高考 辽宁高考 若函数若函数在在处取极值 则处取极值 则 2 1 xa f x x 1x a 解析解析 f x 2 2 2 1 1 x xxa x f 1 0 a 3 3 4 a 答案答案 3 8 2009 安徽高考 安徽高考 已知函数已知函数 讨论 讨论的单调性的单调性 2 2ln 0 f xxaxa x f x 本小题主要考查函数的定义域 利用导数等知识研究函数的单调性 考查分类讨论的思想方法和运算求本小题主要考查函数的定义域 利用导数等知识研究函数的单调性 考查分类讨论的思想方法和运算求 解的能力 本小题满分解的能力 本小题满分 12 分 分 解析解析 的定的定义义域是域是 0 f x 2 22 22 1 axax fx xxx 设设 二次方程二次方程的判的判别别式式 2 2g xxax 0g x 2 8a 当当 即 即时时 对对一切一切都有都有 此此时时在在上是增函数 上是增函数 2 80a 02 2a 0 x 0fx f x 0 当当 即即时时 仅对仅对有有 对对其余的其余的都有都有 此此时时 2 80a 2 2a 2x 0fx 0 x 0fx 在在上也是增函数 上也是增函数 w w w k s 5 u c o m f x 0 当当 即 即时时 2 80a 2 2a 方程方程有两个不同的有两个不同的实实根根 0g x 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx x 1 0 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x单调递单调递增增极大极大单调递单调递减减极小极小单调递单调递增增 此此时时在在上上单调递单调递增增 在在是上是上单调递单调递减减 在在 f x 2 8 0 2 aa 22 88 22 aaaa 上上单调递单调递增增 2 8 2 aa 9 2009 安徽高考 已知函数安徽高考 已知函数 a 0 w w w k s 5 u c o m 讨论 讨论的单调性 的单调性 设 设 a 3 求 求在区间在区间 1 上的值域 其中上的值域 其中 e 2 71828 是自然对数的底数 是自然对数的底数 解析解析 1 由于由于 2 2 1 0 a fxx xx 令令 w w w k s 5 u c o m 2 1 21 0 tytatt x 得 当当 即即时时 恒成立恒成立 2 80a 02 2a 0f x 在在 0 上都是增函数上都是增函数 f x 当当 即即时时 2 80a 2 2a 由由得得 0 或或 w w w k s 5 u c o m 2 210tat 2 8 4 aa t 2 8 4 aa t 或或 2 8 0 2 aa x 2 8 2 aa x 又由又由得得 2 210tat 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综综上上 当当时时 在在上是增函数上是增函数 02 2a f x 0 当当时时 在在上是减函数上是减函数 2 2a f x 22 88 22 aaaa 在在上都是增函数上都是增函数 22 88 0 22 aaaa 及 当当时时 由由 1 知知在在上是减函数上是减函数 3a f x 1 2 在在上是增函数上是增函数 2 2 e 又又 1 0 2 23 20ffln 22 2 2 50f ee e 函数函数在在上的上的值值域域为为 w w w k s 5 u c o m f x 2 1 e 2 2 2 23ln2 5e e 10 2009 福建高考 福建高考 已知函数已知函数 且且 w w w k s 5 u c o m 32 1 3 f xxaxbx 1 0f 1 试用含试用含的代数式表示的代数式表示 b 并求并求的单调区间 的单调区间 a f x 2 令 令 设函数设函数在在处取得极值 记点处取得极值 记点 M N P 1a f x 1212 x xxx 1 x 1 f x 2 x 2 f x 请仔细观察曲线请仔细观察曲线在点在点 P 处的切线与线段处的切线与线段 MP 的位置变化趋势 并解释以下的位置变化趋势 并解释以下 m f m 12 xmx f x 问题 问题 I 若对任意的 若对任意的 m x 线段 线段 MP 与曲线与曲线 f x 均有异于均有异于 M P 的公共点 试确定的公共点 试确定 t 的最小值 并证的最小值 并证 1 x 2 明你的结论 明你的结论 II 若存在点 若存在点 Q n f n x n1 时时 121a 当当 x 变变化化时时 与与的的变变化情况如下表 化情况如下表 fx f x x 12 a 12 1 a 1 fx f x单调递单调递增增单调递单调递减减单调递单调递增增 由此得 函数由此得 函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 f x 12 a 1 12 1 a 当当时时 此此时时有有恒成立 且恒成立 且仅仅在在处处 故函数 故函数的的单调单调增区增区1a 1 21a 0fx 1x 0fx f x 间为间为 