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课题 反函数的概念松江二中 黄继红一、 教案设计思考1教材分析：“反函数的概念”一课选自高中一年级数学第一学期上教版第一课时，是对函数概念在认识上的深化和提高，又是为后继对数函数的学习作准备。教材的编排思路是先借助摄氏与华氏两种温度度量制的相互转换的实例，从图像、表格和函数解析式三方面，揭示华氏温度关于摄氏温度的函数和摄氏温度关于华氏温度的函数，从特例中让学生初步感受反函数的概念，在此基础上，定义反函数，然后揭示互为反函数的两函数关系，通过例题解答揭示反函数的求法，最后提出同一坐标系中函数的图像和它的反函数的图像的关系问题，以特例加以说明。这样的编排，学生对于反函数概念的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于为什么学习反函数、什么样的函数存在反函数、同一坐标系下与的图像有何关系、将改写为的必要性等问题无从感受或体验不深。我的教学对像是重点中学学生，认知水平较高，善于思考，探究欲望强，但是对于概念学习重视不够，这是一个普遍存在的现象。为了让学生不仅获得反函数知识,而且更重要的是体验知识的形成过程,以及形成过程中的思想方法和思维过程，提高学生数学素质，激发学习数学概念的兴趣。我将反函数的教学分为两课时完成，本课为第一课时，确立以“问题解决”为中心，将反函数的概念教学设计成“活中有实，实中见活”的探究性学习的课堂教学，这对培养学生的创新意识和能力是有一定帮助的。 2教案亮点：以反函数概念教学为核心，以“函数的定义和图像特征”为主线，通过解决实际问题，将学生现有的知识经验（函数概念）作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验（反函数概念），建立、理解和记忆概念，展示学生是感知和形成概念的主体；重视自主探究与小组合作相结合，引发认知冲突，以师生和生生间交流、互评的方式，促进学生的思维能真正动起来,展示学生是理解和深化概念的主体；在概念形成、理解、深化和应用中，结合媒体实验，展示学生是体验概念研究方法和数形结合思想的主体。二、 教学目标1知识目标：正确理解反函数的定义，初步掌握由原来函数求反函数的方法。2能力目标：体会数形结合思想的应用，感受具体到抽象到具体的概念学习的方法，培养观察、分析和抽象概括的能力。 3情感目标：在建立反函数定义的探究中培养学生思维的严谨性；在理解互为反函数的两个函数之间的内在联系中，培养学生树立对立统一的辩证思维观点；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情。三、教学重点、难点：教学重点：反函数的定义及反函数的求法。教学难点：反函数存在的条件。四、教学方法及手段：教学方法：探究、讨论式。教学手段：多媒体辅助教学。教学环节问 题 情 景师 生 活 动 设计意图实例引入、复习函数概念引言：同学们，有人说，今天上海地区最高气温86度，你们信不信？生：86华氏温度（几乎齐声答）。师：我国气象学和人们生活中，通常采用的是摄氏温度，但在说英语的国家如：英国、美国、加拿大等国，大多采用华氏温度。华氏与摄氏温度如何转化，请思考下面问题。从生活实际出发，揭示数学源于生活。问题 摄氏与华氏两种温度度量制的相互转换是一次函数的关系。 摄氏温度华氏温度冰点032沸点100212根据以上信息，（1）请你建立华氏温度关于摄氏温度的函数关系；（2）当华氏温度为23、86时，请分别计算相应的摄氏温度。在学生完成解答后，讨论下列问题：1、 为什么说表示华氏温度关于摄氏温度的函数？2、一般地，对于定义域为D的函数是如何定义的？3、函数关系在图像上是如何反映的？请结合屏幕上的图像说明。4、令和分别解得-5和30，则当华氏温度为23、86时，摄氏温度分别为-5和30。师：如果我再给你们10个华氏温度的值，你还打算这样计算吗？生：不会。由函数变形，得到，然后逐一代入。5、这是摄氏温度关于华氏温度的函数吗？为什么？6、请思考：函数与函数是相同函数吗？强调：定义域和对应法则都相同的函数是相同函数。师：从以上讨论可以看到：和分别表示华氏温度关于摄氏温度的函数和摄氏温度关于华氏温度的函数，这是一对相互关联的函数，今天我们就来研究这样的问题反函数的概念。实例引入、抽取本质、复习函数概念、图像特征，在解决问题的过程中，揭示反函数学习的必要性，同时为突破本课重点和难点埋下伏笔。初步形成反函数的概念问题 什么是反函数呢？顾名思义，反过来也是函数，即也是的函数。 一般地，对于函数，设它的定义域为D，值域为A。