矩阵的分解及其应用.doc

学士学位论文 设计 学士学位论文 设计 Bachelor s Thesis 论 文 题 目 矩阵分解及其应用 作者姓名张志敏 学号2011111010156 所在院系 数学与统计学院 学科专业名称 数学与应用数学 导师及职称 袁永新 教授 论文答辩时间 2015 年 5 月 21 日 编号 2015110156 研究类型 理论研究 分类号 O24 学士学位论文 设计 诚信承诺书 中文题目 矩阵分解及其应用 外文题目 Matrix Decompositions and its Applications 学生姓名张志敏学生学号2011111010156 院系专业数学与应用数学学生班级1101 学学 生生 承承 诺诺 我承诺在学士学位论文 设计 活动中遵守学校有关规定 恪守学 术规范 本人学士学位论文 设计 内容除特别注明和引用外 均为本 人观点 不存在剽窃 抄袭他人学术成果 伪造 篡改实验数据的情况 如有违规行为 我愿承担一切责任 接受学校的处理 学生 签名 年 月 日 指导教师承诺指导教师承诺 我承诺在指导学生学士学位论文 设计 活动中遵守学校有关规定 恪守学术道德规范 经过本人核查 该生学士学位论文 设计 内容除 特别注明和引用外 均为该生本人观点 不存在剽窃 抄袭他人学术成 果 伪造 篡改实验数据的现象 指导教师 签名 年 月 日 目录 1 前言 1 2 矩阵分解 2 2 1 矩阵的三角分解 2 2 1 1 矩阵的三角分解基本概念 2 2 1 2 三角分解的应用 7 2 2 矩阵的满秩分解 15 2 2 1 矩阵的满秩分解基本概念 15 2 2 2 矩阵的满秩分解及其应用 16 2 3 矩阵的谱分解 19 2 3 1 矩阵的谱分解的基本概念 19 2 3 2 矩阵谱分解的应用 22 2 4 矩阵的奇异值分解 23 2 4 1 矩阵的奇异值分解基本概念 23 2 4 2 矩阵的奇异值分解的应用 24 3 参考文献 27 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 1 矩阵分解及其应用 张志敏 指导教师 袁永新教授 湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002 摘 要 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或 之和 在线性代数中 借助于矩阵分解时常可用来解决各种复杂的问题 矩 阵分解理论在统计学 结构动力学等专业领域也有重要的作用 本文介绍了 矩阵的三角分解 矩阵的满秩分解 矩阵的谱分解和矩阵的奇异值分解以及 它们的应用 并给出了求解这些分解的实例 关键词 矩阵的三角分解 矩阵的满秩分解 矩阵的谱分解 矩阵的奇异值分解 中国分类号 O24 Matrix Decompositions and its Applications Zhang Zhimin Tutor Yuan Yongxin College of Mathematics and Statistics Hubei Normal University Huangshi Hubei 435002 Abstract Matrix decomposition means that a matrix is expressed as product or sum of several matrices with simple structures or with special properties In linear algebra it can be used to solve the complicated problems Matrix decomposition theory plays an important role in statistics structural dynamics and other professional fields This article discusses the triangular decomposition of matrices the full rank decomposition of matrices spectral decomposition of matrices and the singular value decomposition of matrices Some examples are provided to solve these matrix decompositions Keywords Triangular decomposition Full rank decomposition Spectral decomposition Singular value decomposition 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 