2012-2015年全国高中数学联合竞赛福建省预赛试题--Word版含答案

2013福建省高中数学竞赛2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2014年5月17日上午9：0011：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知直线：，：，若，则 。【答案】 【解答】。2函数（）的值域为 。【答案】 【解答】。由知，。3在三棱锥中，。则三棱锥的体积为 。【答案】 【解答】如图，作于，连、。 ， ，四边形为矩形。由知，四边形为正方形，且。又，因此，为正三角形，。 。于是，。 三棱锥的体积为。4已知、为双曲线：的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限。若，则内切圆半径为 。【答案】 2【解答】设，则，。于是，结合知，为直角三角形，。 内切圆半径。5已知集合，。若，且中恰有1个整数，则的取值范围为 。【答案】 【解答】。设，则的轴对称。由，知。因此，中恰有的一个整数为3。 ，解得。故，的取值范围为。6若分数（，为正整数）化成小数为，则当取最小值时， 。【答案】 121【解答】由，知，记（为正整数）。于是，。 。当时，取，时，最小为101。又符合要求。故，当最小时，。7随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。【答案】 【解答】投掷3粒骰子共有种可能。考虑。投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有（种）。（分为，这6种可能，每类有6种情况。其中，重复出现）同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。 投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有种可能。 所求概率为。8已知点，。平面区域由所有满足（，）的点组成的区域。若区域的面积为8，则的最小值为 。【答案】 4【解答】如图，延长至点，延长至点，使得，。四边形、均为平行四边形。由条件知，点组成的区域为图中的阴影部分，即四边形（不含边界、）。 ，。 ，。 四边形的面积为。 ，。由，知，当且仅当，即时，取最小值4。9 被63除的余数为 。（符号表示不超过的最大整数。）【答案】 56 【解答】 对任意正整数，与均不是整数，且。 对任意正整数，。 。10若，为关于的方程的三个实根，则的最小值为 。【答案】 【解答】依题意，有。 。 ，。 。 ，中至少有一个成立。不妨设，。 。设，则。 时，；时，。在上为减函数，在上为增函数。 有最小值。此时，或，。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11已知为递增的等比数列，且，。，数列的前项和为，求证：对一切正整数均有，。【解答】设的公比为，则。由，知，。 。 5分 。 时， 10分 时，。 15分又时，。 对一切正整数均有。 20分12已知为椭圆：的右焦点，椭圆上任意一点到点的距离与点到直线：的距离之比为。（1）求直线方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，直线、与直线分别相交于、两点。以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。【解答】（1），设为椭圆上任意一点，依题意有。 。将代入，并整理得。由点为椭圆上任意一点知，方程对的均成立。 ，且。解得。 直线的方程为。 5分（2）易知直线斜率不为0，设方程为。由，得。设，则，。 10分由，知方程为，点坐标为。同理，点坐标为。 15分由对称性，若定点存在，则定点在轴上。设在以为直径的圆上。则。 。即，或。 以为直径的圆恒过轴上两定点和。 20分注：若只求出或证明两定点中的一个不扣分。也可以由特殊的直线，如，得到圆与轴的交点和后，再予以证明。13如图，在五边形中，为中点，为的外心，且。延长至点，使得。（1）求证：；（2）求证：。【解答】（1） 为中点，且， ，点在的外接圆上。 。 5分（2）延长至点，使得。联结，。由知，。又。 ，且四边形为平行四边形。 也是中点。 10分 四边形为平行四边形，。四边形为平行四边形，。 。 。 15分 。 。 、四点共圆。 。 。 20分14已知。（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对一切正整数均成立。【解答】（1）。若，则，时，。此时，在区间上为增函数。 时，。符合要求。 5分若，则方程有两个异号的实根，设这两个实根为，且。 时，。在区间上为减函数，。 不符合要求。 的取值范围为。 10分（2）由（1）知，时，不等式恒成立。 时，恒成立。令（），得，整理得 。 15分 。令，2，3，得，。将上述个不等式的左右两边分别相加，得。 对一切正整数均成立。 20分15给定2014个和为1的非负实数，。证明：存在，的一个排列，满足。【解答】为方便起见，称和式为2014个实数，的“循环和式”。由于2014个排列：，； ，； ，；，。对应的“循环和式”是同一个“循环和式”。因此，的个排列对应个“循环和式”。 5分记这个“循环和式”为，。其中。设这个“循环和式”总和为，即。由于每一个（，2，3，2014）在每个“循环和式”中均出现两次，因此，在中共出现次。 。 10分（这里）另一方面，由，以及柯西不等式：，得 ，。 。 15分 。 ，中至少有一个不大于。设，则对应的“循环和式”为的排列符合要求。 存在一个，的排列符合要求。 20分2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：0011：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望 。