如果 ，得到关于的函数叫函数的反函数。反函数的定义 一般地，对于函数，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值，在D中总有惟一确定的值与它对应，使，这样得到关于的函数叫函数的反函数。记作。老师边说边板书，留下空白，让学生填空。生：对于A中的任意一个值，在D中总有惟一确定的值与它对应，使。师：介绍对应法则，记作，指出定义域A。结合实例函数与，叙述函数的反函数是或函数是的反函数。师：由此，你认为反函数概念的本质是什么？请同学们思考后，小组交流。生：反函数也是函数，它是由原来所给函数而确定的，未必所有函数都有反函数。突出概念中的“如果”的补白，为学生理解概念的本质奠定基础，也为下文研究反函数存在的条件作好铺垫。反函数存在的条件判断 1 下列各函数，是否存在反函数？如果存在，求出它的解析式，并求它的定义域；如果不存在，请说明理由。（1）；（2）；（3）。（1）的值域为R，存在反函数，定义域为R；（2）的值域为R，存在反函数，定义域为R；（3）值域为，存在反函数，定义域为。师：在黑板上解答，屏幕上显示答案。并不断重复“对于A中的任意一个值，在D中总有惟一确定的值与它对应，使”的叙述，强调反函数的定义域是原来函数的值域，不是由反函数的解析式确定的。强化反函数概念的理解和记忆。判断2 根据下列所给关于的函数的图像，分别判断它们是否存在反函数？为什么？ 师：从数和形两方面，紧扣定义请总结反函数存在和不存在的条件。生：归纳：定义在D上的函数，设它的值域为A，存在反函数的条件：（1）任取在D中总有唯一确定的值与它对应，使。（2）函数的图像与任一直线（）有且只有一个公共点。定义在D上的函数，不存在反函数的条件（举反例）：（1）存在且，而。（2）存在一直线（）与函数的图像公共点多于一个。首先，师生共同讨论这两个图像为什么反映了关于的函数关系？因为任一直线与函数都有唯一的交点。然后引导学生研究：是否存在反函数，在图像上有何特征。生：因为任一直线与函数都有唯一的交点，所以（1）存在反函数。师：你们说，她回答正确吗？生：对。师：当我将直线移动到与轴重合，怎么没交点了？生：因为此时，所以应回答任一直线（）与函数都有唯一的交点，所以（1）存在反函数。师：很好，这也就是从形的角度回答：函数存在反函数的条件。那么(2)呢？生：不存在反函数，因为有无数多条直线（）与函数都有两个交点。师：要说函数不存在反函数，有必要寻找无数多条直线（）吗？生：不存在反函数，反例只要寻找一个。从正、反两个方面研究函数存在反函数和不存在反函数的条件，并从数与形两个方面，研究反函数存在的充要条件，突破本课难点。形成反函数的完整定义问题同一坐标系下与的图像有何关系？请 以与为 实 例 说 明 。请 同学独立思 考 后 小 组 讨 论。学生答案不一，其中有一位学生代表拿着他分别画有一条直线的两张纸，将两张纸叠在一起，具体阐明两个图像关于对称。几乎所有同学被该学生的描述折服了。师：事实上，他画的两条直线是在两个不同的坐标系下所得，直线在以轴为横轴、轴为纵轴的直角坐标系下而得，而直线在以轴为横轴、轴为纵轴的直角坐标系下而得，即使两纸叠在一起，还是不同坐标系下的两图像。所以他研究的过程不符合我所问的前提条件。生：在同一直角坐标系下，通过选取两组有序数对（0，32）、（-5，23），得到两个对应点，从而得到两条重合的直线。通过对同一坐标系下函数与的图像研究，探讨为什么在同一坐标系下不同的函数却有相同的图像，引发认知冲突，从而理解互换的必要性。反函数的完整定义一般地，对于函数，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值，在D中总有惟一确定的值与它对应，使，这样得到关于的函数叫函数的反函数。记作。习惯上，把它改写为。师：看着大家的表情，猜测大家难以接受两个不同的函数与在同一坐标系下有相同图像的事实。事实上，我们习惯于在横轴上选取自变量的值，在纵轴上选取相应的函数值，从而得到函数图像的对应点。而且我们也知道一个函数与两变量字母的选择形式无关。所以下面我们对反函数的定义特地作出补充规定：习惯上，将改写为。互为反函数的两函数关系问题 互换后的反函数与原来函数的有何关系。提示：从函数三要素出发，请讨论互为反函数的两函数关系。在讨论中达到共识：（1）的分别对应着的，字母形式不同，取值相同，但在函数中的自变量、应变量的地位互换；（2）与的定义域，值域如下表：定义域值域（3）与互为反函数。师：还有什么补充的吗？生：与的对应法则互逆，而且成立，。师：很好，研究得很有深度，这两个等式成立与否留给同学们课后研究。