数列通项公式的求法.doc

数列通项公式的求法湖北省南漳县高级中学 孙波 邮编441500作为高考重点内容之一的数列，其中求数列的通项公式是考查数列知识的最基本题型，编者根据平时的教学积累，结合近几年高考试题，总结了有关数列通项公式的求法。一、定义法1、等差数列的通项公式为2、等比数列的通项公式为例1：2008年辽宁在数列、中，且，成等差数列，成等比数列（）（1）求、及、，由此猜测：、的通项公式，并证明你的结论。出题者意在考查学生从特殊到一般，归纳猜想论证的思维过程。此题也可直接证明。易求：、，并且知0，0。证明：由题意知： 数列是以为首项，公差的等差数列。 练习：2008福建已知函数（1）该是正数组成的数列，前几项和为，其中，若点，在函数的图像上，求证：点也在的图像上。（n=1）（n2）二、利用公式 ，此公式的应用要注意验证是否符合时的通项。例2：2008年湖北数列中，是前几项和，若，求的通项公式。解：当时， 是从第二项开始以为公比的等比数列。（n=1）（n2） ，即 注：此题易忽视中n的范围，误认为n1（n=1）（n2）而 结论易误为 ，练习1：已知正项数列满足，求的通项公式。练习2：2008全国设数列的前项和为，已知，。（1）该，求数列的通项公式。（2）若，求的取值范围。三、累加法：形如，是的函数。由递推公式得： 将以上个等式左右两边分别相加得，即，求和即得。例3：2008年天津，已知数列中，则= 。解：由题意，得 累加得： 练习：1、2009湖北 102、2009全国在数列中，。（1）设，求数列的通项公式。四、累乘法：形如，是的函数。由递推公式得： 将以上个等式左右两边分别相乘得：即：例4：2008年天津在数列与中，数列的前几项和满足，为与的等比中项，（1）求的值。（2）求数列与的通项公式。解：（1）易求，。 （2）当时，即 将以上个等式左右两边分别相乘得 又，满足上式。 的通项公式求法略。注：的变化范围；要验证：、是否符合。练习：已知数列满足，则数列的通项 。五、利用递推公式构造新数列1、形如：（为不等的常数，），通过待定系数法构造为，转化为等比数列。（）例5：2007全国设数列的首项，（1）求的通项公式解：由题意知：，数列是以为首项，公比为的等比数列。 （） 即练习：2007全国已知数列中，（1）求的通项公式2、形如：（为不等于的常数）（1）当，时，两边取倒数，转化为等差数列，。（2）当，时，两边取倒数，利用（）转化为等比数列。（3）当时，待定系数法构造为的形式例6：设数列满足，求通项公式。解：由 令得或。或 （）取倒数得或即或转化为等比数列，以下略。方法二：将（）两式相除得里首项为，公比为的等比数列。练习：2006年江西已知数列满足，。求数列的通项公式。2005年湖北已知不等式，其中为大于的整数，表示不超过的最大整数，设数列的各项为正，且满足，证明，3、形如：，（为常数）。两边取对数，转化为，再利用（）转化为等比数列。例7：2006年山东改编：已知，点在函数的图象上，其中n=1，2，3，求数列的通项公式。解：由题意知：两边取对数得，是首项为，公比为2的等比数列。，即练习：在数列中，求的通项公式。4、形如： （为常数），是的函数。此形式容易按的形式思考，差异在于是变量，不是常数；也容易按的形式思考。能不能转化为这种形式呢？两边同除以得：，然后利用累加法求数列的通项公式，进而求出的通项。()例8：（2008年四川）设数列的前几项和，已知（1）证明：当时，是等比数列。（2）求的通项公式。解：易得当时，（1）证明略方法一：待定系数：令比较得数列是为首项，公比为的等比数列。以下略。方法二：当时，由 而符合上式。当时，练习：已数列满足，求的通项公式。 数列满足，其中。 求，。 求数列的通项公式。2009全国设数列的前几项和为，已知，设，证明数列是等比数列。求数列的通项公式。5、形如：（为常数），构造为，使转化为等比数列。，再利用（）求的通项公式。例9：中学数学教学参考（2003.4）秦永 递推数列已知，试求。解：两边取倒数，得令得令得或于是或由得数列是以为首项，公比为的等比数列。，以下用累加法求得。 或由得是以为首项，为公比的等比数列。 即练习：2008广东设为实数，是方程的两个实根，数列满足， 求数列的通项公式。对于具体数列问题，可能要用到以上多种方法。第一要观察题目的特点，运用所列举的方法解题。第二，解决问题的关键是将未知问题利用已知知识来解决，即转化为基本