费马点--胡不归--阿氏圆问题.docx

2018中考数学冲刺专题系列班别： 九年级 内容： 日期： 姓名： 地址： 内部讲义 费马点问题“费马点”作法图形原理中每一内角都小于120，在内求一点，使值最小所求点为“费马点”，即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外两点之间线段最短最小值费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一.费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：对于一个各角不超过的三角形，费马点是对各边的张角都是的点；对于有一个角超过的三角形，费马点就是这个内角的顶点.1. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 2. 若三角形3个内角均小于120，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。若三角形有一内角大于等于120，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。下面简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最小？这就是所谓的费马点问题.解析：如图所示，把绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形，,，所以，.点可看成是线段绕点逆时针旋转而得到的定点，为定长，所以当四点在同一直线上时，最小.这时， 因此，当的每一个内角都小于时，所求的点对三角形每边的张角都是，可按照如上的办法找到点；当有一内角大于或等于时，所求的点就是钝角的顶点.费马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离之和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.1(广东中考题)已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长.解：如图所示，连接，把绕点顺时针旋转，得到，连接，可知、都是正三角形，则, . 点、点为定点(为点绕顺时针旋转所得) 线段即为点到三点的距离之和的最小值，此时两点都在上.设正方形的边长为，那么，. 点到的距离之和的最小值为，解得.2(湖州中考题)若点为所在平面上一点，且,则点叫做的费马点.(1) 若点为锐角的费马点，且，则的值为(2) 在锐角三角形的外侧作等边，连接，求证：过的费马点，且解：(1)利用相似三角形可求的值为.(2) 设点为锐角的费马点，即如图，把绕点顺时针旋转到，连接，则为正三角形.，.即三点在同一直线上.同理，三点也在同一直线上四点在同一直线上，即过的费马点.又 和为等边三角形 ，.变式训练：(全国初中联赛)如图所示，在中，点是内的一点，使得,且，则的值为2018广州二中二模胡不归问题 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径AB（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。ADBC沙 砾 地 带 若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.ABCDP例题1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则APBPCP的最小值为_解析：正方形ABCD为轴对称图形 AP=PC AP+BP+CP=2AP+BP= 即求的最小值 接下去就是套路 我们要构造一个出来 连接AE，作DBE=30，交AC于E，过A作AFBE，垂足为F 在RtPBF中， PBF=30 由此我们把构造出来了 的最小值即为AF线段的长 BAE=45，AEB=60 解直角ABE，得AO=BO=，OE=，OB= 根据面积法，= 求出AF=（此外本题费马点亦可）例题2 图1 图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（1）第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度，使得sin=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：(2017广州中考)24.（本小题满分14分）如图13，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,关于CD的对称图形为（1） 求证：四边形OCED是菱形（2） 连接AE,若AB=6cm,BC=cm的值若点P是线段AE上的一动点（不与A点重合），连接OP,一动点Q从O点出发，以1的速度延线段OP匀速运动到点P,再以的速度沿线段PA匀速到到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需要的时间练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.) 练习2练习3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；练习4如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？阿氏圆问题阿氏圆也是形如的形式（1）最终还是化分为整。概念：又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。例1.在ABC中，ABC=90，BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD，则12BD+AD最小值解析：根据阿氏圆定义CD/BC=1/2为定值，不妨设BC与圆C交与E点取EC中点F,由已知FCCD=CDBC=12,且FCD=DCB 所以FCD相似于DCB FD=12BD 所以12BD+AD= FD+ADAF 由勾股定理可得AF=210 图1 图2阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化