R 当当时时 同理可得 函数同理可得 函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为1a 1 21a f x 1 12 a 1 12 a 综综上 上 当当时时 函数 函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 1a f x 12 a 1 12 1 a 当当时时 函数 函数的的单调单调增区增区间为间为 R 1a f x 当当时时 函数 函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 1a f x 1 12 a 1 12 a 由由得得令令得得1a 32 1 3 3 f xxxx 2 230fxxx 12 1 3xx 由 由 1 得 得增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 所以函数 所以函数在在处处取取 f x 1 3 1 3 f x 12 1 3xx 得极得极值值 故 故 M N 5 1 3 3 9 观观察察的的图图象 有如下象 有如下现现象 象 f x 当当 m 从从 1 不含 不含 1 变变化到化到 3 时时 线线段段 MP 的斜率与曲的斜率与曲线线在点在点 P 处处切切线线的斜率的斜率之差之差 f x f x KMP 的的值值由正由正连续变为负连续变为负 fm 线线段段 MP 与曲与曲线线是否有异于是否有异于 M P 的公共点与的公共点与 KMP 的的 m 正正负负有着密切的关有着密切的关联联 fm KMP 0 对应对应的位置可能是的位置可能是临临界点 故推界点 故推测测 满满足足 KMP 0 的的 m 就是所求的就是所求的 t 最小最小值值 下 下 fm fm 面面给给出出证证明并确定的明并确定的 t 最小最小值值 曲曲线线在点在点处处的切的切线线斜率斜率 f x P m f m 2 23fmmm 线线段段 MP 的斜率的斜率 KMP 2 45 3 mm 当当 Kmp 0 时时 解得 解得 舍去 fm1m 2m 或 直直线线 MP 的方程的方程为为 22 454 33 mmmm yx 令令 22 454 33 mmmm g xf xx 当当时时 在在上只有一个零点上只有一个零点 可判断 可判断函数在函数在上上单调递单调递增 在增 在2m 2 2g xxx 1 2 0 x g x 1 0 上上单调递单调递减 又减 又 所以 所以在在上没有零点 即上没有零点 即线线段段 MP 与曲与曲线线没有没有 0 2 1 2 0gg g x 1 2 f x 异于异于 M P 的公共点 的公共点 当当时时 2 3m 2 4 0 0 3 mm g 2 2 2 0gm 所以存在所以存在使得使得 0 2m 0g 即当即当MP 与曲与曲线线有异于有异于 M P 的公共点的公共点 2 3 m 时 f x 综综上 上 t 的最小的最小值为值为 2 2 类类似 似 1 中的 中的观观察 可得察 可得 m 的取的取值值范范围为围为 1 3 解法二 解法二 1 同解法一 同解法一 2 由 由得得 令 令 得 得1a 32 1 3 3 f xxxx 2 230fxxx 12 1 3xx 由 由 1 得的 得的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 所以函数在 所以函数在 x1 1 x2 3 处处取得取得 f x 1 3 1 3 极极值值 故 故 M N 5 1 3 3 9 直直线线 MP 的方程的方程为为 22 454 33 mmmm yx 由由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得得 3222 3 44 40 xxmmxmm 线线段段 MP 与曲与曲线线有异于有异于 M P 的公共点等价于上述方程在的公共点等价于上述方程在 1 m 上有根上有根 即函数即函数 f x 上有零点上有零点 3222 3 44 4g xxxmmxmm 在 1 m 因因为为函数函数为为三次函数三次函数 所以所以至多有三个零点至多有三个零点 两个极两个极值值点点 g x g x 又又 因此因此 在在上有零点等价于上有零点等价于在在内恰有一个极大内恰有一个极大值值点和一个极小点和一个极小值值 1 0gg m g x 1 m g x 1 m 点点 即即内有两不相等的内有两不相等的实实数根数根 22 36 44 0 1 g xxxmmm 在 等价于等价于 即即 2 22 22 3612440 3 1 6 44 0 36 44 0 1 mm mm mmmm m 15 21 25 1 m mmm m 或解得 又因又因为为 所以所以 m 的取的取值值范范围为围为 2 3 13m 从而从而满满足足题设题设条件的条件的 t 的最小的最小值为值为 2 11 2009 福建高考 福建高考 已知函数已知函数且且 32 1 3 f xxaxbx 1 0f I 试用含 试用含的代数式表示的代数式表示 ab 求 求的单调区间 