2 矩阵分解及其应用 张志敏 指导教师 袁永新教授 湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002 1 前言 矩阵是数学研究中一类重要的工具 有着非常广泛的应用 矩阵分解对矩阵理论 及计算数学的发展起了重要作用 本文介绍了矩阵的三角分解 矩阵的满秩分解 矩 阵的谱分解及矩阵的奇异值分解 对于矩阵的三角分解 本文从证明矩阵的ALU 的惟一性来求解矩阵的三角分解 最后将矩阵三角分解用于求解线性方程组A LDU Ax b 对于满秩分解 本文提出了求解满秩分解的多种方法 对于方阵可以用初等行变 换和初等列变换来求解满秩分解 也可以将矩阵化为标准型然后加以求解 而Hermite 对于一般矩阵只能将矩阵化为标准型来求解 矩阵的满秩分解用于求解矩阵的Hermite 广义逆 对于矩阵的谱分解 本文介绍了矩阵的谱分解及其性质 并介绍了矩阵多项式的 谱分解问题 对于矩阵的奇异值分解 本文介绍矩阵的奇异值分解 以及运用矩阵的奇异值来 求解矩阵的 Moore Penrose 广义逆 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 3 2 2 矩阵分解 2 1 矩阵的三角分解 2 1 1 矩阵三角分解的基本概念 定义 2 1 设 如果存在分别是下三角矩阵和上三角矩阵使得 n n AR n n L UR 则称可作三角分解 A LUA 定义 2 2 设 n n AR 1 如果存在单位下三角矩阵 对角矩阵 单位上三角矩阵使得 LDU 则称为矩阵的分解 ALDU ALDU ALDU 2 如果存在下三角矩阵 单位上三角矩阵 使得 则称此三角分解L UALU 为矩阵的克劳特分解 A 3 如果存在上三角矩阵 单位下三角矩阵 使得 则称此三角分解 UL ALU 为矩阵的杜利特分解 A 用消元法 一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵 若只用第 行乘Gaussi 数加到第行型初等变换能把化为上三角矩阵 则有下三角型可逆矩阵 kj ij AUP 使 从而有分解 PAU LU 1 AP ULU 我们知道用定理得到的分解一般不是惟一的 下面讨论分解 GaussLULU 分解的存在性和惟一性 LDU 定理 2 1 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是 nA0 k A 1 2 1kn 这里为的阶顺序主子式 k AAk 证明 必要性 设非奇异矩阵有三角分解 将其写成分块形式AALU k12k12 2122212222 0 0 k AALUU AALLU 这里 和分别为 和的阶顺序主子式 首先由知 k A k L k UALUk0A 0L 从而 因此 0U 0 k L 0 k U 0 kkk ALU 1 2 1kn 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 4 充分性 对阶数作数学归纳法 当时 1 1 结n1n 1 A 11 a 11 a 论成立 设对时结论成立 即 其中和分别是下三角矩阵和上三nk k kk AL U k L k U 角矩阵 若 则由 易知和可逆 现证当时结论也成立 k 0A k A k L k U k L k U1nk 事实上 1 kkkk TT1 T1 1 k 1 1k 1 1kkk c0c 10c kk k 1 T kkk kkk ALUL A rar Uar UL 由归纳法原理知可作三角分解 A 定理 2 1 给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件 由于不满足定 01 10 A 理 2 1 的条件 所以它不能作三角分解 但 11 00001100 1 121101120 2 A 上例表明对于奇异矩阵 它还能作三角分解未必要满足定理 2 1 的条件 定理 2 2 设 如果的顺序主子式 rank n n ij AaRAk kn A 则有分解 0 1 2 j jk ALU 证明 设为的阶主子矩阵 将分块为 11 AAkA 1112 2122 AA A AA 则为可逆矩阵 且各阶主子式非 0 由定理 2 1 知有分解 其 11 A 11 ALU 111111 AL U 中和均为可逆矩阵 11 L 11 U 又因为 在所设条件下 的前行线性无关 后行是前行的线rank Ak Ak nk k 性组合 即存在 n kk BR 21112212 ABAABA 取 令与分别是下三角矩阵和上三角矩阵 满足 11 212111121112 LA UUL A 22 L 22 U 例如取为对角阵 取 则可以得到下三角矩阵和上三角矩阵 2222 0L U 22 L 22 0U L 如下 U 