换元法在不定积分和定积分中的联系与区别.docx_第1页
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别.docx_第2页
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别.docx_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.1不定积分中第一换元法的定理形式定理1 若fx=gxx，且gudu的原函数容易求出，记 gudu=Gu+c， 则fxdx=Gx+c.证明 若fx=gxx，令u=x，于是有gxdu=Gx+c，du=xdx因而fxdx=gxxdx=gxdu=Gx+c得证。1.2定积分中第一换元法的定理形式定理2 若fx连续，x在a,b上一阶连续可导，且fx=gxx，gu在和构成的区间上连续，其中a=，b=，则abfxdx=gudu.证明 令u=x，由于gu在和构成的区间上连续，记gudu=Gu+c，则abfxdx=abgxxdx =Gxab=Gu=gudu得证。1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量x给出了定义范围，要求换元函数x在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数fx的任意一个原函数Fx，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。例1 求01x1+x2dx.解 因为x1-x2dx=-12d-x21-x2=-12d1-x21-x2 =-1221-x212+C=-1-x212+C即x1-x2有一个原函数-1-x212，所以01x1-x2dx=-1-x21201=1.例2 计算积分02cos3x+5dx.解 由于cos3x+5dx=13cos3x+5d3x+5=13sin3x+5+C,于是02cos3x+5dx=13sin3x+502=13sin32+5-13sin5.2. 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别2.1不定积分中第二换元法的定理形式定理3 设fx连续，x= t及t都连续，x= t的反函数t= -1x存在且连续，并且fttdt=Ft+c， （1）则fxdx=F-1x+c （2） 证明 将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得ddxF-1x+c=Ft-1x =ftt1t= fx，这便证明了（2）式。2.2定积分中第二换元法的定理形式定理4 设fx在a,b连续，作代换x= t，其中t在和构成的区间上有连续导数t，且=a，=b，则abfxdx=fttdt.证明 设Fx是fx的一个原函数，则Ft是ftt的一个原函数。于是abfxdx=Fb-Fa，fttdt=F-F=Fb-Fa.定理得证。2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换x= t的反函数存在且连续，并且t0。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量t的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。例3 用第二换元法求解01x1-x2dx解 令x=cost，于是dx=-sintdt，其中t32,2，则01x1-x2d
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 幼儿教育

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论