连续周期信号时域采样频谱分析程序设计初稿

连续周期信号时域采样频谱分析程序设计摘要信号的频谱分析是信号与系统分析的基础，本文分析了用数值计算以及使用MATLAB软件与mathematica软件的方法实现连续周期信号的时域采样频谱分析。数值计算即使用傅里叶级数展开方法进行连续周期信号的频谱分析，使用软件计算即设计实用的程序进行周期信号的时域采样频谱分析。关键词频谱分析；傅里叶级数；MATLAB软件；mathematica软件ContinuousperiodicsignalspectrumanalysisintimedomainsamplingprogramdesignAbstract:RepairingSpectralanalysisofthesignalisthebasisofsignalsandsystemsanalysis,thispaperanalyzesthespectralanalysisoftime-domainsamplestoachievecontinuousperiodicsignalswithnumericalcalculationsandtheuseofMATLABsoftwareandmathematicasoftwaremethod.NumericalcalculationsthattheuseofFourierseriesexpansionmethodforspectralanalysisofcontinuousperiodicsignal,calculatedusingthesoftwareprogramthatisdesignedandpracticalperiodicsignalinthetimedomainsamplingspectrumanalysis.Keywords:SpectrumAnalysis;Fourierseries;MATLABsoftware;mathematicasoftware目录1引言.12周期信号频谱分析的傳里叶级数展开方法.12.1傅里叶级数.12.1.1周期信号的分解.22.1.2指数形式傅里叶级数.32.2连续时间傅里叶级数的基本性质.52.2.1线性.52.2.2卷积特性.52.2.3微分特性.52.3技巧性方法.52.3.1频移方法.52.3.2求导方法.73周期信号的频谱分析方法.73.1已知变化规律的周期连续信号频谱识别方法.73.2未知变化规律的周期连续信号频谱识别方法.83.3未知周期信号的频谱的理论方法和计算技巧.84Mathematica软件计算方法.105结束语.146致谢.15参考文献.15第0页共16页1引言随着计算机的发展，数字信号处理的理论与技术得到飞速发展，20世纪60年代以来，我国形成了一系列的数字信号处理的理论与算法，比如，数字滤波器，快速傅立叶变换（FFT），这些都是数字信号处理的技术基础，随着信息科技的飞速发展，信号处理取得了重大的飞跃。信号的频谱分析是数字信号处理中的一个很重要的研究课题，对信号进行频谱分析，是对其进行傅里叶变换，得到其振幅谱与相位谱。对于信号来说，分模拟信号与数字信号。进行频谱分析时，对于模拟信号来说，首先对其进行抽样，使其离散化，然后利用离散傅里叶变换（DFT）或者快速傅里叶变换（FFT），然后对其幅度（ABS）和相位（ANGLE）的图像进行分析，而对于数字信号来说，则可直接进行离散傅里叶变换或快速傅里叶变换。在现实生活中对于信号进行频谱分析具有重要的意义。通过对信号频谱的分析，可以得到信号的频率结构，了解信号的频率成分或系统的特征。在此基础之上，可实现对信号的跟踪控制，从而实现对系统状态的早期预测，发现潜在的危险并诊断可能发生故障的原因，对系统参数进行识别及校正。因此，频谱分析是揭示信号特征的重要方法，也是处理信号的重要手段。频谱分析工作在许多科学技术领域都会遇到。首先，在无线电技术的许多方面，例如通讯、地震测量、电信、导航、雷达、电子对抗、空间技术等；此外，由于光象波、机械震动、冲击、响声等各种非电量都可以通过所谓换能器转换成电流或电压的变化来方便地分析，所以，频谱分析在各种振动、噪声、电声、发动机、建筑、生物、医学等领域也起重要作用。许多工程设计都要对振动频率进行认真分析。如果外界强迫振动的频率与某物体的固有频率相近会发生共振。如电动机转动时会引起台座的受迫振动，作用力的频率如果接近机器某部分的固有频率，就可能因共振而引起损坏；轮船和码头会经常收到海浪的周期性冲击，冲击频率如果与船体或码头结构的固有频率相近，也会引起船头或码头的损坏。这就需要研究清楚各海域海浪的频率范围，避免共振的发生；在地震过程中，建筑物的固有频率如果与地面振动的固有频率相近，及时地震烈度较低，也可能激发建筑物产生剧烈震动而导致损坏。