周期三角波激励下的动态电路响应解法研究

周期三角波激励下的动态电路响应解法研究摘要由于直接对周期三角波激励下的动态电路求解有一定的难度，而通过分析，正弦信号经过任何复杂的系统，系统输出和输入波形一致，只是幅度被放大，被延时，波形不变，周期三角波是一系列不同频率，不同相位，不同振幅正弦信号的叠加，所以把三角波通过傅里叶级数展开，化为正弦信号求解方法求解。但是传统的手工计算较为困难，因此我们设计一个程序，用计算机快速的解决这类问题。关键词周期三角波;动态电路;傅里叶级数展开Cycleoftriangularwaveexcitation,dynamiccircuitresponsemethodresearchAbstract:Asadirectdynamiccycleofthetriangularwaveexcitationcircuitforsolvingacertaindegreeofdifficulty,andthroughanalysis,sinusoidalsignalthroughanycomplexsystem,thesystemoutputandinputthesame,butthemagnitudeisamplifiedbythedelay,waveformconstant,periodictriangularwaveisarangeofdifferentfrequencies,differentphases,differentamplitudesinusoidalsignalsuperimposed,sothetriangularwavebyFourierseriesexpansionintosolvingmethodforsolvingasinusoidalsignal.However,thetraditionalmanualcalculationsmoredifficult,sowedesignedaprogramtosolvethisproblemquicklybycomputer.Keywords:Periodictriangularwave;DynamicCircuit;Fourierseriesexpansion目录1引言.12周期信号的频谱分析方法.12.1傅里叶级数展开法.12.2周期信号离散化频谱分析法.13动态电路频域系统函数计算方法.23.1系统函数H(s).23.1.1由微分方程求解系统函数.23.1.2在动态电路系统中求解系统函数.23.2系统的频域系统函数H(j)计算方法.44正弦信号激励下的动态电路零状态响应计算方法.44.1单频率正弦信号激励下系统的零状态响应求解.44.2多频率正弦信号激励下系统的零状态响应求解.55周期三角波激励下的动态电路响应.55.1周期三角脉冲信号的傅立叶级数求解.55.2周期三角脉激励下动态电路响应频域系统求解.66周期三角波激励下的动态电路响应解法程序设计.76.1程序设计思路.76.2程序清单.77程序应用实例.8结束语.10参考文献.10第0页共10页1引言众所周知，我们若想直接对周期三角波激励下的动态电路求解，将会有一定的难度，而通过我们所学知识分析了解到单一频率的正弦信号经过任何复杂的系统，系统输出和输入的波形一致，只是幅度被放大，被延时，波形不变，但多频率信号因电路对不同频率成分放大延时的量不同，因而输出信号的波形不同于输入信号。周期三角波是一系列不同频率，不同相位，不同振幅正弦信号的叠加，所以把三角波通过傅里叶级数展开，化为正弦信号叠加求解。我们以三角波激励下的动态响应为研究对象，探讨周期三角波信号这种特殊的多频率正弦信号激励下的动态电路响应求解方法及输出信号的特点。研究发现我们讨论的时域解法手工计算很繁琐，如果用Mathematica编程求解则效率显著提高。第1页共10页2周期信号的频谱分析方法2.1傅里叶级数展开法任何一个满足狄里赫利(Dirichlet)条件的非正弦周期信号(函数)都可以分解为一个恒定分量与无穷多个频率为非正弦周期信号频率的整数倍、不同幅值的正弦分量的和1。(2.1-1)1110)sinco(2)(ntbtatf傅里叶系数：(2.1-2)Tdtf0)(2.1-3)ntna1cos2(2.1-4)Ttfb0i)(频率相同的余弦项与正弦项合并为一个正弦函数(2.1-5)cos(sinco111nnntAtta傅里叶级数又可写成下列形式2：(2.1-6)110)s()(nnttf(2.1-7)20aA(2.1-8)nnb(2.1-9)irg式中为直流（常数）分量，为基波(fundamentalwave)或一次谐波(first0A)si(11tharmonicwave)，为n次谐波(n-thharmonicwave)。)