第二节分布特性2007.11

一 交通流统计分布的含义与作用 在设计新交通设施或确定新的交通管理方案时 需要定量地预测交通流的某些具体特性 并且希望能用现有的或假设的有限数据 对将来的交通情况作出预报 下面举2个例子 例1 在某一信号灯控制交叉口的一个进口道上 每分钟最多能通过的车辆数是10辆 若某小时内到达该进口道上的车辆为600辆 请问 这600辆车能否在一小时内通过该进口道 分析 从理想条件来说 是可以通过该交叉口 但事实上 600辆车到达有一定的随机性 不可能每分钟都刚好到10辆 因此 一般来说 1小时内不能通过600辆车 但也有可能可以通过600辆 那么就要求计算能通过600辆的概率是多大 例 在某条单向行驶的道路上 如果车头时距大于10秒 行人就可在 车的间隔时间内横穿马路 设某小时内该路段的车流量为 辆 试问 行人能否在该小时内横穿马路 分析 流量为400的车流 其车头时距为 3600 400 9 S 辆 即平均每9s便有一辆车到达 而行人过马路要10s 那么在这一小时内是否就不能穿越马路了呢 当然不是 因为有可能出现车头时距大于10s的时候 问题是这种机会在1小时内可能出现多少次 为了作出类似上述问题的各种预测 必须掌握交通现象的随机性分布规律 即交通特性的统计分布规律 描述交通现象随机性的统计分布规律的方法有 种 以描述可数事件的离散型分布为工具 考察在固定长度的时间或距离内到达某场所的交通数量的波动性 以描述事件之间时间间隔的连续型分布为工具 研究事件发生的间隔时间或距离的统计分布特性 在交通工程学中 常把离散型分布称为计数分布 但连续型分布根据其应用场合的不同 有不同的称谓 例如间隔分布 车头时距的概率分布 可穿越空档分布 速度分布等 二 离散型分布 计数分布 在一定的时间间隔t内到达的车辆数或在一定长度路段上分布的车辆数总是变化的 是随机变量 要想准确预测随机变量 车辆到达数或分布数 的值是不可能的 故只能采取预测其概率P 为此 有必要找出与实测分布较为贴近的理论分布模型 描述这类随机变量统计规律的方法常用离散性分布模型 目前 常用的离散性分布模型有泊松 Poisson 分布 二项分布和负二项分布等 泊松分布 1 泊松分布的基本公式若某车流在一定时间间隔t内到达的车辆数k或在一定路段长度上分布的车辆数k的概率P k 为 P k t k e t k k 0 1 2 式中 P K 在计数间隔t内到达K辆车的概率 车辆平均到达率 Vch s t 每个计数间隔持续的时间 s e 自然对数的底 取值为2 71828 则称该车流的到达规律服从泊松分布 到达数小于k辆车的概率 到达数小于等于k辆车的概率 到达数大于k辆车的概率 到达数至少是x但不超过y辆车的概率 若令m t 则m为计数间隔t内平均到达的车辆数 又被称为泊松分布的分布参数 所以P k mk e m k 如果已知m 则可以利用上式求出在计数间隔t内到达或在一定长度内分布k辆车 个人 的概率 此外 还可以利用下列扩展公式求出 当k 0时 当k 1时 当k 2时 当k 3时 当k k 1时 这样可以用泊松分布的递推公式计算出到达数 或分布数 从0到k的分布概率 2 泊松分布的递推公式 3 分布参数m的估计以及均值M和方差D的计算 A 分布参数m的估计在用泊松分布拟合观测数据时 往往分布参数m是未知的 但根据概率统计的知识 分布参数m可以用观测数据进行估计 估计公式为 式中 g 观测数据的分组数 fj 计数间隔t内到达kj辆车 人 这一事件发生的频 次 数 kj 计数间隔t内到达数或各组的中值 N 观测的总计数间隔数 B 均值M和方差D的计算 如果用M表示泊松分布的数学期望 又称均值 D为方差 则在泊松分布中 M D m t 4 泊松分布的适用条件泊松分布适用于车流密度不大 车辆之间相互影响微小的车流状态 在这种状态下 可以认为其它外界的干扰因素也基本上不存在 根据数理统计知识 泊松分布的理论均值M和方差D均为 t 即均值等于方差 而观测数据的实际均值和方差 分别用m和S2表示 且又都为无偏估计 因此 如果观测数据的S2 m接近1时 可以认为用泊松分布来拟合观测数据比较适合 但如果S2 m显著地不等于 即说明用泊松分布拟合是不适合 观测数据的方差S2可按下式计算 S2 1 N 1 kj m 2 fj 符号含义同上 设有60辆车随机分布在4km长的道路上 求任意400m路段上有4辆车以上的概率 解 