从函数三要素出发，探讨互为反函数的两函数关系，理解反函数的性质，达到对反函数概念的完整理解。应用概念（求所给函数的反函数）问题 求反函数的步骤？学生总结：（1）从中，解得唯一的;（2）求出所给函数的值域,即为反函数的定义域A；（3）互换，将函数写成的形式练习 求下列函数的反函数：（1） ； （2）；（3）。师：强调从中，解得唯一的，确认存在反函数。生：噢，就是前面的判断题1。师：屏幕切换到前面判断题的答案，在此基础上请同学口答各小题。 生：齐声回答。师：强调互换，将函数写成的形式。与前面的判断题形成呼应，强调求反函数的三步骤。深化概念问题 函数（）是否存在反函数？为什么？如果存在，求出反函数？如果不存在，请适当改变函数（）的定义域，使所得函数存在反函数。师：借助几何画板显示：直线与函数（）图像交点不惟一，说明函数（）不存在反函数。借助几何画板显示：任一直线（）与的图像有且只有一个公共点，说明函数（）存在反函数。生1：函数（）不存在反函数，因为当时，有两个不同的值1和-1与之对应。生2：改变定义域为、等，可使存在反函数。生3：定义域为，可使存在反函数。生4：其实有无数多个答案，还能将定义域适当改写为三个区间、四个区间或五个区间的并集等，也可使存在反函数。师：对呀，说明同学们能灵活应用反函数的概念解决问题了。 通过讨论的层层深入，深化概念本质的理解课堂小结1反函数的定义； 2函数存在反函数的条件；3求函数（）的反函数的一般步骤； 4. 感受具体到抽象到具体的概念学习的方法；体会数形结合思想的应用。师：通过这节课的学习，你有哪些收获？多名学生发言，互相补充。突出重点、及时整理；生生互动，让学生在同学发言时，同时受到启发。作业布置A必做题：课本125页 习题44 第1 题 、 第 2题；补充题 已知函数的反函数为，求的值。B选做题：探讨在同一坐标系中函数的图像和它的反函数的图像、性质间的关系，你能发现什么结论？对于学生在课堂讨论中出现的关于互为反函数的函数关系的其它性质，以作业的形式留给同学们课外探究。六、教学建议与说明：反函数是数学教学中的一个难点，为了突出重点、突破难点，我设计了以下的教学环节。首先应用课本实例，渗透函数的三种表示形式，带动复习函数定义及函数图像的特征，从而加强学生对函数概念的认识，为引入新课打下坚实的基础。其次我根据重点中学学生实际（认知水平较好），在“反函数概念”的建立过程中，以“函数定义和图像研究”相结合、以“黑板板书和PPT显示及几何画板实验”相结合，贯穿教学全过程，组织了六个层面的活动。（1）实例分析、抽取本质，复习函数概念，初步建立“反函数概念”。（2）引导学生在对具体函数的研究中，紧扣函数定义，从数与形的两个角度探索存在反函数的条件，达到对反函数概念本质的理解。（3）通过对同一坐标系下与的图像研究，引发认知冲突，从而理解互换的必要性。（4）探讨互为反函数的函数关系，理解反函数的性质与求法，并在解题的应用中，强化反函数概念。（5）引导学生对思考题的探究，深化反函数概念。（6）学生自我总结，进一步体会反函数概念及其研究方法。最后，对于学生在课堂讨论中出现的关于互为反函数的函数关系的其它性质，以作业形式留给同学们课外探究，然后在后面的课时中再研究。七、教学反思：1、紧扣课本，但又不死扣课本建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。所以，我仍然应用课本实例引入，但不同的是我设计了几个具体问题，并抽取本质带动复习函数概念，并在实际应用中，让学生感受反过来研究是否是的函数的必要性，即让学生体验学习反函数的必要性，为引入新课作了铺垫。同时，又设计函数与函数是否为相同函数问题，一方面再次复习函数概念，另一方面为后面一般研究与的关系服务，达到分散难点的目的。在形成反函数概念的过程中，我拆成了三个环节教学，（1）初步形成概念；（2）探究反函数存在的条件；（3）互换的必要性。我认为这样的处理，学生获得的双基是扎实的，对反函数概念的知识形成的体会是深刻的。我又应用课本例题求下列函数的反函数，但是我分为两环节应用，第一环节设计成判断题，是否存在反函数，并回答为什么，用于理解概念；第二环节设计成书本问题，用于巩固反函数的求法，强化三个步骤。所不同的是，我又设计了两个用图像法表示的函数作为是否存在反函数的判断题，通过几何画板实验，研究函数和反函数存在的原来函数的图像的几何特征，让学生又能从形的角度把握反函数的概念，我认为这样的处理，学生获得的双基又是深化发展的。最后设计的探究题，展示学生的思维是灵活的，对反函数概念的理解是深刻的。2、主导和主体相结合，自主学习和小组合作相结