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 5 111112 212222 0 0 LUU LU LLU 注意 11 111211111212211121111121 L ULL AAL UA U UA 111 21122222211111121111121222 0L UL UA UL ABA A ABAA 从而 111111121112 2111211222222122 L UL UAA LU L UL UL UAA 即 有分解 ALU ALU 另外 定理 2 2 中是有分解的充分条件并不必要 例如0 j ALU 000011 121101 A 所以有分解 但 ALU 1 0 首先指出 一个方阵的三角分解不是唯一的 杜利特分解与克劳特分解就是两种不 同的三角分解 其实 方阵的三角分解有无穷多 这是因为如果是行列式不为零的D 任意对角矩阵 有 1 ALD D ULU 其中也分别是下 上三角矩阵 从而也是 A 的一个三角分解 因 L U ALU 的任意性 所以三角分解不唯一 这就是的分解式不唯一性问题 需规范化三角DA 分解 定理 2 3 分解 设为阶方阵 则可以唯一地分解为LDUAnA A LDU 的充分必要条件是的前个顺序主子式 其中 A1n 0 k A 1 2 1kn L 分别是单位下 上三角矩阵 是对角矩阵 UD diagD 12 n d dd 1 k k k A d A 1 2 kn 0 1A 证明 充分性 对的阶数进行归纳证明An 1111111 1 11nAaaL DU 所以定理对成立 设定理对成立 即 1n 1n 111 1 1 ijnnn nn AaLD U 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 6 则对 将分块为nA 1nn T nnn A A ua 其中 121 T nnnnn a aa 121 T nnnnn ua aa 设 比较两边 则有 1111 0 101 nnnnnn TT nnnnn ALDUu uald 1111nnnn ALD U 2 1 11nnnn LDu 2 2 11 TT nnnn ul D U 2 3 1 T nnnnnn al Dud 2 4 由归纳假设 2 1 式成立 由 非奇异 非奇异 从而由0 k 11nn LD 11nn D U 2 2 式和 2 3 式可唯一确定和 又从 2 4 式可唯一求得 所以 n v T n l n d 分解是存在而且唯一的 ALDU 又由归纳证明过程 的阶顺序主子式Ak 111111 AL DUD 22222221 AL D UDd D 1kkkkkkkk AL D UDd D 所以 1 1 2 k k k dkn 必要性 设有唯一的分解 ALDU 把他们写成矩阵分块型ALDU 1111 0 101 nnnn TT nnnn ALDUu uald 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 7 比较两边便有式 2 1 2 4 成立 比如则有式 2 1 有于是 即 11 0 nn A 11 0 nn DA 111 0 nnn LDD 为奇异阵 则式 2 2 的解 不唯一 与的分解的 11nn LD 11 rank 1 nn LDn vALDU 唯一性相矛盾 因此 0 n 应该知道定理 2 3 的证明已给出了计算的分解的递归过程 取的一阶主子ALDUA 式 做分解 LDU 用式 2 1 式 2 4 确定从而 1111111 11AaaL DU 11 u l 从而然后重复使用式 2 1 1111 222 12 0 101 LDUu LDV ld 2222 AL D U 2 4 得到的顺序主子式的分解 时即完成了ALDU 1 2 kkkk AL D Ukn kn 的分解 ALDU 推论 2 1 设是阶方阵 则可唯一进行杜利特分解的充分必要条件是的AnAA 前个顺序主子式1n 111 1 0 k k kkk aa A aa 1 2 1kn 其中为单位上三角矩阵 即有L 11121 21 222 3132 12 1 1 1 1 1 n n nn nnn n uuu l uu llA u lll 并且若为非奇异矩阵 则充要条件可换为 的各阶顺序主子式全不为零 即 AA 0 k A 1 2 kn 证明 由定理 2 2 知为阶方阵 则可唯一的进行分解的充分必要条件AnALDU 是的前个顺序主子式 其中 分别是单位下 上三A1n 0 k A 1 2 1kn LU 角矩阵 是对角矩阵D diagD 12 n d dd 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 8 1 k k k A d A 1 2 kn 0 1A 又因为是对角阵 是单位上三角矩阵 则仍然为上三角矩阵所以推论得证 DUDU 推论 2 2 