所以，建筑工程师对于一栋建筑物的动力学特征，如固有频率，振型，阻尼等是需要认真研究清楚的，特别要避开经常出现起主导作用的地震频率；研制发动机的科学家们为了弄清楚发动机活塞在不同运行速度下的性能，他们在活塞边缘事先嵌入一个微型无线电发射机，这个发射机可以在实际运行条件下把活塞所收到的各种应力和振动的详细信息通过无线电信号发射过来，科学家对这些信号进行频谱分析和其他分析就可以对活塞性能进行正确直观的评价；研制飞机的科学家们需经常做一中所谓疲劳实验。因为在飞机飞行过程中，他的机翼一方面收到发动机的振动，一方面受到不均匀气流的不断冲击，引起机翼金属应力不断变化。虽然这成千上万次的小振动幅度和能量均很小，但是累计下来也是很大的能量，为了避免发生意外，科学家们也要对这些振动进行频谱分析，以保证飞机的正常运行。在工程领域中，MATLAB软件和mathematica软件是一种倍受程序开发人员青睐的语言，对于一些需要做大量数据运算处理的复杂应用以及某些复杂的频谱分析算法MATLAB显得游刃有余1。第1页共16页2周期信号频谱分析的傳里叶级数展开方法2.1傅里叶级数周期信号是定义在（）区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图2.1,所示，它可以表示为图2.1周期信号（2.1）)()mTtf式中m为任意整数。时间T被称为该信号的重复周期，简称周期。周期的倒数称为该信号的频率3。由式：（2.2）1)()(jtCtf可知，周期信号f(t)在区间可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的,(0Tt正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶技术”，统称为傅里叶级数。需要指出，只有当周期信号满足狄里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。通常遇到的周期信号都满足该条件。狄里赫利条件是：（1）函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋于这个间断点时，函数有有限的左极限或右极限）；（2）在一周期内，函数有有限个极大值或极小值。2.1.1周期信号的分解设有周期信号，他的周期是T，角频率,它可分解为)(tfTF.)2cos()cos(.)2cos(cos2110tbtbtaa(2.3)110innn式(2.3)中的系数a，b称为傅里叶系数。它可由式第2页共16页(2.4)2121)()(tiitiidfkdfC求得。为简便，式(2.2)的积分区间取为或。由式(2.3)可得傅里叶系数,0T2,T0n=0，1，2，(2.5)2n)cos(Tdtntfan=0，1，2，(2.6)2niTb式中T为函数的周期，为角频率。由式(2.5)和式(2.6)可见，傅里叶系数和都)(tfTnab是n的函数，其中是n的偶函数，即；而是n的奇函数，即有.an-abn-将式（2.3）中同频率项合并，可写成如下形式)2cos()cos(2)(2110tAtAtf(2.7)10nn式中,n=1，2，(2.8)arctn(n2n0bA如将式（2.8）的形式转化为式（2.1-1）的形式，他们系数之间的关系为n=1，2，(2.9)，sin，con0Aba由式（2.8）可见，是n的偶函数，即有；而是n的奇函数，即有。An-An-傅里叶系数的这些重要性质是很有用的。式（2.9）表明，任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦或正弦分量。其中第一项是常数项，他是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项称为基波20A)cos(11tA或一次谐波，它的角频率与元周期信号相同，是基波振幅，是基波初相角；式中第三项1称为二次谐波，他的频率是基波频率的二倍，是二次谐波的振幅，是其)cos(2t22初相角。以此类推，还有三次，四次、谐波。一般而言，称为n次谐波，n是n次谐波的振幅，是其初相角。式（2.7）表明，周期信号可以分解为各次谐波分量。An第3页共16页2.1.2指数形式傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。