的单调区间 w w w k s 5 u c o m f x 令 令 设函数 设函数在在处取得极值 记点处取得极值 记点 证 证1a f x 1212 x xxx 1122 M xf xN xf x 明 线段明 线段与曲线与曲线存在异于存在异于 的公共点 的公共点 MN f xMN 解析解析 解法一 解法一 I 依 依题题意 得意 得 2 2fxxaxb 由由得得 1 120fab 21ba 由 由 I 得 得 32 1 21 3 f xxaxax 故故 2 221 1 21 fxxaxaxxa 令令 则则或或 0fx 1x 1 2xa 当当时时 1a 1 21a 当当变变化化时时 与与的的变变化情况如下表 化情况如下表 x fx f x x 12 a 2 1 a 1 fx f x 单调递单调递增增单调递单调递减减单调递单调递增增 由此得 函数由此得 函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 f x 12 a 1 12 1 a 由由时时 此 此时时 恒成立 且恒成立 且仅仅在在处处 故函数 故函数的的单调单调增增1a 1 21a 0fx 1x 0fx f x 区区间为间为 R 当当时时 同理可得函数 同理可得函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为1a 1 21a f x 1 12 a 1 12 a 综综上 上 当当时时 函数 函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 1a f x 12 a 1 12 1 a 当当时时 函数 函数的的单调单调增区增区间为间为 R 1a f x 当当时时 函数 函数的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为1a f x 1 12 a 1 12 a 当 当时时 得 得1a 32 1 3 3 f xxxx 由由 得 得 3 230fxxx 12 1 3xx 由 由 得 得的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 f x 1 3 1 3 所以函数所以函数在在处处取得极取得极值值 f x 12 1 3xx 故故 5 1 3 9 3 MN 所以直所以直线线的方程的方程为为MN 8 1 3 yx 由由得得 w w w k s 5 u c o m 22 1 3 3 8 1 3 yxxx yx 32 330 xxx 令令 32 33F xxxx 易得易得 而 而的的图图像在像在内是一条内是一条连续连续不断的曲不断的曲线线 0 30 2 30FF F x 0 2 故故在在内存在零点内存在零点 这这表明表明线线段段与曲与曲线线有异于有异于的公共点的公共点 F x 0 2 0 xMN f x M N 解法二 解法二 I 同解法一 同解法一 同解法一 同解法一 当 当时时 得 得 由 由 得 得1a 32 1 3 3 f xxxx 2 230fxxx 12 1 3xx 由 由 得 得的的单调单调增区增区间为间为和和 单调单调减区减区间为间为 所以函数 所以函数在在 f x 1 3 1 3 f x 处处取得极取得极值值 12 1 3xx 故故 5 1 3 9 3 MN 所以直所以直线线的方程的方程为为 w w w k s 5 u c o m MN 8 1 3 yx 由由得得 32 1 3 3 8 1 3 yxxx yx 32 330 xxx 解得解得 123 1 1 3xxx 12 3 312 11 3 511 9 33 xx x yyy 所以所以线线段段与曲与曲线线有异于有异于的公共点的公共点 w w w k s 5 u c o m MN f x M N 11 1 3 12 2009 广东高考 广东高考 已知二次函数已知二次函数的导函数的图像与直线的导函数的图像与直线平行 且平行 且在在 yg x 2yx yg x 处取得极小值处取得极小值 设 设 1x 1 0 mm g x f x x 1 若曲线 若曲线上的点上的点到点到点的距离的最小值为的距离的最小值为 求 求的值 的值 yf x P 0 2 Q2m 2 如何取值时 函数如何取值时 函数存在零点 并求出零点 存在零点 并求出零点 W w w k s 5 u c o m k kR yf xkx 解析解析 1 依 依题题可可设设 则则 1 1 2 mxaxg0 aaaxxaxg22 1 2 又又的的图图像与直像与直线线平行平行 gx 2yx 22a 1a mxxmxxg 21 1 22 2 g xm f xx xx 设设 则则 oo P x y 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 当且当且仅仅当当时时 取得最小取得最小值值 即 即取得最小取得最小值值 2 0 2 2 0 2 x m x 2 PQ PQ2 当当时时 解得解得 0 m2 222 m12 m 当当时时 解得解得0 m2 