sin(1tn2.2周期信号离散化频谱分析法对于复杂周期信号的傅里叶级数展开中，、的积分运算过于复杂，手工难以算出其fanb结果，所以我们需要运用周期信号离散化频谱分析方法，对周期信号进行合理采样，利用采样数据计算周期频谱。对于已知周期信号，其周期，最高幅度，我们对其离散化分析步骤为3：)(tf01.T5E1.合理选取采样间隔：对于周期函数，采样区间我们通常选取周期函数的一个周期来进行研s究。理论上，周期信号有无限多个频率成分，但频率越高，振幅越小，所以技术层面上，可以忽略高频成分，而视为周期信号含有限个频率成分，若我们需要保留个频率成分，则采样间隔的表m达式为：(2.2-1)Ts42.写出给在一个周期的函数关系式。)(tf3.时间离散化：采样点数，。STn)1,0(nktss4.对周期信号作数学采样：。stf)(第2页共10页5.对信号的采样数据作快速傅里叶变换，实数形式傅里叶级数展开式的频谱称为实频谱。复数形式傅里叶级数展开式的频谱称为复频谱。实频谱中角频率的取值范围从0到是单边频谱，而复频谱中的取值范围从一到,是双边离散频谱。实频谱的幅值是相应复频谱的两倍，初相位与复频谱的初相位互为余角。6.利用采样数据快速傅里叶变换算出周期信号的前个频率成分的振幅、频率、初相位。若m以(或为纵坐标，为横坐标就可以分别画出幅值(或相位)随频率变化的关系曲线。称)fA)ff为幅频(或相频)特性，二者合称为周期信号的频谱。)(tf第3页共10页3动态电路频域系统函数计算方法3.1系统函数H(s)系统的响应一方面与激励有关，也与系统自身结构有关4。系统函数就是试图描述系统的本身特性，而与输入无关。若为激励，为零状态响应，且令系统的单位冲激响应为，则)(tf)(ty)(th有(3.1-1)(tfht对上式等号两端同时求拉氏变换，并设，)(yLTsY)(tfLTsF)(tLTsH则有)()(tfLTsF(3.1-2)(H故有(3.1-3)(s称为复频域系统函数，简称为系统函数。可见系统函数就是系统零状态响应的象)(sH)(s)(ty函数与激励的象函数之比，也是系统单位冲击响应的拉式变换。Y)(tf)(sFth3.1.1由微分方程求解系统函数（3.1-4）)()()()(0111tybdtdtybtydattatnmnmnn系统为零状态，对方程两边取单边拉氏变换，可得5：（3.1-5）)(011sFbsbYasasnmn所以微分方程描述的LTI系统的系统函数为（3.1-6）011)(assasFYHnn3.1.2在动态电路系统中求解系统函数在动态电路s域中，我们很难通过电路图写出系统的微分方程，因而我们只能根据电路的特性，由电路KCL、KVL关系，通过运算电路法，映射在s域中，写出系统的系统函数。研究电路问题的基本依据是描述互连各支路（或元件）电流、电压相互关系的基尔霍夫定律（KCL和KVL）和电路元件端电压与流经该元件电流的电压电流关系(VCR)6。现讨论它们在s域的形式。KCL方程描述了在任意时刻流入（或流出）任一结点（或割集）各电流关系的方程，0)(ti它是各电流的一次函数(线性函数），若各电流的象函数为(称其为象电流)，则由线性)(tijIj性质有(3.1-7)0sI上式表明，对任一结点（或割集）,流入（或流出）该结点的象电流的代数和恒为零。在此仍称式(3.1-7)为KCL。同理,KVL方程也是回路中各支路电压的一次函数，若各支路电压的象函数为0)(tu)(tuj(称其为象电压),则由线性性质有)sUj(3.1-8)0)(sU第4页共10页上式表明，对任一回路，各支路象电压的代数和恒等于零。在此仍称式(3.1-8)为KVL。对于线性时不变二端元件R、L、C，若规定其端电压与电流为关联参考方向，其相应)(tu)(ti的象函数分别为和,那么由拉普拉斯变换的线性性质及微分性质、积分性质可得到他们)(sUI的s域模型。零状态条件时元件的s域模型7R,L,C元件的时域电压电流关系为(3.1-9)dtuCtitiLvRtcc)()()()(零状态条件时元件的s域网络模型(3.1-10)(1)()()(sICsVLIR由上式可见：（1）R、Ls,1/Cs是复频域阻抗，s域的电压电流关系满足复频域（广义）的欧姆定律。（2）s域的模型将元器件时域的微、积分运算关系变为代数运算关系。举例说明用s域等效模型，可以得到网络的系统函数。