线性空间习题ppt课件

线性空间习题 所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间 1 次数等于 解 不构成 因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式 例如 的实系数多项式的全体 对于 多项式的加法和数量乘法 解 构成 令 为实系数多项式 是实矩阵 则有 由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的1 8条规则 故 2 设 是一个 构成线性空间 实矩阵 的全体 对于矩阵的加法和数量乘法 的实系数多项式 3 全体 解 构成 因为实对称 反对称 上三角 下三角 之和 之倍数仍为实对称 反对称 上三角 下三角 故做成线性空间 级实对称 反对称 上三角 矩阵 对于 矩阵的加法和数量乘法 4 平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合 对于向量的加法和数量乘法 解 不构成 例如 以那个已知向量为对角线的任意两个向量 它们的和不属于这个集合 5 全体实数的二元数列 对于下面定义的运算 解 构成 6 平面上的全体向量 对于通常的加法和如下定义的数量乘法 解 不能构成 因为 不满足规则5 7 集合与加法同6 数量乘法定义为 解 不能构成 因为 8 全体正实数 加法与数量乘法定义为 解 能构成 显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的 且满足八条规则 求下列线性空间的维数与一组基 9 数域 解 上的空间 的元素为 于是 是 令 维 基是 10 解 i 令 其余都是零 所以是 中全体对称 反对称 上三角 矩阵作成的 数域P上的空间 是对称矩阵所成空间的一组基 维的 ii 令 其余均为零 所以它是 是反对称阵所成空间的一组基 维的 iii 令 所以是 是上三角阵所成空间的一组基 维 11 第3题8 中的空间 解 数1是 零 元 任一不等于1的正实数都是线性无关的向量 取空间一非 零 元 例如 取2 对于任一正实数 所以此空间是一维的 2是一组基 或者说 任意非 零 元都可作 可经2线性表出 的基 12 实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间 其中 解 因为 所以 而 下证 令 线性无关 即 其系数行列式 故方程只有零解 线性无关 由它们作基 构成三维线性空间 在中 求由基到基的过渡矩阵 并求向量在所指基下的坐标 设 13 在 下的坐标 解 14 在 解 令 下的坐标 由前式得 代入后一式得 15 证明 实数域作为它自身上的线性空间与第3题8 中的空间同构 证 因为它们都是实数域上的一维线性空间 故同构 16 设 都是线性空间的子空间 且证明 如果的维数和的维数相等 那么 证 设 所以 也是 的一组基 且它们的维数相等 因为 可找到一组基 17 设 1 证明 全体与 2 3 记作 的一子空间 可交换的矩阵组成 时 求 时 求 的维数和一组基 证 1 全体与A可交换的矩阵的集合记为 构成子空间 2 3 设为可与交换的矩阵 由第四章习题5可知 只能是对角矩阵 故维数为 时 为一组基 18 证明 和 证 必要性 所以 充分性 反证法 设 1 不是直和 那么零向量还有一个分解式 是直和的充要条件是 其中 在式 1 中设最后一个不为零的向量是 这时 因此 那么式 1 变为 又 这与 矛盾 19 设 求 解 设 与 可交换 即 可交换的矩阵所成的子空间的维数 和一组基 中全体与 得 由对应元素相等 得 1 方程组 1 的系数矩阵秩为2 解空间维数为5 与 其一组基由上面得到 可经 可交换的矩阵为 表示 20 求由下列向量生成的子空间的交的基与维数 设 解 设交的向量 则有 即 1 算得 且 方程 1 的解空间维数为1 交的维数也为1 任取一非零解 即它们的交为 得交的一组基 是一维的 就是一组基 21 设与分别是齐次方程组与的解空间 证明 证 由 的解空间是 取基为 维 即 其系数矩阵 因此解空间是一维的 令 基为 1