222 m12 m 2 由 由 得 得 120 m yf xkxk x x 0 x 2 120k xxm 当当时时 方程 方程有一解有一解 函数 函数有一零点有一零点 1k 2 m x yf xkx 2 m x 当当时时 方程 方程有二解有二解 1k 4410mk 若若 函数 函数有两个零点有两个零点 即 即0m 1 1k m yf xkx 1 2 1 442 k km x 1 1 11 k km x 若若 函数 函数有两个零点有两个零点 即 即0m 1 1k m yf xkx 1 2 1 442 k km x 1 1 11 k km x 当当时时 方程 方程有一解有一解 1k 4410mk 1 1k m 函数函数有一零点有一零点 yf xkx m k x 1 1 综综上 当上 当时时 函数函数有一零点有一零点 1k yf xkx 2 m x 当当 或 或 时时 1 1k m 0m 1 1k m 0m 函数函数有两个零点有两个零点 yf xkx 1 1 11 k km x 当当时时 函数 函数有一零点有一零点 1 1k m yf xkx m k x 1 1 13 2009 广东高考 广东高考 已知曲线已知曲线 从点 从点向曲线向曲线引斜率为引斜率为 22 20 1 2 n Cxnxyn 1 0 P n C 的切线的切线 切点为 切点为 0 nn k k n l nnn P xy 1 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 nn xy与 2 证明 证明 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy 解析解析 1 设设直直线线 联联立立得得 则则 n l 1 xky n 02 22 ynxx0 22 1 2222 nnn kxnkxk 舍去 舍去 0 1 4 22 2222 nnn kknk 12 n n kn 12 n n 即即 2 2 2 2 2 1 1 n n k k x n n n 1 n n xn 1 12 1 n nn xky nnn 2 证证明明 12 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x n n 12 1 12 12 5 3 3 1 2 12 4 3 2 1 12531 nn n n n xxxx n n n n x x xxxx 1 1 12531 由于由于 可令函数 可令函数 则则 令 令 得 得 n n n n x x ny x 1 1 12 1 xxxfsin2 12cosfxx 0fx 给给定区定区间间 则则有有 则则函数函数在在上上单调递单调递减 减 2 2 cos x 4 0 0fx xf 4 0 0 0 fxf 即即在在恒成立 又恒成立 又 xxsin2 4 0 43 1 12 1 0 n 则则有有 即 即 w w w k s 5 u c o m 12 1 sin2 12 1 nn n n n n y x x x sin2 1 1 14 2009 山东高考 山东高考 已知函数已知函数 其中其中 w w w k s 5 u c o m 32 1 3 3 f xaxbxx 0a 1 当当满足什么条件时满足什么条件时 取得极值取得极值 ba xf 2 已知已知 且且在区间在区间上单调递增上单调递增 试用试用表示出表示出的取值范围的取值范围 0 a xf 0 1 ab 解析解析 1 由已知得由已知得 令令 得得 2 21fxaxbx 0 xf 2 210axbx 要取得极要取得极值值 方程方程必必须须有解有解 xf 2 210axbx 所以所以 即即 此此时时方程方程的根的根为为 2 440ba 2 ba 2 210axbx 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以所以 w w w k s 5 u c o m 12 fxa xxxx 当当时时 0 a x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数增函数极大极大值值减函数减函数极小极小值值增函数增函数 所以所以在在 x 1 x2处处分分别别取得极大取得极大值值和极小和极小值值 xf 当当时时 w w w k s 5 u c o m 0 a x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数减函数极小极小值值增函数增函数极大极大值值减函数减函数 所以所以在在 x 1 x2处处分分别别取得极大取得极大值值和极小和极小值值 xf 综综上上 当当满满足足时时 取得极取得极值值 w w w k s 5 u c o m ba 2 ba xf 2 要使要使在区在区间间上上单调递单调递增增 需使需使在在上恒成立上恒成立 xf 0 1 2 210fxaxbx 0 1 即即恒成立恒成立 所以所以 1 0 1 22 ax bx x max 1 22 ax b x 