阶方阵可唯一地进行克劳特分解nA 11121 21222 12 1 1 1 n n nnnn luu llu ALU lll 的充要条件为 111 1 0 k k kkk aa A aa 1 2 1kn 若为奇异矩阵 则 若为非奇异矩阵 则充要条件也可换为A0 nn l A 0 k A 1 2 kn 证明 由定理 2 2 知为阶方阵 则可唯一的进行分解的充分必要条件AnALDU 是的前个顺序主子式 其中 分别是单位下 上三A1n 0 k A 1 2 1kn LU 角矩阵 是对角矩阵D diagD 12 n d dd 1 k k k A d A 1 2 kn 0 1A 又因为是对角阵 是单位上三角矩阵 则仍然为上三角矩阵所以推论得证 DLLD 2 1 2 三角分解的应用 从消元法知 当系数为三角矩阵时 线性方程组的求解很容易 GaussAAXb 因此 对一般的矩阵 它的三角分解的一个很自然的应用就是用于求解线性方程 n n A 组 设的分解为 则AXb ALUALU LYb AXbLUXb UXY 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 9 都是系数矩阵为三角矩阵 先用自上往下的回代法求解的 再求解 LYb YUXY 即可得到原方程组的解 AXb X 例 2 12 1 求三阶方阵 2 13 121 243 A 的分解与分解 LULDU 解 方法 一 第三种初等变换法 消元法 Gauss 31 3132 1 2 3 2 213100 213100 511 121010010 222 243001 243001 213100213100 511511 010010 222222 050101001021 rr rrrr A I 因此则 213 51 0 22 001 PA 100 1 10 2 021 P 1 100 1 10 2 121 LP 故 100213 151 100 222 121001 ALU 再利用初等列变换 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 10 21 1 2 203 213 51 510 0 22 22 001 001 1 10010 2 010 010 001 001 cc 3231 13 52 200 200 5 5100 0 2 22 001 001 17 131 1 25 22 1 01001 5 001 001 cccc 则 17 1 25 1 01 5 001 Q 200 5 00 2 001 PAQ 则 11 113 1 200100200 210 5151 00100001 2225 001121001001 APQLDU 方法 二 解 解 因为矩阵的顺序主子式A 1 20A 2 2 1 50 12 A 3 50AA 所以矩阵有惟一的分解ALDU 11111122 2 2 1 2 1 1aDLUA 由式 2 1 2 4 可得 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 11 22 15 22 ud 2 21 12 A 2 10 1 1 2 L 2 20 5 0 2 D 2 1 1 2 01 U 由题设可以得 3 213 121 243 A 3 3 1 3 2 4 代入式 2 1 2 4 nn 1n 1 n LD v 1 3 2 3 1020 3 2 15 1110 22 5 v 1112 21 24 5 0 2 TT nnnn l D U 12 T n l 1 T nnnnnn al Dud 20 312 1 5 0 2 nn dd 最后求得矩阵的分解是ALDU 3 13 1 100200 22 213 151 121100001 225 243 121001001 ALDU 则 213 51 0 22 001 UDU 故 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 12 100213 151 100 222 121001 ALU 例 2 2 求线性方程的解 2 13 121 243 A 2 1 3 b AXb 解 解 由上题知求得矩阵的分解为ALU 100213 151 100 222 121001 ALU 由 ALU LYb AXbLUXb UXY 则的形式为LYb 1 12 123 2 1 1 2 23 y yy yyy 自上往下用回代法可得 121312 1 2 12 325 2 yyyyyy 又的具体形式为UXY 123 23 3 232 51 2 22 5 xxx xx x 自下而上的回代法可得 323132 211132 5 2 23 52525 xxxxxx 这样就求得线性方程组的解向量为AXb 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 