数值计算方法习题及答案.doc

第 39 页 共 39 页第一章引论1假设原始数据是精确的. 试按三位舍入运算计算 （164+0. 913）-（143+21）和（164 -143）+（0. 913 - 21）的近似值，并确定它们各有几位有效数字. 2证明：的相对误差约等于的相对误差的1/2. 3设实数的位进制浮点机器数表示为. 试证明 ，其中的记号*表示+、-、/ 中一种运算. 4改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） （2） （3） . 5求方程 的两个根，使它至少具有四位有效数字. 6设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和相对误差. 7. 设为矩阵,为维向量,而且证明: 其中的元素满足: 8真空中自由落体距离与时间的关系由下面公式确定： ，g是重力加速度. 现设g是准确的，而的测量有秒的误差. 证明当增加时距离的绝对误差增加，而相对误差却减少!9序列满足递推关系：. 取及，试分别计算，从而说明该递推公式对于计算是不稳定的. 第二章 多项式插值 1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/22. 设是以为节点的次多项式插值问题的基函数. （1）证明 （2）证明.3. 在节点处取值的次数的多项式可写成其中是某个常数.确定并证明此公式.4. 设.考虑以为节点的Lagrange插值公式当时的极限.证明成立公式，其中 ，并计算.5. 给出的数值表0.10.20.30.40.50.700100.401600.10810-0.17440-0.43750试利用这个表求在0.3与0.4之间的根.6. 给出的数值表1.01.11.21.31.41.000001.233681.552711.993722.61170试利用Neville法求的近似值.7.若 ，问; .8.设 ，证明.而且 .9.证明下列关系的正确性: (1) (2) (3) 10. 利用差分性质证明:.提示:考虑差分,并利用差分和函数值可互相表示11. 分别利用Newton向前与向后插值公式及数据0.00.20.40.60.81.000001.221401.491821.822122.22554计算与的近似值.12.给出自然对数和它的导数的数表如下:0.400.500.700.80-0.916291-0.693147-0.356675-0.2231442.502.001.431.25(1) 利用Lagrange插值公式求.(2) 利用Hermite插值公式求.13.求次数的多项式，满足 .14.寻找一次多项式满足插值条件： .15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.16.设，求在区间上的分段三次Hermite插值函数，并估计误差，取等距节点且.17. 设并且又知求证 18.对任意非负整数，证明：.19.设，如下样条函数 当在和上变为一次多项式时，称为三次自然样条.证明：当且仅当系数满足下列关系时，才是三次自然样条.20.已知插值条件为12324121-1求相应的三次插值样条函数.21.求证 .22.证明等距样条可定义为.23.证明B样条的正性: 当.第三章 最佳逼近及其实现 (习 题)1. 证明：若为狭义线性赋范空间，为的有限维子空间，则对，在中存在惟一的元素的最佳逼近元素.2. 设，定义，问是否为内积？令空间,若将限制在子空间中，上述是否构成内积. 3. 设，相应的次Bernstein多项式定义为，其中.证明：，对，和成立. . 4. 设.若设在上的一次最佳一致逼近多项式为.（1） 求证： .（2） 利用（1）的结论，求，在上的一次最佳一致逼近多项式，估计误差.5. 选取常数，使达到极小，又问该解是否惟一.6. 证明：的次最佳一致逼近多项式也是它的插值多项式. 7. 设 ，求的零次最佳一致逼近多项式 8. 求多项式，在-1，1上的二次最佳一致逼近多项式. 9. 设，是的次最佳一致逼近多项式，证明：当 是偶（奇）函数时，亦是偶（奇）函数. 10. 利用Remes算法，计算函数，在区间0，1上的二次最佳一致逼近多项式(要求精度为0.0005).11. 求 ，的一次和二次最佳平方逼近多项式.12. 证明法方程组的系数矩阵G是正定矩阵13.设是上带权的次正交多项式，为任意次代数多项式，证明：. 