设设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令令得得或或 舍去舍去 w w w k s 5 u c o m 0g x 1 x a 1 x a 当当时时 当当时时 为单调为单调增函数增函数 1 a 1 01 a 1 0 x a 0g x 1 22 ax g x x 当当时时 为单调为单调减函数减函数 1 1 x a 0g x 1 22 ax g x x 所以当所以当时时 取得最大取得最大 最大最大值为值为 1 x a g x 1 ga a 所以所以ba 当当时时 此此时时在区在区间间恒成立恒成立 所以所以在区在区间间上上单调递单调递增增 01a 1 1 a 0g x 0 1 1 22 ax g x x 0 1 当当时时最大最大 最大最大值为值为 所以所以1x g x 1 1 2 a g 1 2 a b 综综上上 当当时时 当当时时 w w w k s 5 u c o m 1 aba 01a 1 2 a b 15 2009 海南宁夏高考 海南宁夏高考 已知函数已知函数 3223 39f xxaxa xa 1 设设 求函数 求函数的极值 的极值 1a f x 2 若若 且当 且当时 时 12a 恒成立 试确定恒成立 试确定的取值范围的取值范围 1 4 a 1 4xa xf a 解析解析 1 当 当 a 1 时时 对对函数函数求求导导数 得数 得 f x 2 369 fxxx 令令 w w w k s 5 u c o m 12 0 1 3 fxxx 解得 列表列表讨论讨论的的变变化情况 化情况 f xfx x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 f x A 极大极大值值 6 A 极小极小值值 26 A 所以 所以 的极大的极大值值是是 极小 极小值值是是 f x 1 6f 3 26 f 2 的的图图像是一条开口向上的抛物像是一条开口向上的抛物线线 关于 关于 x a 对对称称 22 369fxxaxa 若若上是增函数 从而上是增函数 从而w w w k s 5 u c o m 1 1 4 afx 则在 1 4a 上的最小上的最小值值是是最大最大值值是是 fx 在 1 4a 2 1 369 faa 2 4 15 faa 由由于是有于是有w w w k s 5 u c o m 22 12 1236912 fxaaxaxaa 得 2 2 1 36912 4 1512 faaafaaa 且 由由 14 1 121 4 120 35 faafaaa 得由得 所以所以 w w w k s 5 u c o m 1141 4 1 1 0 4354 5 aa 即 若若 a 1 则则不恒成立不恒成立 2 1212 1 4 12faaaxafxa 故当时 所以使所以使恒成立的恒成立的 a 的取的取值值范范围围是是 w w w k s 5 u c o m 12 1 4 fxa xa 1 4 4 5 16 2009 海南宁夏高考 海南宁夏高考 已知函数已知函数 32 3 x f xxxaxb e 如如 求 求的单调区间 的单调区间 3ab f x 若若在在单调增加 在单调增加 在单调减少 证明单调减少 证明 f x 2 2 6 w w w k s 5 u c o m 解析解析 当 当时时 故 故w w w k s 5 u c o m 3ab 32 333 x f xxxxe 322 333 363 xx fxxxxexxe 3 9 x exx w w w k s 5 u c o m 3 3 x x xxe 当当3x 或03 0 xfx 时 当当303 0 xxfx 或时 从而从而单调单调减少减少 3 0 3 3 03f x 在单调增加 在 3223 3 36 6 xxx fxxxaxb exxa eexaxba 由条件得 由条件得 从而从而 3 2 0 22 6 0 4 fababa 即故 3 6 42 x fxexaxa 因因为为所以所以 0 ff 3 6 42 2 xaxaxxx 2 2 xxx 将右将右边边展开 与左展开 与左边边比比较较系数得 系数得 故故2 2 a 2 4124 a 又又由此可得由此可得 2 2 0 2 40 即6 a 于是于是 w w w k s 5 u c o m 6 17 2009 浙江高考 浙江高考 已知函数已知函数 322 1 52f xxkkxx 22 1g xk xkx 其中其中 w w w k s 5 u c o m k R I 设函数 设函数 若 若在区间在区间上不单调 求上不单调 求的取值范围 的取值范围 p xf xg x p x 0 3 k II 设函数 设函数 是否存在是否存在 对任意给定的非零实数 对任意给定的非零实数 存在惟一的非零实数 存在惟一的非零实数 0 0 g xx q x f xx k 1 x 使得 使得成立 若存在 求成立 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 的值 若不存在 请说明理由 2 x 21 xx 21 q xq x k 解析解析 