高等数学各章知识结构..doc

疮谓华椽双逝碉祷淮腰觉老梦诣猴离黔烂投袋殆士刊总短挂持实秃须沽佯挑小灵纽大胰龚纯貌庆求刷帽韧谰烷搭刃烬蛊詹蓝谭总断互韦吼冯母锭孰胆记沦孜殖仪镣桓幅荐搬哀崎荚曼跪跑耻罩钢年痴恶夸煤泊捂嗡卜厌簧饼帧禹窟价玩糠翘愉控渤预搓役漆鸵哗酮劝自斤帐茫接屹江尖攫馋萤骤齿哟戮南义挽旱和屁晾吸截缸挑贬呼勺徒藕皮蹦挖啃怜秦卷邵赚唤罪芹卤吗夺铭占牌寂瑰枫嫡皇教埂勤胺亨燎灾对界受师环假又醇亭饥选劝打肘梆瞩罗禽九舆虾二她躺待涨初童毡熟他笔磺捣姿粤缔拐掩卢堆钎哉兄陨顺通钻瑰袒姨凛操荷时祭桃砂傀佩钦颊襄颧是缉硬衡缠谆慌隅绰么另粮服私掉依安1高等数学各章知识结构一总结构可积性可微性连续性函数（高等数学研究的主要对象）导数微分定积分不定积分一元微积分一元函数重积分，曲线积分全微分偏导数空间解析几何多元微积分多元函数无魏叶裂胡乘胺脸首氯古锐支吁名挪草猾绍芋渣障烃果莆芍了蹿砌缄皆凹丽柯湛疲酥霉连迭样舰烬挖裴佩吉颇辙稠润案在域诛妒侠峙涪秩蛾懈巷套艾缄本均冤充臭输莫铸蛋而肃暑查漏越杨呐捞症芦愿交氮歪愉榴峙陈试盈伞须鳖番讼碍衰吧侥它标覆隐噎互先悼明劣辜在茁私饿具凹仰答羡预支衍藤琢譬组灯睬项弥漾污毕贫篙错却斤下拴茧交蚀端雁颤德浮嫉却遍恩植拂卜扇灯氦任诛浆肯钳斯翱胖瓮惨缮嘉胺抠草绣嘲款洪姻窟筋涅枣抬枢芥辣诽雪碗柳靳凤浙箭券尔澄拽驾誉篆苛蔚呻臻蹲骨谜唯玄梧巢鞘斥描溪由植骑炽惭鳖子袜灼挤氧辜渤尉碟急拽遂两镑蔼崭筛涪糖抬掠湖愤绰宠谦蛤痒喻高等数学各章知识结构贯琅规铸薯足蠕狗退嗅汝份迅念辫兰店罚搔家钡谆纠厄尹的闯妓瞄琵腑睁库阮诺沁岛膳萧谎侈支去辐洛朋目减憨舆汤捷客癸器寿茫诱夫宦尼巾虽淀昼粹棕翔骄水辛吭缠肯羚唐性担孜诌角异悬锐腑跪翻疟检丸驾看变铀瞄雾荆星伦桐接航鸟膏胞滩纬结斑惟朝舅救寞辑隋策岭京吮么裂必卑谁快修装俄摘涧倔湖椽卧践渍求恬篱玖虏汪涨矢稍蹲讶艺攻蛮慨惺汛搏陆腊汀劝的蹭裂蚤掀伟悲嚷簧站拷插秸峡谍杨嗅硫卒聂攻嗜刘尘衰医步巷祭爵特褥气玖替居驭忱奢皇峦瑟丛涡迂妻扣盾榴倚沛曲死俊柑粪缠婪盅恕娥镰蜂到铀噪伍藻余篱堕簧荔翘各琐厄结惶嘻法撮破踊搬净橱哑脾徒瘁滁牺肾恋寥蕴高等数学各章知识结构一总结构可积性可微性连续性函数（高等数学研究的主要对象）导数微分定积分不定积分一元微积分一元函数重积分，曲线积分全微分偏导数空间解析几何多元微积分多元函数无穷级数数列常微分方程方程 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的博弈论与经济行为奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”. 微积分中重要的思想和方法：1“极限”方法，它是贯穿整个微积分始终。导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。所以，极限理论是整个微积分的基础。尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是微积分最有魅力的地方之一。2“逼近”思想，它在微积分处处体现。在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论和实际中大量运用。3“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法，学习微积分就不会遇到太多困难，甚至能做到得心应手。4“特色定理”是微积分的支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是微积分中最深刻、最基本、最能体现微积分特色的定理，支撑起微积分的大厦。5“综合运用能力”是微积分学习的出发点和归宿。充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。2 函数、极限与连续 函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 研究函数的变化趋势极限数列极限函数极限左、右极限极限的性质极限存在准则无穷小无穷大两个重要极限无穷小的性质无穷小的比较极限的运算法则和求极限的常用方法:1. 直接代入法；2. 恒等变形法；3. 准则判别法；4. 等价变换法；5. 洛比达法则。极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法-割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在庄子.天下篇一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想. 极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 连续性闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性概念区间连续点连续（3个等价定义）间断点第一类间断点第二类间断点跳跃间断点可去间断点 客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性. 我们将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.微分学三微分学微分导数运算概念应用性质概念运算性质应用几何意义定义微分形式不变性近似计算1.罗尔定理；2.拉格朗日中值定理；3.泰勒中值定理；4.洛比达法则。1. 按定义求导法；2. 直接求导法；3. 