把公式中的t理解为计算车辆数的空间间隔 即t 400m 则车辆在空间上的分布服从泊松分布 为在单位空间间隔长度上的平均分布率 即 60 4000 辆 m 则空间间隔长度上的平均分布数 泊松分布参数 为 m t 60 4000 400 6 辆 400m 在400m路段上分布n辆车的概率可用递推公式 P 0 e m P k 1 m k 1 P k 计算 P 0 e 6 0 00248 P 1 6 0 1 P 0 0 0149 P 2 6 1 1 0 0149 0 0446 P 3 6 2 1 P 2 0 0892 则在400m路段上分布不足4辆车的概率为 P 4 P k P 0 P 1 P 2 P 3 0 1512 在400m路段上分布有4辆及4辆以上车的概率为 P 4 1 P 4 0 8488 答 在任意400m长度上有4辆车以上的概率为0 8488 5 举例 二项分布 Binomial 二项分布的基本公式式中 P k 在计数间隔t内到达k辆车 或人 的概率 单位时间间隔的平均到达率 辆 S t 每个计数间隔持续时间 s 或距离 m n 正整数 计算得到 由于 t为某一时间间隔内的平均到达数 必定为 0 t n 若记p t n 则0 p 1 因此 上式可写成 k 0 1 2 n 其中n p为二项分布的参数 若p已知 可算出在计数间隔t内到达数等于k辆车 个人 的概率 此外 在计数间隔t内到达数小于k辆车 个人 的概率为 在计数间隔t内到达数大于k辆车 个人 的概率为 当k 0时 P 0 n 0 n 0 p0 1 p n 1 1 1 p n 1 p n 当k 1时 P 1 n 1 n 1 p1 1 p n 1 n p 1 p 1 p n n p 1 p P 0 当k 2时 P 2 n 2 n 2 p2 1 p n 2 n n 1 2 p2 1 p 2 1 p n n 1 2 p 1 p n p 1 p 1 p n n 1 2 p 1 p P 1 当k 3时 P 3 n 3 n 3 p3 1 p n 3 n n 1 n 2 2 3 p3 1 p 3 1 p n n 2 3 p 1 p n n 1 2 p2 1 p 2 1 p n n 2 3 p 1 p P 2 当k 4时 P 4 n 4 n 4 p4 1 p n 4 n n 1 n 2 n 3 2 3 4 p4 1 p 4 1 p n n 3 4 p 1 p n n 1 n 2 2 3 p3 1 p 3 1 p n n 3 4 p 1 p P 3 当k k时 P k n k n k pk 1 p n k n n 1 n 2 n 3 n k 1 2 3 4 k pk 1 p k 1 p n n k 1 k p 1 p n n 1 n 2 n k 2 2 3 4 k 1 p k 1 1 p k 1 1 p n n k 1 k p 1 p P k 1 当k k 1时 P k 1 n k k 1 p 1 p P k 2 二项分布的递推公式 3 二项分布的均值M及方差D根据概率统计知识 对于二项分布 其均值M和方差D分别为 M np D np 1 p 在二项分布中 M D 这与泊松分布不同 这 式表示二项分布到达的均匀程度高于泊松分布 同样 由于观测数据的均值m和方差S2均为无偏估计 所以m和S2的计算公式为 式中 N 观测的计数间隔总数 ki 计数间隔内的到达数或各组的中值 fi计数间隔内到达kj辆车 人 这一事件发生的次 频 数 g观测数据的分组数 Xi为各个观测数据 故用二项分布拟合观测数据时 可通过计算观测数据样本的均值m和方差S2 分别代替理论分布的M D 即M m np D S2 np 1 p 可以求出二项分布的分布参数 n p 的估计值 从而估计分布参数的估计值 可得到分布函数 由m np和S2 np 1 p 可得 p m S2 m n m p m2 m S2 适用条件适合于描述车流比较拥挤 车辆自由行驶的机会少的车流 当观测数据的S2 m小于1 0 即为二项分布的适合条件 应该注意的是 当交通密度很大时 掌握泊松分布的有关计算公式 特别注意分布参数m和观测数据方差的计算 掌握二项分布的有关计算公式 特别注意分布参数n p和观测数据均值和方差的计算 了解二项分布的适用场合和缺陷 作业三1 已知行人横穿某单行道路所需的时间大于9秒 该道路上的机动车交通量为400辆 小时 车辆到达服从泊松分布 试求一小时内对应于该交通量行人不可穿越的车间隔数 2 