例3.1-1图3.1-1（a）所示电路系统，输入为，输出为，试求系统函数H(s)(1tv)(2tv解(1)先画出S域等效电路图，如图3.1-1（b）因为求系统函数，所以系统响应为零状态响应，因而元件的S域模型为无初始条件时的S域模型(2)根据S域模型，直接表达出输入和输出，由系统函数的概念得到系统函数(3.1-11)(a)RC时域电路图(b)RCs域电路图图3.1-1电路图由以上讨论可见，经过拉普拉斯变换，可以将时域中用微分、积分形式描述的元件端电压u(t)与电流i(t)的关系，变换为s域中用代数方程描述U(s)与I(s)的关系，而且在s域中KCL、KVL也成立。621/42/)(1ssVH第5页共10页这样，在分析电路的各种问题时，将原电路中已知电压源、电流源都变换为相应象函数；未知电压、电流也用象函数表示；各电路元件都用其s域模型替代（初始状态变换为相应的内部象电源），则可画出原电路的s域电路模型。对该s域电路而言，用以分析计算正弦稳态电路的各种方法（如无源支路的串、并联。电压源与电流源的等效变换，等效电源定理以及回路法，终点法等等）都适用。这样。可按s域的电路模型解出所需位置响应的象函数，取其逆变换就得到所需的时域响应。需注意的是，在做电路的s域模型时，应画出其所有的内部象电源，并特别注意其参考方向。3.2系统的频域系统函数H(j)计算方法频率响应是指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况，系统未定时，令,则js得稳定系统的频率响应特性函数(3.2-1)根据具体输入周期信号的傅里叶级数展开式，我们依次可以得到频域系统函数所对应的角频率，模值，主幅角。我们代入列3.2-1中，得(3.2-2)23612)(jjHjss)()第6页共10页4正弦信号激励下的动态电路零状态响应计算方法4.1单频率正弦信号激励下系统的零状态响应求解设正弦信号激励下的系统为稳定系统且为零状态，今设系统的激励为单频率正弦信号，)(tf且在时刻作用于系统8，即0t(4.1-1)cos()(1nntAtf且令该系统的频域系统函数为。1jH则可得频域系统函数模值为(4.1-2)(1jnH频域系统函数主幅角为(4.1-3)(1jArgn于是得系统零状态响应函数为)cos()(1nnnHtHAty(4.1-4)(s()11jnrgtj可见系统的正弦零状态响应仍为与激励同频率的正弦函数，但其振幅却增大了)tnf倍，相位增加了。)(1jnH(1jrg4.2多频率正弦信号激励下系统的零状态响应求解由上述我们知道单频率正弦信号激励下系统的零状态我们很容易可以求解，而实际中，我们需要解决诸多由一系列单频率正弦信号叠加起来的多频率正弦信号激励系统的零状态响应求解9，我们今令一个系统的激励为多频率正弦信号，且令其表达式为)(ts(4.2-1)11)cos()(nntAts其该系统的频域系统函数为：(1jnH模值及主幅角为：(4.2-2)(1jnHA(4.2-3)rgn由式(4.1-4)，我们可以得出其系统零状态响应函数为11)cos()(nnnty(4.2-4)()1jHArgtjHA第7页共10页5周期三角波激励下的动态电路响应5.1周期三角脉冲信号的傅立叶级数求解f(t)tT/2T图5.1三角脉冲波波形图如图5.1所示，有一周期三角波脉冲信号，我们先对其进行傅里叶级数展开。由式(5.1-1)1110)sincos(2)(ntbtatf(5.1-2)Tdtfa0)(5.1-3)nt1cos(5.1-4)Tntfb0i)2我们对作偶拓展，知可展开成周期为的余弦级数，且由式(5.1-2)和(5.1-3)可得)(tf)(tf(5.1-5)nTdtntfa01cos)(2)cos4421201TdtnEttE(5.1-6)(2为奇数n(5.1-7)EdtfTa00)4(5.1-8)(422为奇数nabAnn(5.1-9)为奇数）（TttEtf2,)()(第8页共10页所以的傅里叶级数展开为)(tf(为奇数)(5.1-10)cos(142)(12TtnEtfnn5.2周期三角脉激励下动态电路响应频域系统求解根据对三角波激励信号的傅里叶级数展开，且我们令一个动态电路的频域系统函数为(5.2-1)所以频域系统函数的模值为：(5.2-2)211364)(njHAn频域系统函数的主幅角为：(5.2-3)6arct)(1jgn所以三角脉冲激励下的响应函数为：(5.2-4)6arctncos(36414)os()(112121nEHtHAtynnnn236)(jj第9页共10页6周期三角波激励下的动态电路响应解法程序设计6.1程序设计思路程序设计是用精确的语言告诉计算机告诉计算机该做什么，首先我们因明确我们要解决的问题是设计一个周期三角波激励下的动态电路响应求解，以周期三角波激励下的动态电路响应为研究对象，探讨周期三角波信号激励下的动态电路响应求解方法及输出信号的特点。