【答案】 5【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。易得，的概率分布列为014916 。2已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为 。【答案】 9【解答】依题意，有。 在区间上的最大值为1， 在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。3、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 。【答案】【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。 ，。，。4已知实数，满足，则的最小值为 。【答案】 【解答】由柯西不等式，知。 ，当且仅当，即时等号成立。 的最小值为。5已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和 。【答案】 【解答】依题意，有。 。6如图，在四面体中，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径 。【答案】 【解答】如图，作于，连结，并延长交于点，连结。则是与平面所成的角，。 ， ，为的外心，且。 ，为中点，结合知，。 ，。 、两两互相垂直，四面体外接球半径。7在复平面内，复数、的对应点分别为、。若，则的取值范围是 。【答案】 【解答】设，（为虚数单位）， ， ，。设复数对应的点为。由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。又，因此，即的取值范围是。8已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为 。【答案】 【解答】。依题意，有两个不同的实根。设，则，有两个不同的实根。若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。若，则当时，；时，。 在区间上为增函数，上为减函数。 的最大值为。又时，；时，。 当且仅当，即时，恰有2个不同的实根。设的两根为，（）。则时，；时，；时，。 为的极小值点，为的极大值点。符合要求。 的取值范围为。9已知，若，则的取值范围为 。【答案】 【解答】设，则。 。 ，。由知，方程的解集是方程的解集的子集。若，则，。若，设，则，得。又时，所以，。的取值范围是。10若，则正整数的最小值为 。【答案】 4【解答】由，知 。 ，上述各式左右两边分别相加，得。 ，。 ，（），（）。 正整数的最小值为4。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11求函数的最小值。【解答一】由，得或。 函数的定义域为。 5分记，则当时，易知。在上为增函数。 时，的最小值为。 10分当时，。 在上为减函数，时，的最小值为。 15分综合得，函数的最小值为1。 20分【解答二】函数化为。由，知，可设（，且） 5分当时，当，即时，取最小值3。 10分当时，当，即时，取最小值1。 15分综合得，函数的最小值为1。 20分或换元后利用导数求解。【解答三】由，得， ，。 5分依题意，有，因此，。 10分 ，解得或。 15分将代入方程，解得。 在函数的值域内。 函数的最小值为1。 20分12已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。（1）求的取值范围；（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。【解答】（1）设方程为。由，得 。 直线与双曲线有两个不同的交点， ，解得，且。 的取值范围为。 5分（2）设，。则，。又， ，。 10分 ， 时，。由，得，解得或（舍去）。 ，。 15分时，。由，得，解得或或，均不符合，舍去。此时，满足条件的不存在。综上可得，的值为1或。 20分13如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。（1）求证：；（2）若为中点，求证：。（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）【解答】（1）设圆、圆的半径分别为、，则。 5分（作于，于，则。）由条件知，、三点共线，。 ，。 。 10分（2）由，得，即。 。 15分 为中点， ，即。结合，可得。因此，。 。 20分另解：设的中点为，则由，为中点知，且。由，可得，即。 15分又。 ，。 。 20分14在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。【答案】不妨设点在第一象限。设，则，直线的斜率。 。 5分由、为整点，设，其中，为正整数。 ，。 内切圆的半径。又，。 。 10分 。设，则。 ，。 15分由，知，为正整数，又的正因数有个。 符合条件的有54组。 符合条件的三角形有54个。 20分15若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。 【答案】考察集合（时）的67元子集：（偶数与被3整除的奇数）。显然中不存在3个两两互素的元素。 不符合要求。 5分引理：对任意的正整数，集合的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。引理的证明：设集合是集合的一个5元子集。 ，这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。 若中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。若中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。结论成立。 引理成立。 10分对任意的正整数，将集合划分成如下17个集合：，。 15分显然上述17个集合