I 因 因 因 因 32 1 5 1P xf xg xxkxkx 2 32 1 5 p xxkxk 在区在区间间上不上不单调单调 所以 所以在在恒成立 恒成立 p x 0 3 0p x 0 3 由由得得 w w w k s 5 u c o m 0p x 2 21 325 kxxx 令 令有有 记记则则 2 325 3910 21 214213 xx kx xx 21 tx 1 7t 9 h tt t 在在上上单调递单调递减 在减 在上上单调递单调递增 所以有增 所以有 于是 于是 得 得 h t 1 3 3 7 6 10h t 9 216 10 21 x x 而当 而当时时有有在在上有两个相等的上有两个相等的实实根根 故舍去 所以 故舍去 所以 5 2k 2k 0p x 0 31x 5 2k w w w k s 5 u c o m II 当 当时时有有 0 x 22 32 1 5q xfxxkkx 当当时时有有 因 因为为当当时时不合不合题题意 因此意 因此 0 x 2 2q xgxk xk 0k 0k 下面下面讨论讨论的情形 的情形 记记 A B 当 当时时 在在上上单调递单调递增 所以增 所以0k k 5 1 0 x q x 0 要使要使成立 只能成立 只能且且 因此有 因此有 当 当时时 在在上上单调单调 21 q xq x 2 0 x AB 5k 1 0 x q x 0 递递减 所以要使减 所以要使成立 只能成立 只能且且 因此 因此 综综合 合 21 q xq x 2 0 x BA 5k 5k 当当时时 A B 则则 即 即使得使得成立 因成立 因为为在在5k 11 0 xq xBA 2 0 x 21 q xq x q x 上上单调递单调递增 所以增 所以的的值值是唯一的 是唯一的 0 2 x 所以所以 即存在唯一的非零 即存在唯一的非零实实数数 要使 要使成立 所以成立 所以满满足足题题意 意 w w w k s 5 u c o m 1 0 x 221 x xx 21 q xq x 5k 18 2009 浙江高考 浙江高考 已知函数已知函数 32 1 2 f xxa xa axb a b R I 若函数 若函数的图象过原点 且在原点处的切线斜率是的图象过原点 且在原点处的切线斜率是 求 求的值 的值 f x3 a b II 若函数 若函数在区间在区间上不单调 求上不单调 求的取值范围 的取值范围 f x 1 1 a 解析解析 由 由题题意得意得 2 1 23 2 aaxaxxf 又又 解得 解得 或或 0 0 0 2 3 fb fa a 0 b3 a1 a 函数 函数在区在区间间不不单调单调 等价于 等价于 xf 1 1 导导函数函数在在既能取到大于既能取到大于 0 的的实实数 又能取到小于数 又能取到小于 0 的的实实数数 x f 1 1 即函数即函数在在上存在零点 根据零点存在定理 有上存在零点 根据零点存在定理 有 x f 1 1 即 即 0 1 1 ff0 2 1 23 2 1 23 aaaaaa 整理得 整理得 解得 解得0 1 1 5 2 aaa15 a 19 2009 天津高考 天津高考 已知函数已知函数其中其中 22 23 x f xxaxaa exR aR 1 当当时 求曲线时 求曲线处的切线的斜率 处的切线的斜率 w w w k s 5 u c o m 0a 1 1 yf xf 在点 2 当当时 求函数时 求函数的单调区间与极值 的单调区间与极值 w w w k s 5 u c o m 2 3 a f x 解析解析 I 3 1 2 0 22 efexxxfexxfa xx 故 时 当 3 1 1 efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 II w w w k s 5 u c o m 22 2 24 x fxxaxaa e 2 2 3 2 2 20 aaaaxaxxf知 由 或 解得令 以下分两种情况以下分两种情况讨论讨论 1 则则 当当变变化化时时 的的变变化情况如下表 化情况如下表 a若 3 2 a2 2 ax xfxf x a2 a2 22 aa 2 a 2a f x 0 0 f x 极大极大值值 极小极小值值 22 2 2 内是减函数 内是增函数 在 在所以 aaaaxf w w w k s 5 u c o m 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极大值在函数 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极小值在函数 2 则则 当 当变变化化时时 的的变变化情况如下表 化情况如下表 a若 3 2 a2 2 ax xfxf x 2 a 2 a aa22 a2 a2 f x 0 0 f x 极大极大值值 极小极小值值 内是减函数 内是增函数 在 在所以 22 2 2 aaaaxf w w w k s 5 u c o m 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极大值在函数 