2011届高中数学第一轮总复习 第80讲极坐标系及简单的极坐标方程课件（理科）新人教A版

第十二单元坐标系与方程 知识体系 1 坐标系 1 理解坐标系的作用 2 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 3 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别 能进行极坐标与直角坐标的互化 4 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 的方程 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程 理解用方程表示平面图形时选择适当的坐标系的意义 5 了解柱坐标系 球坐标系中表示空间中点的位置的方法 并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较 了解它们的区别 2 参数方程 1 了解参数方程 了解参数的意义 2 能选择适当的参数写出直线 圆和圆锥曲线的参数方程 3 了解平摆线 渐开线的生成过程 并能推导出它们的参数方程 4 了解其他摆线生成过程 了解摆线在实际中的应用 了解摆线在表示行星运动轨道中的作用 极坐标系及简单的极坐标方程 第80讲 极坐标系及简单的极坐标方程 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 能进行极坐标与直角坐标的互化 掌握直线与圆的极坐标方程 1 已知点M 则M点关于极点对称的点N的极坐标是 A A B C D 2 2 已知点M的直角坐标为 2 2 则其极坐标是 B A 2 B 2 C 2 D 2 3 在极坐标系中 过点M 2 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 sin 2 如图 设P 为直线上任意一点 在Rt OMP中 cos 2 即 sin 2 4 极坐标方程为 2cos 的圆的半径是 1 5 极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是 cos 是圆心为 0 半径为的圆 sin 是圆心为 半径为的圆 故两圆的圆心距为 1 坐标系的类型 1 直线上的点的坐标 2 平面直角坐标系 3 系 4 柱坐标系 5 球坐标系 2 坐标之间互化 1 极坐标M 化为平面直角坐标M x y 极坐标 x cos y sin 2 空间点P的直角坐标 x y z 与柱坐标 z 之间的变换公式为 x cos y sin z z 柱坐标系又称半极坐标系 它是由平面极坐标系及空间直角坐标系的一部分建立起来的 3 空间点P的直角坐标 x y z 与球坐标 r 之间的变换关系为x rsin cos y rsin sin z rcos 3 直线与圆的极坐标方程 y xtan sin p sin b x a r x2 2rx y2 0 2 rsin 题型一点的极坐标表示 例1 点P 与曲线C sin的关系是 因为点P 与点P 是同一点 且sin sin 所以点P 在曲线C sin上 故点P 在曲线C sin上 点A 0 则点A的极坐标的一般形式为A 2k 或 2k 1 k Z 点A 5 在条件 1 0 2 0 下的极坐标是 2 0 2 4 下的极坐标是 1 当 0时 点A 5 的极坐标的一般形式为 5 2k k Z 由 2 0 得 2 2k 0 k Z 解得k 1 所以 2 所以满足条件的点A的极坐标为 5 5 5 2 当 0时 点A 5 的极坐标的一般形式是 5 2k 1 k Z 由2 4 得2 2k 1 4 解得k 1 所以 3 故满足条件的点A的极坐标为 5 题型二直角坐标方程与极坐标方程的互化 例2 化下列直角坐标方程为极坐标方程 1 x2 y2 2ax 0 2 x y 0 3 x2 y2 2x 1 将 2 x2 y2 x cos 代入 得 2 2 acos 0 即 2acos 或 0 而 0恒表示极点 曲线 2acos 过极点 故所求极坐标方程为 2acos 2 将x cos y sin 代入 得 cos sin 0 即 0或tan 1 由tan 1 得 而 0表示极点 直线 R 过极点 故所求极坐标方程为 R 3 将x cos y sin 代入 得 2cos2 2sin2 2 cos 即 0或 而 0表示极点 过极点 故所求极坐标方程为 1 注意极坐标与直角坐标的互化需满足三个条件 原点与极点重合 x轴正半轴与极轴重合 长度单位相同 2 注意极坐标与直角坐标互化中的等价性 特别是两边同乘以 时 要注意 0是否是方程的解 若不是 要去掉该解 1 曲线的极坐标方程为 cos sin 则其直角坐标方程为 轨迹为 2 已知直线的极坐标方程为 sin 则极点到该直线的距离是 1 由 cos sin 两边同乘以 得 2 cos sin 将 2 x2 y2 cos x sin y 代入得x2 y2 x y 0 又极点在曲线 cos sin 上 故所求为x2 y2 x y 0 其轨迹为以 为圆心 为半径的圆 2 方法一 由 sin 得 sin cos 1 将 cos x sin y 代入得x y 1 0 由点到直线的距离公式得 方法二 将方程化为 由于 sin 1 所以 min 即极点到直线的距离为 题型三求极坐标方程 例3 过极点O的直线和直线 