由于（2.10）2cosjxex所以式（2.9）可以写为1)()(02)(ntnjtnjeAtf（2.11）tjnntjnneA1102将上式第三项中的n用-n代换，并考虑到到n是偶函数，即；是n的奇函数，即A，则上式可写为ntjnntjnneAeAtfnn11022)(如将上式中的写成（其中=0），则上式可以写为0n0（2.12）tjnntf)(令复数量，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数，其模为，相角njnjnFeA21nF为，则傅里叶级数的指数形式为n（2.13）tjnneFtf21)(根据式（2.9），傅里叶系数（2.14）)(21)sico21nnnnjnnjbajAAeAF将式（2.5）和式（2.6）代入上式，得dttfTdttfTn221)s(njnT2)si(co1第4页共16页n=o,1，2，,)(12dtefTjn（2.15）这就是求指数形式傅里叶级数的复系数的公式。nF式（2.13）表明，任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号（）之和，其tjne各分量的复数幅度（或相量）为。2.2连续时间傅里叶级数的基本性质2.2.1线性若，则对于任意常数，有)(11Ftf)(22Ftf1a2（2.16）)(1Ftfa2.2.2时移特性若，则（2.17）0)(0tjeFtf式中，为常数。0t2.2.2卷积特性若，则)(11Ff)(22Ftf（2.18）)(*211Ftf图2.2时域卷积运算图2.3频域相乘运算2.2.3微分特性设是以为周期的周期信号，其傅里叶系数为)(tf0T（2.19）nCtf)(则导数的傅里叶系数是（2.20）j0若的傅里叶系数是，则的傅里叶系数是nD第5页共16页(2.21)0jnDC2.3技巧性方法2.3.1频移方法有些周期信号的周期规律不明显或周期变化计算过于复杂，则可通过频移和增加（减小）直流增量来改变信号位置，由此可使信号由非奇非偶信号变成奇信号或者偶信号，然后进行傅里叶级数展开时就会比较快5。某信号在时域中乘以，相当于频域中频谱向右移；tje00某信号在时域中乘以，相当于频域中频谱向左移；也就是：时域频域)(tx)(Xje00t0表2.1频移特性前面两个结论可以这么直观的理解：信号由无数不同旋转角速度（）的旋转向量叠加而成。)(tx图2.4信号频移当与相乘之后，原来的所有旋转向量的旋转角速度都将增加，达到，对)(txtje000应的频谱也将由原来的位置向右搬移。0图2.5信号向右频移当与相乘之后，原来的所有旋转向量的旋转角速度都将减少，达到，)(txtje000第6页共16页对应的频谱也将由原来的位置向左搬移。0图2.6信号向右频移2.3.2求导方法有些周期信号的周期规律不明显或周期变化计算过于复杂，则可对其进行求导（求导只是对其一个周期求导，因为信号的所有信息在一个周期均有完全的反应），这样就是将复杂的信号分析改变成一个周期内的函数进行分析，可以减少计算过程，若经过一次求导以后函数依旧复杂，可再次对其进行求导。给出一个周期的表达式，周期信号表达式为)(tf)(Ttf，102cos2)(kkTaAtf对其求一次导则有1)2(kkt2,2kkTaB转换可得：。2kk对其求二次导则有12)cos()(kktTatfkkTC,2转换可得：。kka)2(第7页共16页3周期信号的频谱分析方法3.1已知变化规律的周期连续信号频谱识别方法通过上面分析我们已经知道，对于这类信号要获得其频谱，我们只需将此周期连续信号做傅里叶级数展开，即(s)设f(t)为一个周期连续信号，T为其周期，f1=1/T是信号的基波频率，为信号的基波12f角频率，则f(t)可以表示为，（n=0,1,2）。对f(t)进行傅里叶级数展开)()nTtf(式2.22)110)(coskktA(式2.23)(式2.24)(式2.25)(式2.26)通过上面推导即可计算已知变化规律的周期连续信号的频谱和振，从而画出相应信号f(t)的幅频特性杆状图。对于周期连续信号f(t)，若要计算其连续频谱，可对f(t)取傅里叶变换FTf(t)，其定义为：(式2.27)其中密度函数F(jw)是一个复函数，它可写为(式2.28)式中和分别是频谱函数的模和相位。发现是由频率位置各不相)(jF()(jF)(jF同的一系列狄拉克(-k1)带权叠加，对于这样的频谱函数是不能直接画幅频特性图的，可在各频率坐标k1处以狄拉克函数前面的权系数为高度画幅频杆状图来图示周期连续信号所含频率成份。3.2未知变化规律的周期连续信号频谱识别方法未知变化规律的周期连续信号通常是通过对信号采样，然后分析采样信号的频谱来获得连续信号的频谱，这种做法首先要满足采样定理。