14. 设为带权正交多项式系，证明：对，多项式和的零点必交错.15. 试利用Gram-schmidt正交化方法，求0，1上带权的三次正交多项式系，并利用它，求带权的最佳三次平方逼近多项式.16. 证明第三章定理 11. 17. 证明 ， 18. 求函数在上关于权函数的三次最佳平方逼近多项式.19. 设，若取，作节点，证明Lagrange插值余项有估计式：. 20. 用最小二乘法，求拟合下列数据的一次和二次多项式.哪个多项式逼近的更好.00.150.310.50.60.751.01.0041.0311.1171.2231.422 21 证明：（1）阶线性代数方程组（7.3）的系数矩阵是对称正定阵； （2）当 时，向量的离散情况的最佳平方逼近向量就是本 身，即（7.4）成立.22.对给定数据表，确定数据拟合曲线，并利用它，修正表的数据.1.01.251.501.752.005.105.796.537.458.48 23 求值，使达到极小，并求极小值.24. 利用离散情况的最佳平方逼近，求解如下超定方程组： 第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题)1直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度. 2设在0，1上连续，在0，1上可积，证明：用复化梯形公式计算 的误差形式为 ,当.其中是复化梯形和，为积分区间的分划节点. 3对于的数值积分公式，其中为对在进行插值的2次多项式.证明：. 4证明 中矩形公式的Peano核误差公式为： ,其中 并由此导出误差形式.5. 求系数，使求积公式对于次数的一切多项式都是精确成立的.6. 利用自适应辛甫生方法计算下列积分准确至. (1) （2） 7导出的两点Gauss求积公式，其中权函数为8记为求积分的点Gauss-Legendre公式.证明：对任何连续函数，当时，.提示：利用函数逼近的Weierstrass定理及Gauss型求积公式中求积系数的正性. 9考虑下列利用辛甫生公式求得的近似积分表，估计收敛于精确积分的阶.20.2845177968640.2855925457680.28570248748160.28571317731320.28571418363640.28571427643即，若，则是什么？这些数据看起来像误差的正确形式吗？预告的值和的误差. 若的误差小于，应选多大？10. 假设一个积分公式的误差有渐近展式推广4中的Richardson外推法. 若已知3个值，利用这些值去计算的估计值，使其具有阶为的误差.11. 用Romberg方法,对计算并对每一对打印误差.12. 确定参数使求积公式的代数精度尽可能地高 (*)13 假定求积公式 对于，精确成立，试求14. 建立Gauss型求积公式：. 15. 就和8个节点，用Gauss-Laguerre求积公式计算下列积分值：(1) ， (2) ,(3) 16. 求数值微分公式的余项. 第五章 线性代数方程组的解法 (习 题)1用Gauss逐步消去法解方程组 .2用列主元消去法解方程组.3设为阶按行严格对角占优矩阵，经Gauss消去法一步后变为如下形式 试证是阶按行严格对角占优矩阵.4设为实对称非奇异矩阵，且各阶顺序主子式证明：可以分解为，其中为具有正对角元的下三角阵，为对角阵，其对角元.5用追赶法解如下三对角方程组 .6假定已知的三角分解:,试设计一个算法来计算的元素.7试证对维向量有.8设为阶实矩阵，试证 9设是向量范数，为实矩阵，是维向量，证明是的连续函数.10设为阶非奇异矩阵， 表示矩阵的任一种从属范数，试证 （1）， （2）.11. 设是由向量范数诱导的矩阵范数, 证明:若非奇异,则12设是的三角分解，其中.并设分别表示和的第行，验证 ,并证明 .13设非奇异，是方阵的特征值，证明 .14设 .已知方程组的精确解为. （1）计算条件数； （2）取,分别计算它的残余向量.本题的结果说明了什么问题？15求矩阵的，以及，其中 .16若存在正定矩阵，使 为对称正定阵，试证迭代法 ， 收敛.17设有方程组，其中， .已知它有解.如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差.18设有迭代格式，其中 ， .试证该迭代格式收敛.并取，计算.19给定方程组 .证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散.20设是二阶矩阵，且.