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极小值在函数 20 2009 天津高考 天津高考 设函数设函数0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 当 当求曲线求曲线处的切线斜率处的切线斜率时 1 m 在点 11 fxfy 求函数的单调区间与极值 求函数的单调区间与极值 已知函数 已知函数有三个互不相同的零点有三个互不相同的零点 0 且 且 若对任意的 若对任意的 xf 21 x x 21 xx 21 xxx 恒成立 求恒成立 求 m 的取值范围 的取值范围 1 fxf 解析解析 当当时时 1m 322 1 2 1 1 3 f xxxfxxxf 且 所以曲所以曲线线处处的切的切线线斜率斜率为为 1 在点 11 fxfy 2 解 解 令 令 得到 得到12 22 mxxxf0 xf11xmxm 且 因因为为mmm 11 0 所以 当当 x 变变化化时时 的的变变化情况如下表 化情况如下表 xfxf x 1 m m 1 1 1 mm m 1 1 m xf 0 0 xf极小极小值值极大极大值值 在在和和内减函数 在内减函数 在内增函数 内增函数 xf 1 m 1 m 1 1 mm 函数函数在在处处取得极大取得极大值值 且 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数函数在在处处取得极小取得极小值值 且 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解 由 解 由题设题设 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程所以方程 0 由两个相异的由两个相异的实实根根 又 又 且 且 1 3 1 22 mxx 21 x x3 21 xx0 1 3 4 1 2 m 解得解得 2 1 2 1 mm 舍 因因为为1 2 3 32 221221 xxxxxx故所以 若若 而 而 不合 不合题题意意0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx则0 1 xf 若若则对则对任意的任意的有有 1 21 xx 21 xxx 0 0 21 xxxx 则则又又 所以函数 所以函数在在的最小的最小值为值为 0 于是 于是0 3 1 21 xxxxxxf0 1 xf xf 21 xxx 对对任意的任意的 恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 解得解得 w w w k s 5 u c o m 21 xxx 1 fxf 0 3 1 1 2 mf 3 3 3 3 m 综综上 上 m 的取的取值值范范围围是是 3 3 2 1 21 2009 辽宁高考 辽宁高考 已知函数已知函数 f x x ax a 1 2 1 2 ln x1a 1 讨论函数 讨论函数的单调性 的单调性 w w w k s 5 u c o m f x 2 证明 若 证明 若 则对任意 则对任意 x x xx 有 有 5a 12 0 1 2 12 12 1 f xf x xx 解析解析 1 的定的定义义域域为为 f x 0 2 分分 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx i 若 若即即 则则11a 2a 2 1 x fx x 故故在在单调递单调递增 增 f x 0 ii 若若 而而 故故 则则当当时时 1 1a 1a 12a 1 1 xa 0fx 当当及及时时 0 1 xa 1 x 0fx 故故在在单调递单调递减 在减 在单调单调增加 增加 f x 1 1 a 0 1 1 a iii 若若 即即 同理可得同理可得在在单调递单调递减 在减 在单调单调增加增加 11a 2a f x 1 1 a 0 1 1 a II 考考虑虑函数函数 g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则则 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx g 由于由于 1 a1 讨论讨论 f x 的单调性的单调性 若当若当 x 0 时 时 f x 0 恒成立 求恒成立 求 a 的取值范围 的取值范围 解析解析 I w w w k s 5 u c o m 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由由知 当知 当时时 故 故在区在区间间是增函数 是增函数 1 a2 x0 x f xf 2 当当时时 故 故在区在区间间是减函数 是减函数 ax22 0 x f xf 2 2 a 当当时时 故 故在区在区间间是增函数 是增函数 ax2 0 x f xf 2 a 综综上 当上 当时时 在区在区间间和和内是增函数 在区内是增函数 