为了使实际信号在采样后能够不失真的再现，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。其次，为获得连续信号的频谱，要对采样数据进行离散傅里叶变换（DFT）来获得离散信号的频谱。我们假设周期连续信号采样得到的序列为x(n)，设x(n)为有限长序列，长度为N，但它取自周期信号，我们可以认为在采样参数选择恰当时，对它进行周期延拓所得周期序列的最小周期与被采样信号的周期是一致的。通过采样定理的学习我们得知采样信号的频谱是被采样信号频谱的周期延)(si22cos)(11101KkkktbaAt21)Tkdtfa21sin(Tktkb2kkbaA)/rctn()()(jFdteftFTj)(XRje第8页共16页拓，所以我们只需要对一个采样周期进行研究便可得到信号的全部信息。现在我们取定采样序列x(n)，长度为N（称为一个主值区间）对它进行频谱分析即可。对x(n)取DFT，计算过程如下：具体计算步骤如下：(式2.29)ntaaxnTx)()(knNnjjexeXDFk210)(式2.30)102)(NnkjxT式中是待采样得周期连续信号，T是采样周期，是采样后的有限长)(txa)(Txa离散序列，与是等同的。由上式可知有限长离散信号频谱的采样是由其连续频谱经过采样得n到的。由此得DTFT是计算离散序列的频谱函数的，而DFT则是计算离散序列频谱的采样的。3.3未知周期信号的频谱的理论方法和计算技巧例)20cos(2)10cos(31)(tttf368.454.0试画出的振幅谱和相位谱解：的周期信号，题中所给的表达式可视为的傅里叶级数展开式。据)(tf)(tf)(tf10cos2nnA可知，其基波频率=（rad/s），其基本周期T=2s，=2，3，6分别为二、三、六次谐波频率。且有：120A031224.0A538606其余=0nkNjaDFTaaeXknxTtx2)()()(jjaeXkNjeX2)(第9页共16页图3.1信号的振幅谱图3.2信号的相位谱图3.3信号的双边频谱振幅谱图3.4信号的双边频谱相位谱第10页共16页4Mathematica软件计算方法例1利用mathematica软件快速对周期信号进行频谱选择2xt_=5Cos100t+/4+2Cos300t-/8+0.5Cos500t;Ts=0.001;fs=1/Ts;n=1000;ts=Range0,n-1*Ts;xn=xts;ListPlotTransposets,xn20;42,Joined-Truen=20;T=n*Ts;yn=xn1;20;Y=2Fourieryn,FourierParameters-1,-1;Y1/=2;AY=AbsY1;n/2;Am=MaxAY;th=0.08;F=Range0,Floorn/2-1*fs/n;data1=TransposeF,AY;data2=TransposeAY,F,ArgY1;n/2;ListPlotdata1,Filling-Axissp=Selectdata2,#1th*Am&/Chop运行程序可得到一下结论：周期信号波形图：图4.1周期信号波形图第11页共16页图4.2信号幅频杆状图频点、振幅、相位分别为：例1利用mathematica软件对图4.2周期信号进行频谱分析。图4.3信号图形Clearf*,t*,u,s,T,Ts,L;ut_=UnitStept;T=0.001;q=5;Ts=0.00001;L=RoundT/Ts;st_=(4q/T)(t(ut-ut-T/8)+(t/2+T/16)(ut-T/8-ut-3T/8)+(T/4)(ut-3T/8-ut-5T/8)+(9T/16-t/2)(ut-5T/8-ut-7T/8)+(T-t)(ut-7T/8-ut-T);ts=Range0,L-1*Ts;sn=sts;data=Transposets,sn;p1=ListPlotdata,AspectRatio1/3,AxesLabelt,ladder(t)S=2*Fouriersn,FourierParameters-1,-1;S1/=2;第12页共16页A=AbsS1;(L/2)/Chop;Printf0,f1,f2,f3=,0,1,2,3/T;PrintA0,A1,A2,A3=,A1;4;Print0,1,2,3=,1;4;=ArgS1;(L/2);ListPlotTablek/T,Ak+1,k,0,L/2-1,AspectRatio1/3,AxesLabelf/Hz,A(f),FillingAxis,PlotRangeAllListPlotTablek/T,k+1,k,0,L/2-1,AspectRatio1