微分方程的相关基本知识(电路用).

1 微分方程基本概念及相关知识 2 第一节微分方程的基本概念 在工程技术 力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中 经常需要确定变量间的函数关系 在很多情况下 必须建立不仅包含这些函数本身 而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系 这样的方程就是微分方程 在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念 还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用 3 定义含有自变量 自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程 定义出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数 称为微分方程的阶 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 在本书中只讨论常微分方程 如下例 一阶 二阶 一阶 4 定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解 微分方程的解的分类 1 通解 微分方程的解中含有任意常数 且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2 特解 不含任意常数的解 定解条件 用来确定任意常数的条件 5 初始条件 规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 6 解 7 第二节一阶常系数线性微分方程的解法 8 一 可分离变量的方程 为微分方程的通解 两边积分 为可分离变量的方程 称 则 9 解 例1 10 解 例2 分离变量 两边积分 通解为 所求特解为 11 二 齐次微分方程 的微分方程称为齐次方程 2 解法 作变量代换 代入原式得 1 定义 两边积分即得通解 注意 须将u代回 12 例3 解 此题不能分离变量 是齐次方程 13 例4 解 14 15 三 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式 上方程称为齐次的 上方程称为非齐次的 例如 线性的 非线性的 16 齐次方程的通解为 1 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 使用分离变量法 17 2 线性非齐次方程 常数变易法 作变换 积分得 所以原方程的通解为 18 解 例5 通解为 19 齐次线性方程 1 方程 1 的任意两个解的和仍是 1 的解 2 方程 1 的任意一个解的常数倍仍是 1 的解 3 方程 1 的任意一个解加上方程 2 的任意一个解是 2 的解 4 方程 2 的任意两个解之差是 1 的解 线性方程解的性质 非齐次线性方程 那么方程 2 的通解为 20 那么方程 2 的通解为 对应齐次方程的通解 非齐次方程特解 21 的特解 线性方程解的叠加性质 和 的一个特解 22 电路中的一阶微分方程应用 23 24 25 26 第三节二阶常系数线性微分方程的解法 27 二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾 一阶齐次线性方程 1 方程 1 的任意两个解的和仍是 1 的解 2 方程 1 的任意一个解的常数倍仍是 1 的解 28 一 二阶常系数齐次线性方程解的性质 1 方程 2 的任意两个解的和仍是 2 的解 2 方程 2 的任意一个解的常数倍仍是 2 的解 也是 2 的解 称线性无关 则上式为 2 的通解 定理1 2 29 二 二阶常系数齐次线性方程的解法 代数方程 3 称为微分方程 2 的特征方程 它的根称为特征根 或特征值 3 2 30 故它们线性无关 因此 2 的通解为 3 情形1 31 情形2 32 情形3 可以证明 是 2 的解 且线性无关 所以方程 2 的通解为 33 小结 特征根的情况 通解的表达式 实根 实根 复根 34 解 特征方程为 故所求通解为 例1 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 特征根为 35 解 特征方程为 故通解为 例3 特征根为 36 电路中的二阶微分方程应用 37 38 39 对应齐次方程 三 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 1 2 1 方程 1 的任意一个解加上方程 2 的任意一个解是 1 的解 2 方程 1 的任意两个解之差是 2 的解 定理2 那么方程 1 的通解为 40 问题归结为求方程 1 的一个特解 只讨论f x 的两种类型 用待定系数法求解 对应齐次方程 三 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 1 2 那么方程 1 的通解为 定理2 41 则 42 情形1 若r不是特征根 即 情形2 若r是特征方程的单根 即 43 情形3 若r是特征方程的二重根 即 44 综上讨论 设特解为 其中 45 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例4 代入原方程 得 46 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程 原方程通解为 例5 得 47 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例6 代入方程 得 48 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例6 注意 现即 即得 这样比代入原方程要简便得多 49 解 例7 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 50 此时原方程的通解为 51 可以证明 方程 1 具有如下形式的特解 52 解 例8 所求通解为 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程 得 53 解 例9 所求通解为 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程 得 54 定理3 非齐次线性方程的叠加原理 和 的特解 的一个特解 55 例10 解 代入得 56 解 代入得 原方程通解为 例10 57 解 例11 是