证明：求解的Jacobi迭代方法和Guass-Seidel迭代方法同时收敛或同时发散.21设为正交矩阵，.求证线性方程组,用G-S方法求解必收敛.22设求解方程的简单迭代法 收敛.求证当时，迭代法收敛.23求证矩阵 当时正定，当时Jacobi迭代法解收敛.24设计算Jacobi，G-S迭代矩阵的谱半径.25设有方程组，其中为对称正定阵，试证当松弛因子满足（为的最大特征值）时下述迭代法收敛： .26设方程组为 . （1） 试用最速下降法解方程组，取计算到. （2） 试用共轭梯度法解方程组，取.27设，为共轭梯度法所定义，试证 （1） ， （2） ，. 第六章 矩阵特征值问题的解法(习 题)1利用圆盘定理估计下列矩阵特征值的界: （1） ； （2） ；（3） .2对于下列矩阵，当及时，确定其特征值和特征向量，并观察它们当时的性态： ； ； .3设为阶实对称矩阵，为其特征值，证明4利用乘幂法求下列矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量. （1） ， 取；（2） 取.5用反乘幂法求矩阵的与最接近的那个特征值与所对应的特征向量.6. 设矩阵的特征值为实数，且满足条件 试确定位移，使得关于反乘幂法收敛到的速度最快.7在算法（2.5）中，若取，其收敛性如何？8设，且，则当时，初等矩阵 非奇异，且其逆可表为 .式中 .9设非零向量，试给出一个Householder矩阵，使为的倍数.10使用Householder矩阵作矩阵 的分解.11. 将矩阵 约化为三对角对称矩阵.12设是的近似特征对，证明当取为的Rayleigh商，即 时，残量的范数达到极小.13已知矩阵 的一个特征值，对应的特征向量为，试利用矩阵收缩求的其余特征值与特征向量.14证明Jacobi矩阵 的特征值全为实数且互异.15设是不可约对称三对角矩阵 对应于特征值的特征向量.证明:(1) (2) 若取,则其中由(4.2)定义.16设 .问：（1）矩阵T是否负定？（2）矩阵T在区间2，0内有多少特征值？17试分别利用不带位移的方法与带位移的方法计算 的特征值.18设 .对作一次带位移的方法，从而说明当与不很接近时，又当为对称矩阵时.19验证对矩阵 使用基本方法不收敛.20设是实对称矩阵，若Rayleigh商的梯度对某个向量为零，则必是的特征向量.第七章 非线性方程数值解法 (习 题)1. 试用二分法求方程在内的实根，要求准确到小数点后第二位，若要误差不超过，问要进行多少次二分？2. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式 （2），迭代公式 ，（3），迭代公式 ，试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？3设有解存在，又证明无论如何选取，只要，简单迭代法必发散.4设在上连续可微，且，在上有根，但，则由产生的迭代序列单调收敛于.5设有根，且，试证明产生的迭代序列对任意的均收敛于根.6证明在Newton法中，比值收敛于，这里为的根.7设为实数，试用Newton法求，要求在迭代函数中不用除法运算. 8. 在上函数分别定义为 它们均有零点，试分别讨论用Newton法解和是否收敛，收敛阶是多少？9研究求的Newton迭代公式 .证明对一切 ，且序列是单调下降的，从而迭代过程收敛.10试给出简化Newton公式 .收敛的一个充分条件，又设在内有单根，证明,其中 11设证明迭代公式是计算的三阶方法.12试确定常数使迭代法产生的序列收敛于，并使其收敛阶尽量高.13设有单根，则迭代法当时是一阶收敛的，当时是至少二阶收敛的.14利用适当的迭代法，证明.15用割线法或Newton法求下列方程的指定根.(1) 求 的正根.(2) 求 的最小正根.16讨论以下序列当时的收敛阶： （1） （2） （3） .对（1）、（2）再用Aitken方法计算，至.17设具有二阶连续导数，.证明迭代法其中： 是一个二阶方法.18写出求解的Newton迭代法程序.19用Newton法及秦九韶算法求方程（1）（2）的实根. 第八章 常微分方程数值解 (习 题)1用Euler方法解初值问题.