13 32 5 1 5 5 X 例 2 3 已知范德蒙矩阵 求 Vandermonde 123n 2222 123 2222 123 1111 123 1111 n nnnn n nnnn n V 的三角分解 V 解 由于范德蒙矩阵满足定理 2 1 的条件 于是有唯一的三角分解 V 结合范德蒙矩阵的特点 先对范德蒙矩阵进行一系列初等行变换 VLU V 用阶矩阵n 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 L 左乘范德蒙矩阵得 V 21311 2213311 1 1 444 2213311 333 2213311 222 22133131 1111 0 0 0 0 0 n nn nnn nn nnn nn nnn n L V 记 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 14 21 2 2 2 1 01 1 1 1 L 则 21311 323121 11 21 44 3323121 33 3323121 1111 0 00 00 00 n nn nn nnn nn nnn L L V 一般地 记 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k L 1 2 1kn 左上角是阶单位矩阵 依次相乘有 1 k L d k 2131n 11n1 222 3n 1n 111 1 1 1 121 22 n 1n 11 1 n 1 11111 jjj jjj n nn jj jj n j j LL L V U 从而 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 15 12n 1U VL LL 其中 2 5 k2 12 1 1 1 L 1 1 1 k kk k n kn k kkkk 1 2 1kn 再对进行一系列初等列变换 U 记 1 1 11111 1 1 1 1 U 21 1 1 31 1 1 1 1 1 n D 有 32122 11 11 22 1 11 1 1 10000 1111 nn nn njnj jj n nj j UUD 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 16 一般地 记 1 1 111 1 1 k U 1 12 111 diag 1 1 1 k k kkkknk D 个 所以 2 6 k1 2 1 1111 D U kkk kk nk 1 2 1kn 于是 1211111 nnn VL LLD UDU 其中由式 2 5 给出且为下三角矩阵 而由式 2 6 给出 为稀疏上三角矩阵 k L kk D U 2 2 矩阵的满秩分解 2 2 1 矩阵的满秩分解基本概念 定义定义 2 32 3 若矩阵的行 列 向量线性无关 则称为行 列 满秩矩阵 AA 定义定义 2 42 4 设是秩为的矩阵 若存在列满秩矩阵和行满A 0 r r m n m r Brn 秩矩阵 使得 则称为矩阵的满秩分解 CABC ABC A 定义定义 2 52 5 设是的矩阵 满足Hm n rank Hr 1 的前 行中每一行至少含有一个非零元素 且每行第一个非零元素是 1 而后Hr 行元素均为 0 mr 2 设中的第 行的第一个非零元素 1 位于第列 有 Hi 1 2 i j ir 12r jjj 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 17 3 的第 列构成阶单位矩阵的前 列 H 1 j 2 j r jmIr 则称为的标准型 HAHermite 定理定理 2 32 3 设为任一秩为 的矩阵 则必有满秩分解 其中为列Arm n AABC B 满秩阵 为行满秩阵 C 证明 因为的秩为 所以存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵 使得ArmPnQ 0 00 r E PAQ 若令 则为列满秩矩阵 为行满秩矩阵 1 0 r E BP 1 0 r CEQBm r Crn 且有 结论成立 1 1 1 1 0 0 000 rr r EE A PQPEQBC 定理定理 2 42 4 任何非零矩阵都存在满秩分解 m n AR 证明 设 则可通过初等变换将化为阶梯形矩阵 即 0r Ar AB 且 于是存在有限个阶初等矩阵的乘积 使得 1 0 C AA 行 r n CF r Cr mP 或者 于是 1 0 C PAA 1 1 A P A 11 1 0 C AP AP 将作相应的分块 则有 1 P 1 PBS m n BF mn r SF 1 1 0 0 C AP ABSB CSBC 其中为列满秩矩阵 为行满秩矩阵 BC 由于初等行变换有三种变换 1 调换两行 2 某一行乘以一个非零常数 3 