2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.2用二分法求方程的近似解学案新人教A版.docx

4.5.2用二分法求方程的近似解1理解二分法的原理及其适用条件2掌握二分法的实施步骤3体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想1二分法的定义对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2二分法求函数零点的一般步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的一般步骤如下：(1)确定x0的初始区间a，b，验证f(a)f(b)0；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间若f(c)0(此时x0c)，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0(此时零点x0(a，c)，则令bc；若f(c)f(b)0(此时零点x0(c，b)，则令ac.(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)(4)1在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长的线路，大约有200多根电线杆子(如下图)：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？答案(1)首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正确，断定故障在BC段，再取中点D，再测CD和BD(2)能2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求其零点()(3)精确度就是近似值()(4)由|ab|，可知区间a，b中任意一个值都是零点x0的满足精确度的近似值()答案(1)(2)(3)(4)题型一二分法的概念【典例1】(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是()Ayx7By5x1Cylog3xDyxx(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()思路导引依据二分法的定义进行判断解析(1)选项A、B、C中的函数可以直接求得零点，而选项D中的函数不可直接求得，必须用二分法求得(2)按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选A.答案(1)D(2)A二分法的2个适用条件(1)函数图象在零点附近连续不断(2)在该零点左右函数值异号针对训练1用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1Bx2Cx3Dx4解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.答案C题型二用二分法求方程的近似解【典例2】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)思路导引确定初始区间，再用二分法求解解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.68750.75|0.06250.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.变式若本例中的方程改为“lgx2x”，其他条件不变，如何求解？解在同一坐标系中，作出ylgx，y2x的图象如图所示，可以发现方程lgx2x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内设f(x)lgxx2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)0x0(1,2)；f(1.5)0x0(1.5,2)；f(1.75)0x0(1.75,2)，f(1.75)0x0(1.75,1.875)；f(1.75)0x0(1.75,1.8125)|1.81251.75|0.06250.1，方程的近似解可取为1.8125.利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n1)，nZ.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点针对训练2求的近似值(精确度0.1)解令x，则x33；令f(x)x33，则就是函数f(x)x33的零点因为f(1)20，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算列表如下：由于|1.51.4375|0.06250.1，所以的近似值可取为1.4375.题型三二分法的实际应用【典例3】现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重如何称？解先在天平左右各放4个球，有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出二分法在实际问题中的应用(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的针对训练3在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币解析将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币答案4课堂归纳小结1二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1B1,0 C0,1D1,2解析f(2)3，f(1)6，f(2)f(1)0，f(3)0，f(5)0，f(6)0，f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是()A函数f(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(1,2)内有零点C函数f(x)在区间(0,2)内有零点D函数f(x)在区间(0,4)内有零点解析由f(1)f(2)f(4)0，函数f(x)在(0,4)内有零点答案D4用二分法求方程lnx2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则下一个含解的区间是_解析令f(x)lnx2x，f(1)10，fln0，下一个含解的区间是.答案5用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)0.200f(1.5875)0.133f(1.5750)0.067f(1.5625)0.003f(1.5562)0.029f(1.5500)0.060据此数据，求f(x)3xx4的一个零点的近似值(精确度0.01)解由表中f(1.5625)0.003，f(1.5562)0.029.f(1.5625)f(1.5562)0.又|1.56251.5562|0.00630.01，一个零点近似值为1.5625(不唯一)课后作业(三十五)复习巩固一、选择题1下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31Bf(x)lnx3Cf(x)x22x2Df(x)x24x1解析因为f(x)x22x2(x)20，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点答案C2下列函数中表示的函数能用二分法求零点的是()解析由于只有图C满足图象连续，且f(a)f(b)0，故只有C能用二分法求零点答案C3下面关于二分法的叙述中，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循，无法在计算机上完成D只能用二分法求函数的零点解析用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误故选B.答案B4设函数yx2与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2) C(2,3)D(3,4)解析令f(x)x2x2，因f(1)112120，故x0(1,2)，故选B.答案B5设f(x)lgxx3，用二分法求方程lgxx30在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)0，f(2.5)0，则方程的解落在区间()A(2,2.25)B(2.25,2.5)C(2.5,2.75)D(2.75,3)解析因为f(2.5)0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.答案C二、填空题6用二分法求函数yf(x)在区间2,4上零点的近似值，经验证有f(2)f(4)0.取区间的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)解析因为f(2)f(3)0，所以零点在区间(2,3)内答案(2,3)7函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是_解析函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法，函数f(x)x2axb图象与x轴相切a24b0.a24b.答案a24b8若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054那么方程x3x22x20的一个近似解(精确到0.1)为_解析依据题意，f(1.4375)0.162，且f(1.375)0.260，方程的一个近似解为1.4.答案1.4三、解答题9画出函数f(x)x2x1的图象，并利用二分法说明方程x2x10在0,2内的解的情况解图象如图所示，因为f(0)10，所以方程x2x10在(0,2)内有解x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，解x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)0.250，所以f(1.5)f(2)0，所以f(1.5)f(1.75)0，解x0在区间(1.5,1.75)内这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似解10证明函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)证明由于f(1)10，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0(1,2)下面用二分法求解：区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.51.328(1,1.5)1.250.128(1,1.25)1.1250.444(1.125,1.25)1.18750.160因为f(1.1875)f(1.25)0，且|1.18751.25|0.06250.1，所以函数f(x)2x3x6精确度为0.1的零点可取为1.2.综合运用11在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4B2,1C.D.解析由于第一次所取的区间为2,4，第二次所取区间为2,1或1,4，第三次所取区间为，或.答案D12用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时，令f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.19180.36040.9989则由表中的数据，可得方程ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为0.1)为()A1.125B1.3125 C1.4375D1.46875解析因为f(1.25)f(1.375)0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.06250.1，因此1.3125是一个近似解，故选B.答案B13已知f(x)的一个零点x0(