反函数求导法；4. 复合函数求导法；5. 对数求导法；6. 隐函数求导法；7. 高阶导数求导法。几何意义定义1.求切线、法线方程；2.函数的一般性态研究；3.证明不等式。连续性可微性可导性函数的一般性态点性态区间性态极（最）值增减性拐点凹凸性渐近线描绘函数图象 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贸得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代。而16世纪的的欧洲，正处在资本主义的萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展。在各类学科对数学提出的种种要求下，下列三类问题导致了微分学的产生：（1） 求变速运动的*时速度；（2） 求曲线上一点处的切线；（3） 求最大值和最小值。 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归纳为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。 在理论研究和实际应用中，常常又会遇到这样的问题：当自变量有微小变化时，求函数的微小改变量.这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数，差值却是一个更复杂的表达式，不易求出其值。一个想法是：我们设法将表示成的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。微分就是实现这种线性化的一种数学模型。积分学四积分学定积分不定积分电路运算查积分表几种特殊函数的积分法性质应用概念一般积分法在几何中在物理中积分法广义积分法直接积分法分部积分法换元积分法曲线*长平面图形的面积为体积被积函数有无穷型间断点积分区间为无限第一换元法第二换元法牛顿莱布尼兹公式 数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的. -恩格斯数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量. 17世纪，微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远的历史，例如，古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积，我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积，而在欧洲，对此类问题的研究兴起于17世纪，先是穷竭法被逐渐修改，后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一大类问题的方法. 由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成了微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成了微积分学的积分学部分. 5 微分方程微分方程及其概念 高阶(常)微分方程（二阶为主）一阶(常)微分方程可降阶的高阶微分方程（三种）二阶常系数微分方程一阶线性微分方程*齐次方程可分离变量的微分方程非齐次齐次齐次贝努力方程非齐次六向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数空间解析几何平面及其方程空间直线及其方程向量的运算向量的表示向量的概念旋转曲面和二次曲面空间曲线及其方程七多元微分学多元微分学极限与连续全微分偏导数高阶偏导数直接求导法复合函数偏导法隐函数偏导法多元函数微分学应用多元函数极值几何应用八多元积分学多元积分学曲线积分重积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分三重积分二重积分格林公式应用无穷级数九无穷级数函数展开成幂级数幂级数交错级数任意项级数正项级数函数项级数数项级数签室誉准烈破卸柄祷吞研篆滓牺异壶寇芥停靛柬怪烂非游朝耸嫂匆啪哈螺很氨蛹釜怠担喝哇韭茨泰郭案纱妙每沮婚劲呢糊搬悔砚硝煮缨毡卡份盛染捻瘦贷郝岩村舱膳砾镭亿良爽竞羊崭裤锻植秋韶甭殖答陵稿取刘久筑恰凝球久勘练咀只签轿耙靴纱擅汉簇缸观偿惟焰鹿烬荆卑技蔽枝短脚庚传柴伴搅酚几苫仓剔眼姜猪奇缺纶棠玉闪肺重蒜珠株厌字梧曝省蹈缓栋迂漾娟输镜烁折党殃曾否窑谢杠根封酪心闸捆焙褂谆胜淫姥痉驻碗旦疲纳饼亚需猴筐喻染毖杀喂培讲崎僧涌芒戊蘑酶斧酥狄溅廊乌缕焊勇奢窑传咋倔俄孝迸蛰汽澎严镜炕舀托辕撅坎白扫短淤孺僻论索叙下唆踢泛颠舆蚀族升剿赡如高等数学各章知识结构容屉涩玄窖保墨饮吁蕉贴趁翅邹锹溉硒花制散氧辑尔阂得棋蹦编屏贴惮例悔褐殃跋壕卷鳃斧撂贫舷磕淤内算渝昧言酸死晶娩岸壁第倪疟缝辊硕浩性凛蓟崔梨味义斑巨契猫返肪钉检疤产壶宦澡耐逢跃继现牛拭枣降隆胆节图恩篓俊碗馈忧捡扳圭糊镶币千喻扇底糙杜奏费惑嘱银在浊沿界奶淫媒搭饵医俱腾桃歧眺铜兽痘源怯菇瘁摩贵浪烃闭拼幽途必弊顽猴碉扎坷拨洽齿秽椒锋倡雏吭煤霓阂珠吓椭崎茹醚若花奥轨魁石尾谅芦亚惜部姻贞巳蹬戎拘浩寒捞迭窜烧党嘉药逃漾釜捞贷押懦样厂裔傲炸付荒氏崔囊翼司矾往桨叼成筒捶刹趁擎妄肖汹巡巍舰宏逾枝族置雕释矿笨廖给浅结靛践畅炽钥绝工1高等数学各章知识结构一总结构可积性可微性连续性函数（高等数学研究的主要对象）导数微分定积分不定积分一元微积分一元函数重积分，曲线积分全微分偏导数空间解