某一行乘以一个非零常数加到另一行 实际上只用第三种初等变换方法就可以将其化 为阶梯 值得指出的是的满秩分解式并不是唯一的 现对任一 阶可逆方阵 总有ArH 成立 且分别为列满秩矩阵与行满秩矩阵 1 A BCBHH CBC B Cm r rn 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 18 因而上式也是的一个满秩分解式 A 2 2 2 矩阵的满秩分解及其应用 定义 2 6 设 若存在矩阵 使得 n n AC n n GC 1 AGAA 2 GAGG 3 HAGAG 4 HGAGA 则称为的 Moore Penrose 广义逆或加号广义逆 简称为的逆 的任GAAMP A 意逆记为 MP A 定理 2 5 若矩阵存在广义逆 则的逆是唯一的 m n AC MP AMP 证明 设都是的逆 则与均满足逆的定义中四个条件 12 G GAMP 1 G 2 GMP 于是 1111111211211 HHHHHHHHH GG A GG AGA G GA G AG GG AG AG 21121 G AG AGG AG 2222222221221 HHHHHHHHH GGAGGAGG G AG GA G AGAGAG 22121 G AG AGG AG 故 12 GG 下面证明对任意 都有存在 并提供实际计算的一个有效方法 m n AC MP A 定理 2 6 任意矩阵都存在广义逆 设 的一个满 m n AC MP A rank Ar A 秩分解为 则 rank rank m rr n ABC BCCCBCr 11 HHHH ACCCB BB 证明 因又知与都可逆 令rank rank rank ABCr H B B H CC 11 HHHH GCCCB BB 直接验证知满足广义逆定义中四个条件 即 GMP 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 19 11 HHHH AGABCCCCB BB BCBCA 1111 HHHHHHHH GAGCCCBBB BCCCCB BB 11 HHHH CCCB BBG 111 HHHHHHHHH AGBCCCCB BBB B BB 1 HH B B BB 11 HHHH BCCCCB BBAG 111 HHHHHHHHH GACCCB BB BCCCCC 1 HH CCCC 11 HHHH CCCB BB BCGA 故是的广义阵 因的广义逆唯一 故GAMP AMP 11 HHHH ACCCB BB 例 2 2 求矩阵的满秩分解 112 022 101 A 解 方法一 3 112100 112100 1 02201001100 2 101001 1 00011 2 A I 解得 112 011 C 100 1 00 2 1 11 2 P 1 100 020 111 P 所以 10 02 11 B 10 112 02 011 11 ABC 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 20 方法二 用行初等变换化为标准型AHermite 112112112 022022011 101011000 A 则可知 的前两列线性无关 取出的前两列构成 因此 2rank A AAB 11 101 02 011 10 BCABC 例 2 5 已知求的满秩分解 101 1 0222 1453 A AABC 解 31 101 1101 1 02220222 14530444 rr A 2 32 1 2 2 101 1101 1 02220111 00000000 r rr 由此可知 的标准型中分别在第 1 2 列把它rank 2A AHermite 12 10 01 00 ee 取为矩阵则 的简化阶梯形中非零行 B 10 02 14 B C 101 1 0111 C ABC 10 02 14 101 1 0111 101 1 0222 1453 例 2 6 求上题矩阵的 M P 的逆 AA 解 首先求得的满秩分解为A ABC 10 02 14 101 1 0111 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 21 故 11 HHHH ACCCBBB 11 10 013024101 1 103420024 11 521 111 1 41218 630 2 3 矩阵的谱分解 2 3 1 矩阵的谱分解的基本概念 定义 2 7 对方阵设为矩阵的个特征值 的互异的特征 n n AF 12 n AnA 值集合称为矩阵的谱 12 s A 定义 2 8 如果矩阵的每个特征值的几何重数等于它的代数重数 则称为单A i A 纯矩阵 定理 2 7 可对角化矩阵的谱分解 设 的谱为则可对 n n AC A 12 s A 角化的充分必要条件是有如下分解式其中方阵 满足如下条件 A 1 