空间及其直线方程ppt课件

第六节 一 空间直线的一般方程 空间直线及其方程 第七章 二 空间直线的点向式方程与参数方程 三 两直线的夹角 四 直线与平面的夹角 五 杂例 定义 空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 一 空间直线的一般方程 方向向量的定义 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 二 空间直线的点向式方程与参数方程 直线的点向式 对称式 方程 令 方向向量的余弦称为直线的方向余弦 直线的参数方程 例1用点向式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 解题思路 先找直线上一点 再找直线的方向向量 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角 锐角 两直线的夹角公式 三 两直线的夹角 两直线的位置关系 直线 直线 例如 例2 求以下两直线的夹角 解 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角 四 直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 解 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程 为所求直线的方向向量 垂 例3 求过点 1 2 4 且与平面 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 五 杂例 例5求直线 与平面2x y z 6 0 解所给直线的参数方程为 x 2 t y 3 t z 4 2t 代入平面方程中 得 2 2 t 3 t 4 2t 6 0 解上列方程 得t 1 把求得的t值代入直线的参数方程中 即得所求交点的坐标为 x 1 y 2 z 2 的交点 解 先作一过点A且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N 令 代入平面方程得 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 有时用平面束的方程解题比较方便 设直线L由方程组 所确定 其中系数A1 B1 C1与A2 B2 C2不成比例 我们建立三元一次方程 因为A1 B1 C1与A2 B2 C2不成比例 不全为零 若一点在直线L上 则点的坐标必满足方程 a 因而 从而方程 13 表示一个平面 也满足方程 b 故方程 b 表示通过直线L的平面 的不同的平面 反之 通过直线L的任何平面 除 a 中第二个平面外 都包含在方程 b 所表示的一族平面内 通过定直线的所有平面的全体称为平面束 而方程 b 就作为通过直线L的平面束的方程 例7求直线 在平面x y z 0上的投影 直线的方程 即 由此得 代入得与所给平面垂直的平面 称为投影平面 的方程为 所以投影直线的方程为 即 这平面与平面x y z 0垂直的条件是 即 1 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 直线 2 线与线的关系 直线 夹角公式 平面 L L 夹角公式 3 面与线间的关系 直线L 作业P3354 5 7 9 15 解 相交 求此直线方程 的方向向量为 过A点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 方法1利用叉积 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 备用题 设所求直线与 的交点为 待求直线的方向向量 方法2利用所求直线与L2的交点 即 故所求直线方程为 则有