矩阵及其运算PPT课件

第二章矩阵及其运算 矩阵是线性代数的一个主要研究对象 也是数学上的一个重要工具 矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学 人文科学 社会科学在内的各个领域 在矩阵理论中 矩阵的运算起着重要的作用 本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧 1 定义由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 排成的m行n列的数表 称m行n列矩阵 简称m n矩阵 记作 一 概念 这m n个数称为矩阵A的元素 简称为元 数aij位于矩阵A的第i行第j列 称为矩阵A的 i j 元 以数aij为 i j 元的矩阵可简记作 aij 或 aij m n m n矩阵A也记作Am n 元素是实数的矩阵 称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 行数与列数都等于n的矩阵称之为n阶方阵 记作An 2 行矩阵 列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵 又称行向量 只有一列的矩阵称为列矩阵 又称为列向量 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵 记为An 3 同型矩阵与矩阵相等 如果两个矩阵的行数相等 列数也相等 就称它们是同型矩阵 如果两个同型矩阵的对应元素相等 那么就称这两个矩阵相等 记作 A B4 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵 记作O 不同型的零矩阵是不相等的 5 对角矩阵 单位矩阵与数量矩阵如果n阶方阵除主对角线上的元素不全为零外 其余元素全为零 这样的n阶方阵称为对角矩阵 记作A diag 1 2 n 如果n阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1 其余元素全为零 这样的n阶矩阵称为n阶单位矩阵 记作En或E 如果n阶方阵主对角线上的元素全为k 其余元素全为零 这样的n阶矩阵称为n阶数量矩阵 二 矩阵的运算 1 矩阵的加法 设有两个同型的m n阶矩阵A aij B bij 则矩阵A与B的和记为A B 并规定 注 矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行 两个矩阵相加时 对应元素进行相加 矩阵加法的运算律 1 A B B A 2 A B C A B C 设矩阵A aij 记 A aij 称 A为矩阵A的负矩阵 由矩阵加法的定义 显然有A A O 由此 矩阵的减法可定义为 B B 2 矩阵的数乘 数 与矩阵 的乘积记为 A或A 并规定 由此可见 矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵 并且 是用数 与矩阵的每一个元素相乘 矩阵数乘的运算律 矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算 3 矩阵的乘法 设矩阵A为m n阶矩阵 矩阵B为n p阶矩阵 A aij m n B bij n p 则矩阵A与B的乘积为一m p阶矩阵C cij m p 记C AB 且 就是说 矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和 矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等 矩阵的乘法中 必须注意矩阵相乘的顺序 AB是A左乘B的乘积 BA是A右乘B的乘积 AB与BA不一定同时会有意义 即是有意义 也不一定相等 AB O不一定有A O或B O A X Y O且A O也不可能一定有X Y 只有方阵 它的乘幂才有意义 由于矩阵的乘法满足结合律 而不满足交换律 因而有下面的式子 1 AnAm An m 2 An m Anm 3 AB k AkBk 4 矩阵的乘幂 设A是n阶方阵 定义 5 矩阵的转置 把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT 如果A是一个m n阶矩阵 那么AT就是一个n m阶矩阵 且A的行一定就是AT中同序数的列 证明 设矩阵A为m s阶矩阵 矩阵B为s n阶矩阵 那么 AB T与BTAT是同型矩阵 又设C AB 因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji 即cji aj1b1i aj2b2i ajsbsi b1iaj1 b2iaj2 bsiajs而b1i b2i bsi正好是BT的第i行 aj1 aj2 ajs正好是AT的第j列 因此cji是BTAT的第i行第j列的元素 故 AB T ATBT 6 方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 称为方阵A的行列式 记为 A 或detA 注意 行列式与方阵是两个不同的概念 且它们的记号也是不同的 方阵的行列式满足以下运算规律 设A B为n阶方阵 为实数 2 上 下 三角矩阵 1 数量矩阵 矩阵kE称为数量矩阵 三 几类特殊的矩阵 3 行阶梯矩阵与行最简矩阵 一个m n阶矩阵A aij 它的第i行的第一个非零元素记为 如果当i k时 有ji jk时 称A为行阶梯矩阵 若矩阵B满足以下条件 1 B是行阶梯矩阵 2 B的每一非零行的第一个非零元素为1 3 每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零 称矩阵B为行最简矩阵 4 对称矩阵与反对称矩阵 设A为n阶方阵 若AT A 即aij aji i j 1 2 n 称矩阵A为对称矩阵 若AT A 即aij aji i j 1 2 n 称矩阵A为反对称矩阵 5 正交矩阵 若n阶方阵A满足AAT ATA E称A为正交矩阵 6 幂等 幂零 幺幂矩阵 若n阶方阵A满足 A2 A 称A为幂等矩阵Ak O 称A为幂零矩阵Ak E 称A为幺幂矩阵7 伴随矩阵 设A aij n n 矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵 称矩阵A的伴随矩阵 记为A 设对于n阶方阵A 若存在n阶方阵B使得AB BA E恒成立 则称矩阵A可逆 B称为A的逆矩阵 记为A 1 B 1 若矩阵A可逆 则A的逆矩阵是唯一的 证明 设A有两个逆矩阵B1 B2 则B1 B1E B1 AB2 B1A B2 EB2 B2 一 可逆矩阵的定义 二 可逆矩阵的判断 2 若 A 0 则A可逆 且 证明 由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有 AA A A A E 又 A 0 3 对于n阶方阵A B若有AB E则 A B均可逆 且它们互为可逆矩阵 证明 AB E A B 1故 A 0且 B 0 A B均可逆 且A 1 B 1 若A可逆 则 A 0证明 A可逆 AA 1 A 1A E故 A A 1 1 即 A 0同时还有 三 可逆矩阵的性质 奇异矩阵与非奇异矩阵 若n方阵 的行列式 A 0 称矩阵A为非奇异矩阵 否则矩阵A称为奇异矩阵 2 如果A B均可逆 那么AT与AB都可逆 且 AT 1 A 1 T AB 1 B 1A 1证明 A B均可逆 AA 1 A 1A E故 AA 1 T A 1 TAT ET E AT 1 A 1 T同理 AB B 1A 1 B 1A 1 AB E A 1 1A 1 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法 即矩阵的分块 将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为矩阵A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 特别在运算中 把这些小矩阵当做一个数来处理 即Aij与Bij有相同的列数与行数 则 A与B的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加 一 分块矩阵的加法 设矩阵A B是同型矩阵 且A与B有相同的分块方法 二 分块矩阵的乘法 设矩阵Am n Bn p且矩阵A列的分法与矩阵B的行的分法相同 三 分块矩阵的转置 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵 而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵 则称A为准对角矩阵 或分块对角矩阵 对于准对角矩阵 有以下运算性质 若A与B是具有相同分块的准对角矩阵 且设 四 准对角矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式 则 若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆 则矩阵A也可逆 且 五 矩阵分块的应用 六 矩阵按行 列