并证明其截断误差.2证明：改进的Euler方法是稳定的.3设为常系数线性差分方程的特征方程的重特征根，试证明 ,为上述差分方程的个线性无关的解.4构造形如下面形式的三阶格式.5求具有最高阶的三步方法的系数.6考察形如 的差分格式，证明(1) 这类格式不可能具有三阶精度；(2) 具有2阶精度的必为二阶Runge-Kutta格式.7选取参数p,q，使求积公式 具有二阶精度8证明二级二阶方法A-稳定.9用差分方法解边值问题（取步长） 10试列出解初值问题的改进Euler格式.11用上题的计算格式解初值问题试取算到，并与精确解，,相比较.12找出线性差分方程,的一般解.当时，解是什么？以及是什么？13求常数，使得线性多步方法的局部截断误差的阶较高.14试推导求解初值问题的如下数值计算格式，并说明它是多少阶的格式. 15讨论求解初值问题的二阶中点公式 ,的数值稳定性（，为实数）.16试用差分法，对于解边值问题 . 第二章 多项式插值 (习 题)1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/2 解(2)： 方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： 方法二. 令 由 ， ， 定A，B （称之为待定系数法） 2. 设是以为节点的次多项式插值问题的基函数. （1）证明 （2）证明.证明(1) 由于 故： ， 当 时有： ， 也即为 的插值多项式，由唯一性，有： ， 证明(2)： 方法一. 用数学归纳法 方法二. 利用Newton插值多项式 差商表： f(x) 一阶 二阶 n阶差商 1 0 0 代入式有： . 为次代数多项式，由插值多项式的唯一性：有 . 8.设 ，证明.而且 .证明 利用数学归纳法，可证： 因为 故有： 15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.解 ， ， ， 设 ，则： 误差估计： . 第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题)1直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度. 解 梯形公式： . 矩形公式： . 以上两求积公式以 代入公式两边，结果相等，而以代入公式两边，其结果不相等.故梯形公式的代数精度等于1. Simpson公式： . 容易验证：以分别代入Simpson公式两边，结果相等，而以代入Simpson公式两边，其结果不相等，故Simpson求积公式的代数精度为3. 2设在0，1上连续，在0，1上可积，证明：用复化梯形公式计算 的误差形式为 ,当.其中是复化梯形和，为积分区间的分划节点. 证明： 当 又 于是： = , . 4证明 中矩形公式的Peano核误差公式为： ,其中 并由此导出误差形式.解 已知中矩形公式对于一次多项式精确成立，由Taylor展开： . 又： . 5. 求系数，使求积公式对于次数的一切多项式都是精确成立的. 解：求积公式 是一个插值型求积公式，令 得： ， 解得： ， ，第五章 线性代数方程组的解法 (习 题)6. 假定已知的三角分解:,试设计一个算法来计算的元素.解： 记： ,其中： 为的第列元素 由于： , 故： ， 矩阵的元素即为 因为 有 , 记： 有 解系数矩阵为三角阵的方程组(*)求得，然后解系数矩阵为上三角阵的方程组(*)，即可求得，因而得到的结果。7试证对维向量有. 证明： 又 , 故： . 18设有迭代格式，其中 ， .试证该迭代格式收敛.并取，计算.解： 可先验证： . 因迭代格式收敛，由于，故： 即 , 记： 于是： 即 ， 即为精确解. 19给定方程组 .证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散.解：方程组： Jacobi方法：迭代矩阵： 特征方程： 或： ， ， Jacobi方法收敛 Gauss-Seidel迭代方法： 迭代矩阵： , , （特征方程）或的特征化为下面方程的根： 即： , ， ， （重根） 故： , Gauss-Seidel 迭代方法发散. 23求证矩阵 当时正定，当时Jacobi迭代法解收敛.证明： 矩阵 正定的充分必要条件为： (1) , (2) (1)、(2)均满足，由(1)有： 由(2) 有： 记可知： 于 单调上升,于 单调下降, 于 单调上升, 为 的极值点, 为 的零点故： ，当 时,合并、，可知当 时，矩阵正定 又若要Jacobi迭代法收敛，则要求取，使得和同时正定，此时 为正