且我们使用的编程软件是mathematica，根据我们所学知识，以及对编程语言的应用，在mathematia中编程，最后验证我们所编写的程序有无错误，能否正确执行并是否可以解决我们所要求得的问题。具体程序我们将在下面具体展示。6.2程序清单程序如下所示10Clearf*,t*,u,s,T,Ts,L;ut_=UnitStept;T=0.001;q=5;Ts=0.00001;L=RoundT/Ts;st_=(2q/T)(t(ut-ut-T/2)+(T-t)(ut-T/2-ut-T);ts=Range0,L-1*Ts;sn=sts;data=Transposets,sn;p1=ListPlotdata,AspectRatio1/3,AxesLabelt,ladder(t);S=2*Fouriersn,FourierParameters-1,-1;S1/=2;A=AbsS1;(L/2)/Chop;F=Range0,L/2-1/T;=ArgS1;(L/2);Fe=0,1,3,5,7,9/T;Ae=A1,2,4,6,8,10;e=1,2,4,6,8,10;Printf0,f1,f3,f5,f7,f9=,Fe;PrintA0,A1,A3,A5,A7,A9=,Ae;Print0,1,3,5,7,9=,e;ListPlotTablek/T,Ak+1,k,0,L/2-1,AspectRatio1/3,AxesLabelf/Hz,A(f),FillingAxis,PlotRangeAllListPlotTablek/T,k+1,k,0,L/2-1,AspectRatio1/3,AxesLabelf/Hz,(f),FillingAxissct_=SumAekCos2*Fek*t+ek,k,1,6;p2=Plotsct,t,-3T,5T,AxesLabelt,sc(t),AspectRatio1/3,PlotRangeAll,PlotStyleRed;Showp2,p1(*yt+0.2yt+5yt=2ft-5ft*)Hs_=(2-5s)/(s2+0.2*s+5);Hff_=HI2f;H=ArgHfFe;AH=AbsHfFe;yt_=SumAekAHkCos2*Fek*t+ek+Hk,k,1,6;第10页共10页Plotyt,t,-3T,5T,AxesLabelt,y(t),AspectRatio1/3,PlotRangeAll,PlotStyleRed第11页共10页7实例例证RLC三阶电路具有电阻电感电容的无源二端网络如图7.1所示，其中：R=1，L=1H,C=2F。现已电压为输入，电压为输出，分析RLC三阶系统。1()ut2()ut图7.1时域电路图我们先利用拉普拉斯变换进行分析，将时域映射到复频域（S域）：电阻不变，电感，电容，时域电路变成S域电路，Ls1Cs即如图7.2所示：图7.2S域电路图由复频域电路图建立复频域代数方程,代入R,L,C的值。得出输出象函数：(7.1-1)2132UsUss由输出象函数得系统函数：(7.1-2)1/)(23ssH根据我们所求的系统函数，将函数中的各项参数带入程序，可得：第12页共10页振幅频谱图：图7.3幅频图相频图:图7.4相频图信号波形图与采样图叠加：0.0020.0020.004t12345sct图7.5叠加图输出信号波形图：第13页共10页0.0020.0020.004t1.251.251.251.25yt图7.6输出波形图第14页共10页结语这次毕业设计让我受益匪浅。通过这次设计我对自己在大学四年时间里所学的知识得到了全面的回顾，并充分发挥对所学知识的理解和对毕业设计的思考及书面表达能力，最终完成了这份论文。通过这次毕业设计我发现，只有理论水平提高了，才能够将课本知识与实践相整合，理论知识服务于教学实践，以增强自己的动手能力。这个设计十分有意义，我获得很深刻的经验。通过这次毕业设计，我们知道了理论和实际的距离，也知道了理论和实际想结合的重要性，也从中得知了很多书本上无法得知的知识。我们的学习不但要立足于书本，以解决理论和实际教学中的实际问题为目的，还要以实践相结合，理论问题即实践课题，解决问题即课程研究，学生自己就是一个专家，通过自己的手来解决问题比用脑子解决问题更加深刻。学习就应该采取理论与实践结合的方式，理论的问题，也就是实践性的课题。这种做法既有助于完成理论知识的巩固，又有助于带动实践，解决实际问题，加强我们的动手能力和解决问题的能