高中数学第二章2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量学案.docx

2.1.4数乘向量基础知识基本能力1掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义(重点)2掌握数乘向量的运算律(难点)3了解向量线性运算的性质及其几何意义(易混点)1会区分实数的乘法与数乘(难点)2能灵活运用向量的线性运算解决相关问题(重点、易错点)1数乘向量(1)实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长|a|a|.若a0，当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反当0或a0时，0a0或00.(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小(3)数乘向量的运算律设，为实数，则()aaa；(a)()a；(ab)ab.名师点拨(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数特别要注意0时，a0，此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆，错误地表述成a0.(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如a，a是无意义的【自主测试11】化简(2)3m4(n2m)的结果为()A14m4n B6m4nC2m4n D4n2m解析：原式6m4n8m2m4n.答案：C【自主测试12】若|a|3，b与a的方向相反，且|b|5，则a_b.解析：b与a的方向相反，且|a|b|，ab.答案：2向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算向量的线性运算有哪几种？与以前所学的实数和代数式的运算有何关系？答：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积. (2)向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但意义却截然不同.因此，在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后才可使用.【自主测试21】已知AM是ABC的边BC上的中线，若a，b，则等于()A(ab) B(ba)C(ab) D(ab)答案：C【自主测试22】已知，则_.答案：1数乘向量的几何意义剖析：a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小具体如下：|1|1110110将a沿原方向放大到倍，得到a将a沿反方向放大到|倍，得到a将a沿原方向缩小到倍，得到a将a沿反方向缩小到|倍，得到a2教材中的“思考与讨论”把教材例3中的数3改为任意实数k，你是否还能解这个问题？回想一下初中学过的相似三角形的判定定理，例3的结论与判定定理有什么关系？剖析：若k，k，则kkk()k，所以与共线，的长度是的|k|倍这一结论可以认为是三角形判定定理的向量形式，其反映的本质是一样的题型一 概念辨析题【例题1】已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由(1)2a与a是共线向量，且2a的模是a的模的2倍；(2)3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的；(3)2a与2a是一对相反向量；(4)ab与(ba)是一对相反向量分析：根据数乘向量与相反向量的定义进行判断解：(1)真命题理由：20，2a与a的方向相反，两向量共线又|2a|2|a|，2a的模是a的模的2倍(2)真命题理由：30，3a与a的方向相同，且|3a|3|a|.50，5a与a的方向相同，且|5a|5|a|.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的.(3)真命题理由：按照相反向量的定义可以判断此命题为真命题(4)假命题理由：(ba)baab，ab与(ba)为相等的向量反思在解答本题的过程中，易把ab与(ba)当作相反向量，导致此种错误的原因是不能正确运用向量的运算律进行转化题型二 向量的线性运算【例题2】(1)计算：8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2)解方程(xa)(ax2b)0.解：(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c6a4b.(2)原式可化为xaax2b0，2x2a2b0， xab.反思向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用，在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算题型三 向量之间的线性表示【例题3】如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解：解法一：设x，则x，e1x，e1x.又x，由得xe1xe2，解方程，得xe2e1，即e2e1.由，e1x，得e1e2.解法二：设x，y，则x，y.由，得用2乘以与相加，得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)e2e1.同理得y(2e1e2)，即e1e2.解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线相交于点E.则DLACLE，从而2，.由，得2e2e1，即(2e2e1)e2e1.同理可得，(2e1e2)e1e2.反思解法一中设一个未知向量，列了一个向量方程；解法二中则是设两个未知向量，列了一个向量方程组，这和列一元一次方程、二元一次方程组解应用题相类似；解法三中是在原图形中添加辅助线后，直接观察到了所需要的向量关系，这显然要以较多的平面几何知识作基础，不过确实简便有效题型四 易错辨析【例题4】如图所示，点A是线段BC的中点，且OD2BD，DC与OA交于点E，设a，b.(1)用a与b表示；(2)若，m，求实数，m的值错解：(1)A是BC的中点，.a2ab.(2)E在上，且m，bmbm()bmbm(2ab)2maba，错因分析：解题过程中出现了一处错误即，记错了向量减法的运算公式，造成后继部分不得分正解：(1)A是BC的中点，.a()2ab.(2)OD2BD，b，已知m，bmbm()bm2maba.由此可得1已知，R，下列式子正确的是()Aa与a同向 B0a0C()aaa D若ba，则|b|a|答案：C2如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC D答案：B3设P是ABC所在平面内的一点，且3，则()A0 B0C0 D0答案：D4化简：_.解析：原式(a4b)4a2b(3a6b)a2b.答案：2ba5若2(b3xc)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x_.解析：原式可化为2xxabbc，则xabc.答案：abc6如图所示，已知3e1，3e2.(1)如图(1)，C，D为AB的三等分点，求，；(2)如图(2)，C，D，E为AB的四等分点，求，.解：(1)3e23e1，e2e1，3e1e2e12e1e2，2e1e2(e2e1)e12e2.(2)3e23e