2011届高考数学单元总复习课件12

第二节等差数列 基础梳理 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用d表示 2 等差数列的通项公式一般地 对于等差数列 an 的第n项an 有an a1 n 1 d 这就是等差数列 an 的通项公式 其中a1为首项 d为公差 3 等差中项如果三个数a A b组成的数列是等差数列 那么 把叫做a和b的等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m N 2 若 an 为等差数列 且p q m n p q m n N 则ap aq am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为2d 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 是等差数列 5 若 an 是等差数列 则ak ak m ak 2m k m N 组成公差为md的等差数列 5 等差数列的前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 其前n项和 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系数列 an 是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn f n 是n的二次函数且常数项为0 即Sn an2 bn 7 在等差数列 an 中 若a1 0 d 0 则Sn存在最大值 若a1 0 d 0 则Sn存在最小值 典例分析 题型一等差数列的基本运算 例1 2008 全国 等差数列 an 中 a4 10 且a3 a6 a10成等比数列 求数列 an 前20项的和S20 分析用a4与d表示a3 a6 a10 根据等比中项的性质 知a26 a3a10 列方程求出d 进而根据a4与d求出首项a1 即可求S20 或用a1 d表示a3 a4 a6 a10 再列方程求出a1和d 然后求出S20 解设数列 an 的公差为d 则a3 a4 d 10 d a6 a4 2d 10 2d a10 a4 6d 10 6d 由a3 a6 a10成等比数列 得a3a10 a26 即 10 d 10 6d 10 2d 2 整理得d2 d 0 解得d 0或d 1 当d 0时 S20 20a4 200 当d 1时 a1 a4 3d 10 3 1 7 所以 学后反思等差数列 an 中一共涉及五个基本量 即首项a1 第n项an 项数n 公差d以及前n项和Sn 在a1 an n d Sn中只要知道其中三个 其他两个就能求 简称 知三求二 其中a1与d是最基本的两个量 往往用它们表示其他的量列出方程 组 进一步求解 另外等差数列的通项公式an a1 n 1 d 前n项和公式以及其性质公式应在解题过程中灵活应用 举一反三 2009 全国 已知等差数列 中 求 an 的前n项和 解析 设 的公差为d 则即解得或所以 当时 当 题型二等差数列的判定 例2 2009 启东模拟 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足 1 求证 是等差数列 2 求an的表达式 分析 1 由已知条件联想 n 2 然后再利用等差数列的定义证明 n 2 为常数 2 根据等差数列的通项公式求出 代入 n 2 即可求出 2 由 1 知当n 2时 有又 n 1时 解 1 证明 an Sn Sn 1 n 2 Sn 1 Sn 2Sn Sn 1 Sn 0 由等差数列的定义知是以为首项 以2为公差的等差数列 2 判断等差数列最常用的方法是定义法an 1 an d n N 和等差中项法an 1 an 1 2an n N 且n 2 举一反三2 2009 湖北改编 已知数列 的前n项和 n为正整数 令 求证 数列 是等差数列 并求数列 的通项公式 学后反思 1 数列 an 是等差数列 an an 1 d n N 且n 2 d为常数 或an 1 an d n N an 1 an 1 2an n N 且n 2 an kn b k b为常数 Sn An2 Bn A B为常数 即当n 2时 又 数列 是首项和公差均为1的等差数列 于是 解析 在中 令n 1 可得 即当n 2时 即 题型三等差数列性质的应用 例3 1 2008 宁夏 海南 已知 an 为等差数列 a3 a8 22 a6 7 求a5 2 等差数列 an 的前m项和为30 前2m项和为100 求它的前3m项的和 分析 1 由等差数列的性质a3 a8 a6 a5 即可求出a5 或用a1与d表示出a3 a8 a6 根据已知条件列出关于a1与d的方程组 求出a1与d的值 然后根据等差数列的通项公式求出a5 2 由等差数列 an 的前n项和Sn的性质知Sm S2m Sm S3m S2m也成等差数列 即由2 100 30 30 S3m 100 可求出S3m 解 1 方法一 由等差数列的通项公式得 a5 a1 4d 47 32 15 方法二 由等差数列的性质 得a3 a8 a5 a6 a5 15 2 方法一 Sm a1 a2 am S2m Sm am 1 am 2 a2m S3m S2m a2m 1 a2m 2 a3m S2m Sm Sm m2d S3m S2m S2m Sm 所以Sm S2m Sm S3m S2m成等差数列 从而有2 S2m Sm Sm S3m S2m S3m 3 S2m Sm 210 方法二 将Sm 30 S2m 100代入得 解方程组得 方法三 由等差数列 an 的前n项和公式知Sn是关于n的二次函数 即Sn An2 Bn A B是常数 将Sm 30 S2m 100代入上式 得 S3m A 3m 2 B 3m 210 学后反思 1 运用通项公式an a1 n 1 d和前n项和公式 结合方程思想是解决此类问题的通用方法 举一反三3 2010 滨州模拟改编 等差数列 an bn 的前n项和分别是Sn Tn 且 解析 利用等差数列的性质 若m n p q 则 答案 题型四数列中的最值问题 例4 14分 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为Sn 且S10 S15 求当n取何值时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 分析 1 由a1 20及S10 S15可求得d 进而求得通项 由通项得到此数列前多少项为正 或利用Sn是关于n的二次函数 利用二次函数求最值的方法求解 2 利用等差数列的性质 判断出数列从第几项开始变号 解方法一 即当n 12时 an 0 当n 14时 an 0 当n 12或13时 Sn取得最大值 且最大值为方法二 同方法一求得 n N 当n 12或13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130方法三 同方法一求得 又由S10 S15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或13时 Sn有最大值 最大值为S12 S13 130学后反思求等差数列前n项和的最值常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 3 利用等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 为二次函数 根据二次函数的性质求最值 解析 1 依题意 得即 由 得 将 式分别代入 式 得因此 2 方法一 由d 0 可知因此 若在1 n 12中存在自然数n 使得 则就是中的最大值 由于 即 因此 故在中的值最大 方法二 由d 0 可知因此 若在1 n 12中存在自然数n 使得 则就是中的最大值 由故在中 的值最大 易错警示 例 等差数列 an 中 a1 5 从第10项开始为正数 则公差d的取值范围为 错解由错解分析此解法忽略了条件a9 0 学生由于未能理解 从第10项开始为正数 的含义 主观认为a10 0 导致答案不够完整 因此学生在审题过程中一定要深刻把握题设条件的隐藏含义 避免出现类似的错误 正解由题意知a10 5 9d 0且a9 5 8d 0 10 2008 山东改编 已知 求f 2 f 4 f 8 f 的值 解析 令 即 f 2 f 4 f 8 f 11 2009 盐城模拟 数列 an 的首项a1 3 通项an与前n项和Sn之间满足2an SnSn 1 n 2 1 求证 是等差数列 并求公差 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 当n 2时