/3,AxesLabelf/Hz,(f),FillingAxissct_=SumAk+1Cos2*(k/T)*t+k+1,k,0,40;p2=Plotsct,t,-3T,5T,AxesLabelt,sc(t),AspectRatio1/3,PlotRangeAll,PlotStyleRedShowp2,p1运行程序可得出以下结论：信号采样图：图4.4信号采样图频点、振幅、相位分别为振幅频谱图：图4.5振幅频谱图第13页共16页相频图：图4.6相频图信号波形图与采样图叠加：图4.7信号波形图和采样图叠加第14页共16页5结束语本次毕业设计至此已经接近尾声，在这几个月的时间里，我通过利用MATLAB和mathematica强大的数据运算功能以及图像处理功能对于连续时间的复频域分析进行深入的研究。在整个设计过程中，我首先对于所学的基础信号知识进行温习巩固，比如傅立叶级数、时域采样、信号频谱分析等；其次，整个实现过程是通过MATLAB软件与mathematica软件完成的，MATLAB的图形功能十分强大，具有良好的设计平台，在此次设计过程中，我熟练了MATLAB的编程方法，掌握了很多函数的表示含义及使用方法；mathematica软件数学实现方法特别的强，并且内容丰富，操作简便。最后，通过此次毕业设计，我对设计所用到的软件有了更加深刻的认识，MATLAB与mathematica不仅在数值计算方面的功能十分强大，而且其图形仿真功能能够满足各个领域的需要，因此MATLAB与mathematica已经成为我们工作学习中不可或缺的软件。由于MATLAB与mathematica软件是专业性较强的软件，所以刚开始使用是比较困难的，通过老师的指导、翻阅了大量的相关资料，不能说已经通悟了MATLAB与mathematica应用，但是对一些基本知识还是有所了解的，在学习的过程中学习的过程中我们进一步对MATLAB与mathematica编程中的常用语句、过程已经初步掌握。这次毕业设计，使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。这次课程设计终于顺利完成，在设计中遇到的运行和调试问题，最后在老师的耐心指导下，终于游逆而解。在以后的学习过程中我要不段的学习，不断丰富自己的知识。第15页共16页6致谢在此，对毕业设计中给予我无私帮助和指导的龙姝明老师以及帮助过我的同学表示衷心的感谢。在此期间，老师不断的向我们传授分析问题和解决问题的办法，并指出了正确的努力方向，同时，还为我们提供专门的场所，才是我们有优越的硬件条件和充裕的时间。是龙姝明老师自始至终的热心指导和督促，我才能能够完成本次毕业设计。同时，身边的同学给了我许多的帮助。在此，我向身边关心我的同学致以诚挚的谢意！另外，系里的领导和老师也给了我们必要的指导，我也向系和年级的领导们表示衷心的感谢！最后感谢学院对我这几年的培养。第16页共16页参考文献1马成长;Mathematica的编程特色J.湖北工学院学报;1999年03期.2孙云龙,张卫东;深入Mathematica编程J.淄博学院学报(自然科学与工程版).2000年02期3龙姝明,朱杰武.数学物理方法.陕西人民教育出版社2002年09年.4尹继武,龙姝明.基于Mathematica程序的正弦阶梯波频谱分析J.四川师范大学学报(自然科学版).2006年03期.5李昌利,沈玉利.“信号与系统”课程教学中的几点思考J.高教论坛.2008年03期.6高西全,丁玉美.数字信号处理M.西安:西安电子科技大学出版社,2008年.7高晓燕,刘晓燕.高职信号与系统教学研究J.中国教育技术装备2009年14期8张睿.“信号与系统”辅导课的教学研究与实践J.合肥工业大学学报(社会科学版)2010年03期.9杨林耀,张永瑞,王松林,郭宝龙.信号与线性系统分析.高等教育出版社2011年06.10刘志松.基于小波分析的信号去噪方法J.浙江海洋学院学报(自然科版),2011年.11MinQ,ShizhenH.ResearchonWaveletThresholdDENOISINGMethodBasedonMATLABJ.电子器件,2012年.12张锐,袁丽英.信号与系统课程中对周期信号频谱分析的理解J.高等函授学报(自然科学版).2012年02期13杨宇,贾永兴.“信号与系统”周期信号频谱的教学分析J.中国电力教育.2013年32期.14Oppenheim,AlanV.SignalsandSystemsM.PrenticeHall.2011年8月.1第17页共16页附录：外文翻译-模拟滤波器第18页共16页附录Axt_=5Cos100t+/4+2