某信号控制交叉口周期长度为90秒 已知该交叉口的某进口道的有效绿灯时间为45秒 进口道内的排队车辆以1200辆 小时的饱和流量通过交叉口 其上游车辆的到达率为400辆 小时 且服从泊松分布 试求 1 一个周期内到达车辆不超过10辆的概率 2 周期到达车辆不会两次停车的概率 小结 六 某条公路上 在上午高峰期间 以15s的间隔观测到达的车辆数 见下表1 试用二项分布拟合它们的分布规律 并求到达2 9 13辆车的可能性有多大 1 m 3 0 3 3 4 0 5 8 6 10 7 11 8 10 9 11 10 9 11 1 12 1 0 3 0 8 10 11 10 11 9 1 1 0 478 64 7 4692 S2 1 N 1 kj m 2fj 0 59 9 0 48 77 21 58 2 42 2 82 25 78 57 65 12 47 20 53 0 63 3 227由于S2 m 即S2 m显著地小于1 0 说明可以用二项分布拟合 3 二项分布的理论均值M和方差D为 M m 7 469 D S2 3 227 4 二项分布参数n p为 p m S2 m 7 469 3 227 7 469 0 568 n m p m2 m S2 7 469 0 568 13 15 取为13 5 应用举例 解 上表内的数据是原始记录数据 经整理后得到下表所示 将二项分布的分布参数n p代入二项分布函数式 得 通过该式可以计算出 在计数间隔t内到达5和9辆车的概率 P 2 0 00246 0 246 P 9 0 1532 15 32 P 13 0 064 答 到达2 9 13辆车的可能性分别为0 246 15 32 和0 064 当然 对于这一问题如果用泊松分布来拟合 可能得到不同的结果 在计数间隔t内的平均到达车辆数为 m 7 469 则用泊松分布的递推公式计算如下 P 0 e m 5 7094 10 4 P 1 7 469 0 1 P 0 0 00043 P 2 7 469 1 1 P 1 0 01593 P 3 7 469 2 1 P 2 0 03965 P 4 7 469 3 1 P 3 0 07403 P 5 7 469 4 1 P 4 0 11059 P 6 7 469 5 1 P 5 0 13767 P 7 7 469 6 1 P 6 0 14689 P 8 7 469 7 1 P 7 0 13714 P 9 7 469 8 1 P 8 0 11381 P 10 7 469 9 1 P 9 0 085 P 11 7 469 10 1 P 10 0 05772 P 12 7 469 11 1 P 11 0 03593 P 13 7 469 12 1 P 12 0 02064 2 064 P 2 和P 13 明显偏大 所以不能随便套一个公式 应进行检验 拟合优度检验 X2检验从上面例子可看出 用不同理论分布对一组实际观测数据进行拟合时 会得出不同的结果 到底哪个更合适 应有对拟合质量进行评价的方法 即拟合优度检验 在交通工程中 采用X2检验 X2检验主要解决 类问题 1 某随机变量是否服从 某完全给定的概率分布 完全给定的概率分布是指不仅给出概率分布的函数式 而且给出分布的参数 2 某随机变量是否服从 某形式的概率分布 某形式的概率分布是指仅给出概率分布的函数式 但并不给出分布的参数 检验步骤1 建立原假设H0 2 选择合适的统计量 3 确定统计量的临界值 4 判定统计检验结果 X2检验 三 连续型分布 略 自学 描述事件之间时间间隔的分布称为连续型分布 连续型分布常用来描述车头时距 或穿越空档 速度等交通流特性的分布特征 1 负指数分布 1 基本公式在计数间隔t内没有车辆到达 k 0 的概率为 P 0 t k k e t e t上式表明 在具体的时间间隔t内 如无车辆到达 则上次车到达和下次车到达之间的车头时距至少有t秒 换句话说 P 0 也是车头时距等于或大于t秒的概率 于是得 P h t e t 而车头时距小于t的概率则为 P h t 1 e t若Q表示每小时的交通量 则 Q 3600 辆 s 前式可以写成 P h t e Qt 3600式中Qt 3600是到达车辆数的概率分布的平均值 若令M为负指数分布的均值 则应有 M 3600 Q 1 负指数分布的方差为 用样本的均值m代替M 样本的方差S2代替D 即可算出负指数分布的参数 此外 也可用概率密度函数来计算 负指数分布的概率密度函数为 2 适