s ii i AP n n i PC 1 2 1 2 ii PP is 2 0 ij PPij 3 1 s in i PI 证明 必要性则可相似于对角形时 则有可逆矩阵 使AP 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 22 1 1 2 1 2 s s APP 2 7 首先分解对角矩阵 1 2 1 1 2 2 12 1 00 0 0 00 0 0 0 s i s s r r s r s r i i I I I I 令 1 2 12 00 0 0 00 s r r s r I I QQQ I 则满足以下性质 i Q 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 23 1 2 1 2 3 0 s in i ii ij QI QQ Q Qij 代入式 2 7 则有 11 11 ss iiii ii APQ PPQ P 令 则具有以下性质 1 ii PPQ P i P 1 2 1 2 ii PP is 2 8 2 0 ij PPij 3 1 s in i PI 2 9 1 s ii i AP 2 10 2 10 式就是一个可对角化矩阵的谱分解 即可对角化矩阵可分解为 个方阵As 的加权和 i P 充分性 则由 3 n XC 11 ss nii ii XI XP XPX 2 11 又对由 2 和 1 j P X 从而 2 11 ss jiijiijijjj ii A P XP P XP P XP XP X j j P XV 即时 它为关于特征值的特征向量 0 j P X A i 由 2 12 式说明可分解为特征子空间的直和 从而 n C 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 24 则可相似于对角形 1212 ss n CVVVVVV A 2 3 2 矩阵谱分解的应用 定理设矩阵 为互异的特征值 则为单纯矩阵的 7 2 8 n n AR 1 2 i is AA 充分必要条件是 存在 使 1 2 n n i ARis 1 1 s i i AI 2 0 i ij A ij A A ij 3 1 s ii i AA 定理设矩阵 为的互异的特征值 则为 6 2 9 n n AR 1 2 i fis f A f A 单纯矩阵的充分必要条件是 存在 使 1 2 n n i ARis 1 1 s i i AI 2 0 i ij A ij A A ij 3 1 s ii i f AfA 例 2 7 设矩阵 求矩阵多项式的谱分解 211 020 413 A 2 54f xxx 解 2 1 2 EA 当时带入1 求得 3132 4 111111111 030030030 414030000 rrrr 1 1 0 1 X 当时带入2 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 25 求得 31 411411 000000 411000 rr 23 01 1 0 14 XX 由于每个特征值的几何重数等于代数重数 则矩阵为单纯矩阵 i A 则 1 11011411 1 20102030 3 21142111 APP 有 2 个互异的的特征值 取A 123 1 2 1 10 2 2ff 12 101 010 411 0 10 111 333 114333 AA 得 2 1 12 23 1 2 2 1 2 411111 333333 10 0002010 411414 333333 ii f AAAI f PfP f fAfAfA 2 4 矩阵的奇异值分解 2 4 1 矩阵的奇异值分解基本概念 定义 2 9 对于 矩阵的特征值为 m n AC rank Ar H A A 称正数为矩阵的奇 1212 0 0 rrrn 1 2 ii ir A 异值 简称的奇异值 A 定理 2 10 设矩阵 是矩阵的奇异值 则存在 m n ACrank Ar 12 0 r A 酉矩阵 分块矩阵使 m n UC n n VC 0 00 m n C 0 00 H AUV 其中 湖北师范学院数学与统计学院 2015 届学士学位论文 设计 26 1 2 n 证明 已知 设的个特征值按大小排列为rank rank H A AAr H A An 对于正规矩阵 存在酉矩阵 使 121 0 0 rrn H A A n n VC 1 2 0 000 0 rHH n n VA AV 将按列分块为 它的个列向量是对应于特V 12 n Vv vv n 12 n v vv 的标准正交的特征向量 12 n 为了得到酉矩阵 首先考查中的向量组 U m C 12 r Av AvAv 0 HHHHH ijjijijiiiij Av AvAvAvv A Avvvv vij 所以是中的正交向量组又 12 r Av AvAv m C 2 2HHH i