在区间间内是减函数 内是减函数 1 a xf 2 2 a 2 2 a II 由 由 I 知 当 知 当时时 在在或或处处取得最小取得最小值值 0 x xfax2 0 x aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假由假设设知知w w w k s 5 u c o m 即即 解得解得 1 a1 证明对任意的证明对任意的 c 都有都有 M 2 w w w k s 5 u c o m 若若m m K 对任意的对任意的 b c 恒成立 试求恒成立 试求 k 的最大值 的最大值 解析解析 I 解 解 由 由在在处处有极有极值值 2 2fxxbxc f x1x 4 3 可得可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得解得或或 1 1 b c 1 3 b c 若若 则则 此 此时时没有极没有极值值 1 1bc 22 21 1 0fxxxx f x 若若 则则1 3bc 2 23 3 1 fxxxxx 当当变变化化时时 的的变变化情况如下表 化情况如下表 x f x fx x 3 3 3 1 1 1 fx 0 0 f x 极小极小值值12 极大极大值值 4 3 当当时时 有极大有极大值值 故 故 即即为为所求 所求 1x f x 4 3 1b 3c 证证法法 1 22 g xfxxbbc 当当时时 函数 函数的的对对称称轴轴位于区位于区间间之外 之外 1b yfx xb 1 1 在在上的最上的最值值在两端点在两端点处处取得取得 fx 1 1 故故应应是是和和中中较较大的一个大的一个M 1 g 1 g 即即2 1 1 12 12 4 4 Mggbcbcb 2M 证证法法 2 反 反证证法 因法 因为为 所以函数 所以函数的的对对称称轴轴位于区位于区间间之外 之外 1b yfx xb 1 1 在在上的最上的最值值在两端点在两端点处处取得 取得 fx 1 1 故故应应是是和和中中较较大的一个大的一个M 1 g 1 g 假假设设 则则 w w w k s 5 u c o m 2M 1 1 2 2 1 12 2 gbc gbc 将上述两式相加得 将上述两式相加得 导导致矛盾 致矛盾 4 12 12 4 4bcbcb 2M 解法 解法 1 22 g xfxxbbc 1 当 当时时 由 由 可知 可知 1b 2M 2 当 当时时 函数 函数 的 的对对称称轴轴位于区位于区间间内 内 w w w k s 5 u c o m 1b yfx xb 1 1 此此时时 max 1 1 Mggg b 由由有有 b 1 2 1 1 4 ffb 2 1 1 0fbfb 若若则则 10 b 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 若若 则则01b 1 1 fffb 1 max 1 ggg b 于是于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 综综上 上 对对任意的任意的 都有都有bc 1 2 M 而当而当时时 在区在区间间上的最大上的最大值值 1 0 2 bc 2 1 2 g xx 1 1 1 2 M 故故对对任意的任意的 恒成立的恒成立的的最大的最大值为值为 Mk bck 1 2 解法解法 2 22 g xfxxbbc 1 当 当时时 由 由 可知 可知 w w w k s 5 u c o m 1b 2M 2 当 当时时 函数 函数的的对对称称轴轴位于区位于区间间内 内 1b yfx xb 1 1 此此时时 max 1 1 Mggg b w w w k s 5 u c o m 2 4 1 1 2 1 2 12 2 Mggg bbcbcbc 即 即 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 1 2 M 下同解法下同解法 1 30 2009 湖南高考 湖南高考 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距米 余下工程只需要建两端桥墩米 余下工程只需要建两端桥墩m 之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为万元 距离为米的相邻两墩之间的桥面工程米的相邻两墩之间的桥面工程x 费用为费用为万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费 2 x x 用为用为万元 万元 y 试写出 试写出关于关于的函数关系式 的函数关系式 yx 当 当 640 米时 需新建多少个桥墩才能使米时 需新建多少个桥墩才能使最小 最小 my 解析解析 设设需要新建需要新建个个桥桥墩 墩 n 1 1 m nxm x 即n 所以所以 2 mm xx x xx y f x 256n n 1 2 x 256 1 256 2256 m m xm x 由 由 知 知 2 13 22 2 2561 512 22 mm