cos 4交于点M 在OM上取一点P 使OM OP 12 求点P的轨迹的方程 并说明轨迹是什么曲线 设点M的极坐标为 1 1 点P的坐标为 1 12 1 又因为 1cos 1 4 则 cos 4 即 3cos 故轨迹是以 1 5 0 为圆心 1 5为半径的圆 则 求动点的极坐标轨迹方程的步骤与在直角坐标系中求轨迹方程类似 且关键是从几何的角度获得动点P 的关系式 已知在 ABC中 AB 6 AC 4 当 A变化时 求 A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹 取A为极点 AB所在射线为极轴 建立极坐标系 因为AP平分 BAC MP为BC的中垂线 所以PB PC 设P 0 且 0 则PC2 AP2 AC2 2AP ACcos 2 16 8 cos PB2 AP2 AB2 2AP ABcos 2 36 12 cos 所以 2 16 8 cos 2 36 12 cos 即 cos 5 0 且 0 所以点P的轨迹是与AB垂直且与A的距离为5的一条直线 除去垂足 题型四极坐标及极坐标方程的应用 例4 已知A B两点的极坐标分别为 3 5 求 AB 和 AOB的面积 其中点O为极点 在 AOB中 因为A B两点的坐标分别为 3 5 则A B两点的坐标可化为 3 5 因而OA OB两边长分别为3 5 夹角 AOB 所以 AB 2 OA 2 OB 2 2 OA OB cos AOB 34 15 所以 AB S AOB A B sin AOB 3 5 sin 有关在极坐标系中求线段的长或平面图形面积等问题的求解 关键是应用点的极坐标的几何意义 同时应注意 若 0 且点M 与P 关于极点对称 已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为 cos 3 4cos 0 0 则曲丝C1与C2的交点的极坐标为 cos 3 4cos 2 联立方程组 0 0 解得 即两曲线的交点为 2 2 已知圆的极坐标方程为 2 2 cos sin 5 0 求直线 截圆所得弦AB的长度 方法一 圆的直角坐标为 x 1 2 y 3 2 9 直线的直角坐标方程为y x 即x y 0 又圆心 1 到直线x y 0的距离为d 则弦长为2 2 2 2 cos sin 5 0 解得 2 2 5 0 解得 1 1 2 1 从而弦长为 1 2 2 方法二 由 1 极坐标系和极坐标的理解 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于 平面直角坐标系中 平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的 而极坐标系中 对于给定的有序数对 可以确定平面上的一点 但是平面内的一点的极坐标 却不是惟一的 一般的 若 是点M的极坐标 则 2k k Z 2k k Z 也都是点M的极坐标 总之 点M 的极坐标可以是 2k k Z 当规定 0 0 2 以后 平面内的点 除极点外 与有序数对就可以一一对应了 2 极坐标与直角坐标的互化注意事项 1 极坐标和直角坐标的互化公式是x cos 2 x2 y2y sin tan x 0 这两组公式必须满足下面的 三个条件 才能使用 原点与极点重合 x轴正半轴与极轴重合 或 长度单位相同 极坐标和直角坐标的互化中 需注意等价性 特别是两边同乘以 n时 方程增了一个n重解 0 要判断它是否是方程的解 若不是要去掉该解 2 由极坐标方程给出的问题 若不好处理 就直角坐标化 由直角坐标方程给出的问题 若用极坐标方法处理较为简便 就极坐标化 3 慎用tan 如点M的直角坐标为 1 1 化为极坐标时 由tan 1不能确定 的取值 必须结合 1 1 所表示的点所在象限的情况确定其极坐标为 2 3 极坐标方程的应用及求法 1 合理建立极坐标系 使所求曲线方程简单 2 巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式 把问题转化为熟悉的知识解决问题 3 利用解三角形方法中正弦定理 余弦定理列出两极坐标 是求极坐标系曲线方程的法宝 4 常用结论 极坐标系内点的对称关系 1 点P 关于极点的对称点为P 2 点P 关于极轴所在直线的对称点为P 3 点P 关于直线 的对称点为P 4 点P 关于直线 的对称点为P 5 在极坐标下 A 1 1 B 2 2 间的距离 AB 2009 辽宁卷 在直角坐标系xOy中 以O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C的极坐标方程为 cos 1 M N分别为C与x轴 y轴的交点 1 写出C的直角坐标方程 并求M N的极坐标 2 设MN的中点为P 求直线OP的极坐标方程 1 由 cos 1得 cos sin 1 从而C的直角坐标方程为x y 1 即x y 2 0时 2 所以M 2 0 时 所以N 2 M点的直角坐标为 2 0 N点的直角坐标为 0 所以P点的直角坐标为 1 则P点的极坐标为 所以直线OP的极坐标方程为 2007 海南 宁夏卷 O1和 O2的极坐标方程分别为 4cos 4sin 1 把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过 O1和 O2交点的直线的直角坐标方程 1 以极点为原点 极轴为x轴正半轴 建立直角坐标